книги из ГПНТБ / Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие
.pdfСумма квадратов элементов, стоящих на пересечении s-й стро ки с t'-м и k-м столбцами
db + d2sk = (asi cos ф + ask sin ф)2 + (— asi sin ф + ask cos ф)2 =
= a% + alk. |
(9.37) |
Из равенств (9.36) и (9.37) следует, что суммы квадратов знедиагональных элементов, не находящихся на пересечении t'-й стро ки и k-ro столбца н k-й строки и i-ro столбца, матриц А и D равны.
Так как dik = dhi = О,
S - 2 a ? A = S ' . |
(9.38) |
Таким образом, равенство (9.13) доказано.
§ 9.6. Вычисление угла элементарного поворота
а. Параметризация тригонометрических функций у г л а поворота
Для приведения матрицы А к диагональному виду необходимо совершить большое число поворотов (оценка числа поворотов при водилась выше); вычисление тригонометрических функций по стан дартным подпрограммам требует сравнительно больших затрат ма шинного времени. При малых углах ф (для каждой машины и каж дой стандартной подпрограммы ф имеет свое значение) итерационный процесс перестает сходиться. В связи с этим целесообразно приме
нить более быстрый и точный |
метод определения |
угла поворота ср |
|||||||
и тригонометрических |
функций |
этого |
угла: |
вводится |
параметр |
||||
* = tg (Ф/2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ф == 2//(1 + |
/ 2 ) , |
|
|
|
(9.39) |
|||
соэф = (1 — t°-)/(l |
+ |
t2), |
|
|
(9.40) |
||||
ctg 2ф = |
[(1 — /*)» — 4/*] / [4/ (1 — /*)]. |
(9.41) |
|||||||
Приравнивая ctg 2ф выражению (а г г —акк)/2аш |
имеем |
||||||||
[(1 _ / 2 ) 2 _ |
4 / 2-] / / ( |
, _ |
/ 2 ) = |
2 |
{ а . . _ a / |
i k ) Iа ц г |
( 9 - 4 2 ) |
||
Обозначив правую |
часть |
(9.42) |
через |
с, |
получим |
уравнение |
|||
4-й степени для определения t: |
|
|
|
|
|
|
|
||
/4 j |
_ с/з _ |
6/2 _ с / + |
i = |
о. |
|
. |
(9.43) |
б. Решение уравнения (9.43)
Определив по методу Ньютона (или методу соприкасающихся гипербол) минимальный по модулю корень уравнения (9.43) и ис-
160
пользуя |
формулы |
(9.39) и (9.40), можно |
найти значения |
sin ср и |
||||||||||
cos ср. |
|
|
уравнения / (0 = |
|
|
|
|
|
|
а, b |
||||
Для |
решения |
0 |
выделяется |
сегмент |
||||||||||
(рис. 9.3), в пределах |
которого функция / (t) |
обращается |
в нуль |
|||||||||||
один раз, а' ее вторая |
производная |
сохраняет |
знак. Итерации ве |
|||||||||||
дутся по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.44) |
За |
начальную |
точку итераций принимают ту из точек |
а и Ь, |
|||||||||||
для которой выполняется неравенство |
/ " / > 0- При таком выборе |
|||||||||||||
начала итерации последовательные приближения tk |
сходятся моно |
|||||||||||||
тонно к решению уравнения / (t) = 0. |
|
|
тому, что th+1 |
|
||||||||||
Геометрически |
формула |
(9.44) соответствует |
есть |
|||||||||||
точка |
пересечения |
с |
осью |
t касательной, |
проведенной к |
кривой |
||||||||
в точке th. Сегмент a, |
b должен быть таким, |
чтобы f'(t) было доста |
||||||||||||
точно велико по абсолютной величине. При малых значениях |
f'(t) |
|||||||||||||
в ряде |
случаев |
теряется |
точность |
расчета, так как отношение |
||||||||||
/ (0//'(0 |
может превратиться в машинную бесконечность. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
в. |
Некоторые |
свойства |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
решения |
уравнения (9.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим, как будет изменяться решение уравнения (9.43) |
||||||||||||||
при изменении |
параметра с в пределах |
0 <; с <Г оо |
(случай |
с < 0 |
||||||||||
исследуется аналогично). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. Докажем, |
что при любом значении с решение t0 уравнения |
|||||||||||||
(9.43) |
удовлетворяет |
неравенству: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
к |
к / з - у |
з . |
|
|
|
(9.45) |
||
|
|
fit) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
9.3. Выделе |
Рис. 9.4. Располо |
ние |
сегмента а, Ь |
жение нулей урав |
|
|
нения fc'(t) |
161
При с = |
0 уравнение (9.43) биквадратное: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
tk |
— б/2 + |
1 = 0, |
|
|
(9.46) |
||||
Минимальный |
по |
модулю |
корень |
этого |
уравнения |
равен |
||||||||
~У Ъ—У8. |
Уравнение |
(9.43) |
при |
произвольном |
с заменяется |
сле |
||||||||
дующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t'k — 6t2+\+ct |
|
(Г- — 1) = 0. |
|
|
(9.47) |
||||||
Обозначим левую часть |
(9.47) через fc(t). |
Так как |
|
|
||||||||||
|
/ (0) = |
1 |
при |
с > 0 ; |
f(V3 |
— |
V8)>0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
с < 0 ; |
|
/ ( - | / з - т / 8 ) < 0 |
|
|
||||
и fc(t) |
непрерывна, |
имеет |
место |
неравенство |
(9.45). |
|
|
|||||||
2. Теперь докажем, |
что fc{t) |
монотонно |
убывает на сегменте |
|||||||||||
[о, Уз |
— УЪ]. Для доказательства достаточно |
убедиться |
в том, |
|||||||||||
что fc(t) |
< |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
fc(t) |
= tt(t2 |
— 3) + |
с(3/ 2 — 1) |
|
|
|
|||||
|
|
|
*8 |
— 3 < 0 |
при |
t<y~3\ |
|
|
(9-48) |
|||||
|
|
|
З*2 |
— 1 < 0 |
при |
/ < |
1 / V"3 . |
|
|
|
||||
Так |
как t изменяется |
в |
пределах |
от 0 до |
Уз— У 8, |
то |
чтобы доказать, что fc(t) < 0, достаточно убедиться в том, что
Уз^уъ<узи |
У з Г у 1 < 1 / У 3 |
(последнее |
устанавли |
|||
вается |
непосредственно). |
|
|
|
||
3. |
Докажем, что если с' > с, то график функции fc- |
(t) (рис. 9.4) |
||||
расположен ниже графика fc(t), |
т. е. |
fc(t)—fC'(t)>0. |
||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
/ e (f) = |
/* — 6 / » + |
1 |
+ct(t*-l); |
|
|
|
fc. |
(*) = |
** —6*» + |
1 |
+c't{i2—\). |
|
юткуда |
|
|
|
|
|
|
|
Ш-fc- |
|
(t)=(c-c')t(t*-\)>Q. |
|
Так как с—с' < 0 по условию, то t2 — 1 <; 0, поскольку
г<У 3 — У8.
Следовательно, при с' > с нуль уравнения fc>{t) = 0 располо жен левее нуля уравнения fc(t) = 0.
J62
|
|
|
г. |
Выбор начального |
приближения |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
в зависимости от величины 2{ап |
— |
ац^/а^ |
|
|
|
||||||
Покажем, |
что |
начальное приближение |
tc |
уравнения |
(9.43) |
|||||||||
целесообразно |
выбирать следующим образом: |
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
При |
100 > |
| с | ' > 3 |
tc |
= 1/с; |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
При |
с | < 3 |
tc = Уз |
— У 8sign с; |
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
При |
с| |
> |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В последнем случае приближенное решение уравнения |
(9.43) |
|||||||||||||
выписывается |
сразу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
L = |
|
|
! |
. |
|
|
|
|
|
(9.49) |
1. |
|
|
|
0 |
|
|
c[\-fc(l/c)\ |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть с :> 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(*с) = Ш1 с) = |
|
- 6 / с 2 + |
1 + |
( 1 / с 2 |
- 1) |
= |
|
||||||
|
|
|
|
= |
1/с4 — 5 / с 2 < 0 . |
|
|
|
|
|
(9.50) |
|||
Следовательно, |
при с > |
|
(1/5), 0 < |
t0 < |
(1/с), |
где |
t0 — реше |
|||||||
ние уравнения |
(9.43). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вторая |
производная f"(t) |
< 0 |
на отрезке [/„, tc]. |
Действитель |
||||||||||
но, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ё ( 0 = |
12/2 |
+ 6с/ — 12. |
|
|
|
|
(9.51) |
|||
Положительный нуль второй производной равен |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
— с / 4 + ] / с 2 / 1 6 + 1. |
|
|
|
|
(9.52) |
|||||
Убедимся в том, что он превосходит |
1/с. Решим |
неравенство |
||||||||||||
|
|
|
|
— с / 4 + |
у ' с 2 / 1 6 + _ 1 > ( 1 / с ) . |
|
|
|
(9.53) |
В результате получим, что с > ] / 2 .
В силу того.что /"(0) = —12, а второй нуль второй производ ной отрицателен,/"(0 отрицательно в пределах сегмента [/„, tc].
/"(1/с)/ |
(1/с) > 0, |
так |
как fc(t) |
< 0 в |
пределах |
[0, 1/с] Ш |
монотонно |
убывает. |
|
|
|
|
|
Так как fc(0) = |
—с, |
/ с (t) |
<1 —с, |
с >- 3, следовательно, |
||
/с(0 -«С —3 на сегменте [0, 1/с]. |
|
|
|
|||
Итерации начинаются с tc = 1/с и последовательные прибли |
||||||
жения монотонно убывают до t0> |
0, поэтому первую |
производную |
необходимо вычислять в тех точках, где она превосходит по аб солютной величине 3.
2. Если 0 < с < 3, то |
tc=V |
Ъ — У 8. |
|
|
Как уже говорилось, значение t0 |
— решение уранения |
(9.43)— |
||
. лежит на полуинтервале |
[0,tc]. |
На |
этом полуинтервале fc(t) <. 0, |
|
так как положительный нуль второй производной при с = |
3 равен |
|||
1/2. |
|
|
|
|
163
В функции |
ф (с) = — с 14 + |
У |
с21 |
16 + 1 <|J (с) монотонно убыва |
||||||
ет при всех значениях с. |
|
|
|
|
|
|
||||
Сказанное следует из того, что |
Ф'(с) < 0 : |
|
||||||||
|
|
f |
(С ) = — 1/4 + с / [ 1 6 ] / с 2 |
/ 1 6 + 1 ] . |
(9.54) |
|||||
Определим, при |
каких значениях с |
|
< 0, т. е. |
|
||||||
|
|
|
|
с / [ 16 т / с 3 / |
16 + |
1 ] < |
(1/4). |
|
||
Сократив последнее неравенство на 4 и возводя полученное |
||||||||||
выражение в квадрат, приходим к неравенству |
|
|||||||||
|
|
|
|
с 2 < с 2 + 1 6 , |
|
|
(9.55) |
|||
которое будет справедливо при всех значениях с. |
|
|||||||||
Так как |
положительный нуль fc(t) |
есть монотонно |
убывающая |
|||||||
функция |
с, |
то для |
всех значений |
|
с, |
заключенных |
в интервале |
|||
О < с < |
3, нуль второй производной превосходит 1/2. |
|
||||||||
Таким образом, |
при 0 < с < 3 |
одно значение второй |
производной |
|||||||
отрицательно, другое — больше |
1/2, |
следовательно, вторая произ- |
ч
Рис. 9.5. Поведение второй производной внутри сегмента [0, 1/2]
водная на сегменте [0, 1/2] сохраняет свой знак. В силу того, что она отрицательна в нуле, она будет отрицательна и на всем сегменте
[О, 1/2], а тем более в пределах [0, tc], |
так как |
У 3 — У 8 < (1/2) |
(рис. 9.5). |
|
|
Выше было показано, что / с (Уз |
— У в) < |
0, следовательно, |
итерации начинаются с точки, в которой выполнено неравенство
Оценим теперь fc(t) |
для случая 0 <^ с < |
3. Если а есть решение |
уравнения fc{t) = 0 |
при с — 3, то решение уравнения fc(f) — О |
|
при с < 3 лежит правее а (см. п. 3). |
|
|
Так как для всех с в пределах 0 <1 с < |
3 итерации начинаются с |
tc = Уз — У 8 и последовательные приближения монотонно убы вают, сходясь к решению t0 > а, достаточно оценить величину
f'c(t) в пределах сегмента [а, У з — , что можно сделать сле дующим образом:
f'e (t) = 4/ (/3 — 3) + с (З/2 —1) < 4/ (/3 — 3) < 4а (а3 —3).
164
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что'а — реше ние уравнения (9.43) при с = 3 удовлетворяет неравенству
( 1 / 5 ) < а < ( 1 / 4 ) .
Следовательно,
/; ( ; ) < (4/5) ( 1 7 2 5 - 3 ) < - 2 .
д.Оценка точности
|
|
|
|
решения уравнения |
(9.43) |
|
|
|
|
||||
При |
решении |
уравнения |
(9.43) на ЭЦВМ получается не точное |
||||||||||
решение t0, |
так как итерации |
обрываются на некотором прибли |
|||||||||||
жении th. Дадим оценку величины погрешности |
|
|
|||||||||||
Решение |
уравнения |
(9.43) |
последова |
|
|
||||||||
тельными приближениями |
ведется до тех |
|
|
||||||||||
пор, пока |/ (th)\ не станет меньше |
неко |
|
|
||||||||||
торого |
е. Величина |
е вводится в машину |
|
|
|||||||||
вместе с программой. При всех значениях с |
|
|
|||||||||||
справедлива |
|
оценка |
fc(t) < —2. |
М с |
|
|
|||||||
|
Проведем |
(рис. 9.6) |
через |
точку |
|
|
|||||||
координатами |
thl, |
f (tk) |
прямую е с угло |
|
|
||||||||
вым коэффициентом —2. Пусть |
tk'—точка |
|
Уз-VT |
||||||||||
пересечения этой прямой с осью t. Так как |
|
f(tK) |
|||||||||||
fc{t) |
< |
—2, |
то на tkth |
график / с (t) распо |
|
|
|||||||
ложен выше кривой |
t. |
Следовательно, |
t0 |
|
|
||||||||
лежит между 4<V В треугольнике tkth М |
|
|
|||||||||||
катет titth |
в |
2 раза |
меньше |
катета |
thM. |
|
|
||||||
|
Предположим, |
что |/с (4)| < |
е ; тогда |
|
|
|
|||||||
|
|
tk—tQ<tk—tk<{zl2). |
|
|
|
Рис. 9.6. |
Геометри |
||||||
|
|
|
|
|
ческое |
представление |
|||||||
Таким образом, |
найдя |
значение t |
оценки |
точности ре |
|||||||||
шения |
уравнения |
||||||||||||
при |
котором |
/ (th) < |
е |
получим |
реше- |
(9.43) |
|||||||
ние с точностью до е/2. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 9.7. Выражения элементов матрицы D через тангенс половинного угла поворота
Элементы |
г'-го столбца матрицы D |
вычисляются |
по формуле |
dSi |
= a s i c o s Ф + ask s i n Ф- (s = |
1, 2, ..., i — 1). |
|
Заменив |
в этой формуле cos ср на |
(1—t2 )/(\-\-t2 ) |
и sin q> на |
'2t/(l -hi2), после преобразования получим:
165
Аналогично элементы k-ro столбца |
D вычисляются |
по формуле |
|||||||||||
dsk = ask cos Ф — asl |
sin ф = |
ask |
— y - ^ - |
(ask |
t + |
asi) |
(9.57) |
||||||
|
|
|
|
( s = |
1, 2 |
|
k— 1). |
|
|
|
|
|
|
Для элементов t'-й строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
du = ^ |
cosф + allssm |
ф = |
о„ — - j - |
^ |
- (ai s f |
— aliS) |
(9.58) |
||||||
|
|
|
|
(s = i + |
1 |
|
n). |
|
|
|
|
|
|
Для элементов &-й строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dbs = |
°W cos ф — ais |
sin ф = |
o/ M |
— — ^ - |
(ot a |
f + |
a,-,) |
(9.59) |
|||||
|
|
|
|
(s = |
k + 1 |
|
n). |
|
|
|
|
|
|
Элементы |
dih |
dik, |
dkk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
= an |
cos2 |
ф + 2ai f t sin ф cos cp + akk |
sin2 |
ф |
= |
|
||||||
= |
a » |
+ |
7 Г ^ ) Г К ( 1 - |
О |
+ * (aftft |
- a „ ) ] ; |
|
(9>60) |
|||||
dju = |
aik |
(cos2 ф — sin2 ф) + |
{akk |
— au) |
sin ф cos ф = |
|
|||||||
= a»< + T T T ^ [ ( a " ~~a u ) |
( 1 ~~ ' 2 ) |
~ 4 / f l ' f t l : |
' |
( 9 - 6 1 } |
|||||||||
dkk |
= akk |
cos2 |
ф + |
an sin2 ф — 2aik sin cp cos cp = |
|
||||||||
= |
аы |
+ |
TTZT^r |
|
- |
a**) |
t~aik(l-1% |
|
|
|
(9.62) |
||
|
|
|
U + t )~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (9.56) и (9.62) записаны в таком виде, что при вычис лениях по ним влияние ошибок округления минимально.
§ 9.8. Алгоритмизация метода Якоби
Составление программы для метода Якоби является трудоем ким процессом и требует высокой квалификации программиста. Представим программу по методу Якоби на алгоритмическом языке Алгол, что позволит пользоваться ею на любой ЭЦВМ, имеющей транслятор.
procedure jacobi |
(а, |
п, |
Е, |
b, |
Т); |
value |
п, Е; |
|
||||||
integer «; real Е; array |
a, |
b, |
|
Т; |
|
|
|
|
||||||
begin |
integer |
i, |
j , |
k, |
t\, |
t2, |
t3, |
/4, |
/5, |
/6; |
|
|||
real c, |
s, |
л 1, |
г 2, |
r3, |
|
г 4, |
г 5, |
г 6, |
г 7, |
г 8 , г 9, г 10, М, |
Ml; |
|||
array |
h[\; |
5]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
procedure f(u, |
v, p, |
q, |
w, in, |
I); |
|
|
|
|
||||||
value in, |
I; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
integer u, |
v, |
p, |
q, |
in, |
I; |
array |
w; |
|
|
|
|
166
begin for ft : = |
in |
step 1 until 1 do |
|
|
|
|
|
|||||||||||
. begin t 6 : = |
( « - l ) X ( / i - u X |
0,5) + |
v; |
|
|
|||||||||||||
•a[t6) : =a[t |
6]8 X C—w[(p— |
1) X (л —p X 0,5) r ? l x s |
||||||||||||||||
end |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
end; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
./-3: = / |
(3 — / W : МП : =A[5]: = |
1; A[3]« |
= - 6 ; |
|||||||||||||||
for i •• |
= |
1 step 1 until |
n do |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
begin for |
/ : = |
1 step |
1 until |
n do T[i, |
j] |
: = |
0; |
|
||||||||||
T[l, |
i] : = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
end; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L : t I : = |
0; |
for I : = |
1 step |
1 until |
л — 1 do |
|
|
|||||||||||
begin tl; |
= |
(i — 1) X (л — i |
X 0,5); |
|
|
|
|
|
||||||||||
For j : = |
(+1 |
step |
1 until |
л do |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
begin r 1 : = |
a[t 2 — / ] ; |
if |
abs |
(r 1) > e then |
|
|
||||||||||||
begin t\ |
|
: = |
t\ |
+ |
1; |
<3 : = |
(/— |
1) X (n — j X 0,5); |
||||||||||
r2 : = 2 X (а[й + i] — а[/3 + / ]) /гI; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
r4: if abs (г2) >3 then |
1/r 2 |
else |
|
|
|
|
|
|||||||||||
if r 2 = 0 then r 3 else r3 X sign (r2); |
|
|
|
|
||||||||||||||
Л [ 2 ] : = — r/2; |
|
h[4):—r2; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
L I : M : = Ml : = 0; |
for ft : = 5 step — 1 until |
1 do |
||||||||||||||||
begin Ml : = Ml X г4 + M; |
M : = M X л4 + A[ft] |
|||||||||||||||||
end; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r l O : = г 4 — M / M l ; |
|
if |
abs |
(r4 — rlO) |
> |
10~7 |
then |
|||||||||||
begin r4 : =/-10; |
go |
to L I ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
end; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c : = r l 0 x r l 0 ; |
s : = |
2 X r 10/(c + 1); |
с : = (1 — c)/(c + |
|||||||||||||||
for ft : = |
1 step 1 until |
j |
do |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6[ft] : = - a [ ( f c - l ) |
|
у (л —ft X 0,5) + |
j]; |
|
|
|||||||||||||
/(ft, |
/, |
ft, t, |
a, |
1, |
j); |
t4:=j |
— i— 1; |
|
|
|
||||||||
if i4> 0 |
then / (ft, |
/, i, |
ft, |
a, |
t + 1, / —1); |
|
|
|||||||||||
a[i3 |
+ |
j] |
: =a[t3 |
+ |
j] Xc — rl |
X S; |
|
— r\ |
|
|
||||||||
/(ft, |
«, |
1, ft, |
b, |
1, |
|
i); |
6[1] : =b[j]xS |
|
x |
c; |
||||||||
if /4>0 |
then |
for ft : = |
1 step |
1 until |
t 4 do |
|
|
|||||||||||
6[ft + 1] = 6 [t + |
ft]; t3 |
: = « |
+ /; |
/ 4 = г1 4 + |
2; |
|||||||||||||
i 5 : = |
n — /; |
for ft : = |
0 step |
1 until |
t 5 do |
|
|
|||||||||||
b[t4 + k] : = —a[/3 + |
fe[; |
/(/ . |
|
|
k, |
a, |
/ , л); |
|||||||||||
f(i, |
ft, |
1, ft |
— i + |
1, |
b, |
i, л); |
|
|
|
|
|
|
||||||
for ft : = |
1 step 1 until |
л do |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
begin r 1 : = |
T[k, |
:]; r2: |
=T[k, |
i |
; |
|
|
|
|
|||||||||
T[ft, |
t] : = r 1 X с + г 2 X s; |
T[k, |
j] |
: = r 2 X с — r 1 X / |
||||||||||||||
end |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
end |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•end |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•end |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.if t |
1>0 |
then go |
to г; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
for ft : = |
1 step 1 until |
n do |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b[k] : =a[ n X (ft— 1) —ft X (ft — 3) X 0,5] |
|
|
•end
Г л а в а 10 |
СОСТОЯНИЕ |
И ПЕРСПЕКТИВЫ |
|
РАЗВИТИЯ |
ЭЦВМ |
Современные электротехнические задачи столь сложны, что принципиально не могут быть решены без применения средств вычислительной техники и, в первую очередь, без применения ЭЦВМ. Развитие вычислительной техники идет в направлении повышения производительности ЭЦВМ; большое внимание уде ляется также разработке алгоритмических языков. Полный эф фект от использования алгоритмических языков получается при создании соответствующих систем трансляторов, реализуемых как программными, так и схемными средствами. Сложность ра
бот |
по созданию |
трансляторов |
выдвинули |
задачу |
построения |
||||||
метатрансляторов, |
которая заключается |
в |
разработке |
языка |
|||||||
для описания транслятора и транслятора |
с этого |
языка. |
|
||||||||
В развитии технических средств цифровой обработки инфор |
|||||||||||
мации |
принято выделять поколения ЭЦВМ |
и вычислительных |
|||||||||
систем |
(ВС). Начиная с 1968 г. производятся |
ЭЦВМ |
и ВС |
тре |
|||||||
тьего |
поколения. Вычислительная |
система |
может |
быть |
отнесена |
||||||
к третьему поколению в случае, |
если: основные |
устройства |
ВС |
выполнены на интегральных элементах; в структуре ВС выделе ны специальные устройства (каналы), обеспечивающие опера тивную связь центрального процессора с большим количеством периферийных устройств различного типа; ВС имеет развитые средства математического обеспечения.
Последняя из трех перечисленных выше возможностей наи более важна, поскольку в ВС третьего поколения практически отсутствует устройство управления, представлявшее собой не отъемлемую часть ВС первого и второго поколений. Функции ус тройства управления, как при организации самого вычислитель ного процесса, так и при организации обмена информацией с периферийными устройствами, выполняются в ВС третьего поко ления по программам, представляющим собой часть системы математического обеспечения. В случае отсутствия таких про грамм ВС третьего поколения оказывается неспособной выпол нять даже простейшие операции.
Полный объем средств математического обеспечения у совре менных больших ВС достигает нескольких миллионов команд. Хранение даже части подобного массива в главной памяти при водит к резкому снижению эффективности системы, а хранение средств математического обеспечения на магнитных лентах — к несоразмерно большим затратам времени на обмен информаци ей. Поэтому в состав ВС третьего поколения обязательно долж ны входить средства массовой памяти с непосредственным обра щением, которыми в настоящее время являются магнитные диски.
16Я
Перечисленные выше основные характерные особенности систем третьего поколения тесно связаны друг с другом. Так, использование интегральных элементов, обладающих высокими быстродействием и надежностью, позволяет осуществить работу
центрального процессора 24 ч в |
сутки |
при скорости |
порядка |
100 тыс. операций/сек. Обеспечить |
столь |
высокий темп |
перера |
ботки информации оказывается возможным лишь при развитой сети периферийных устройств, а это в свою очередь требует на личия каналов, организующих процессы обмена информацией. Управление процессами передачи и переработки информации ъ столь сложной системе целесообразнее выполнять программным способом, что и означает требование к наличию развитой системы математического обеспечения.
Сочетание перечисленных принципов позволяет обеспечить высокую эффективность работы ВС третьего поколения, но тре бует, чтобы относительно высокая доля технических средств (па мяти) и рабочего времени центрального процесса расходовалась на внутренние нужды системы.
ВС третьего поколения, как привило, выпускаются в виде нескольких моделей, составляющих нормальный ряд. Каждая старшая модель ряда обладает по сравнению с младшей мо делью большим объемом памяти, более высокими техническими параметрами и, в частности, большим быстродействием. Однако в пределах ряда все модели совместимы как по внутренним, так и по внешним языкам программирования. Это позволяет решать задачи, запрограммированные для одной модели ряда, средст вами других моделей, а также создавать вычислительные ком плексы, состоящие из нескольких моделей.
Для ВС третьего поколения характерна возможность ком плектования каждой конкретной установки из стандартных мо дулей, что позволяет предельно приблизить технические пара метры установки к требованиям заказчика. Поэтому основные технические характеристики даже одноименных моделей могут
отличаться у различных установок и |
будет правильным |
рассмат |
||||
ривать |
технические характеристики |
отдельных |
устройств — мо |
|||
дулей, из которых составляется установка. |
|
|
||||
Одной |
из наиболее характерных |
особенностей современного |
||||
состояния |
вычислительной |
техники |
является |
бурный |
рост вы |
|
пуска малых ЭВМ. |
|
|
|
|
||
В |
течение ближайшего |
десятилетня ожидается |
окончание |
разработок и освоение массового выпуска ЭВМ четвертного по коления. Мнения подавляющего большинства-ведущих специа листов сходятся на том, что к четвертому поколению следует относить многопроцессорные ВС. Однако здесь возможны раз личные пути развития.
• В четвертом поколении начинают применяться интегральные системы и микроминиатюрные элементы. Это позволяет созда вать вычислительные комплексы с суммарной производитель ностью в сотни миллионов операций в секунду и обуславливает
169