книги из ГПНТБ / Ядернофизические методы анализа и контроля технологических процессов [сборник статей]
..pdfгд е |
Z. = Z ( £ . ) , |
Z = A, |
В,В', |
В". |
|
(1.48) |
|
|
|
||||||
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М = |
Apmq |
+ В |
|
|
(1.49) |
|
|
Piз + А 2 Я |
|
|
|
|
|
(Ж = М (Е ), |
поскольку А = А (Е ), В — В (Е )) |
и |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(1.50) |
Определим |
ут для |
максимума S q, |
S q |
по у |
из условий |
||
|
|
|
|
|
|
|
(1.51) |
|
|
|
|
|
|
= |
0. (1.52) |
Вычисление |
отсюда ут в значительной мере |
зависит от |
степени |
||||
сложности спектра |
источника. |
|
|
|
|
До сих пор мы рассматривали параллельный пучок у-квантов. Однако при у-абсорбционном анализе пульпы (среды с малой плот ностью) приходится использовать слабые источники у-излучения, что значительно уменьшает защиту и, как следствие, длину кол лиматоров. При малой длине коллиматоров сокращается расстоя ние от источника до эффективного поперечного сечения детектора и, следовательно, лучевое приближение несет большие ошибки в расчетах. Для устранения этих ошибок рассмотрим теорию вопроса с учетом сферического расширения потока излучения.
При отсутствии поглощения и рассеяния поток Ф у-квантов через любую сферическую поверхность вокруг источника суть ве
личина постоянная: |
4- r 2f = |
const, |
(1.53) |
ф = |
|||
где г — радиус; / — плотность потока; т. е. |
|
||
, |
Ф |
const |
(1.54) |
|
4т.г- |
г- |
|
|
|
Дифференцируя (1.53) по г, получаем уравнение
(1.55)
решением которого является функция (1.54). Оператор
(1.56)
10
назовем радиальным оператором 1-го порядка для плотности (в данном случае /). Отметим, что радиальным оператором 2-го порядка может служить оператор
d ^ |
_4__d_ |
2 |
(1.57) |
||
dr- ' |
г |
ar |
1 г- ’ |
||
|
|||||
который вытекает из двукратного |
дифференцирования |
(1.53) по |
|||
г (функция (1.54) является решением |
уравнения K f —0) и отли |
||||
чается от радиальной части оператора Лапласа членом 2г-2. |
|||||
Оператор L характеризует |
процесс |
сферического расширения |
|||
плотности потока точечного источника. |
Иначе говоря, |
разность |
|||
между скоростью оПр притока |
у-квантов от точечного |
источника |
(расположенного в центре сферы) в единицу объема в данной точке сферы и скоростью цут утечки у-квантов из данного объема
суть |
|
®ут — ®.1Р = Lf. |
(1.58) |
При отсутствии внутренних для данного единичного |
объема |
источников и актов поглощения имеем |
|
L f = 0. |
(1.59) |
Если дополнительно происходит поглощение со скоростью иПогл и
образование |
у-квантов внутри единичного объема |
со |
скоростью |
|
^ обр , т о |
|
|
|
|
V |
+ ^логл - ^„р - ^обр - |
^погл - ^обр = |
0 . |
(1.60) |
Скорость поглощения у-квантов атомами компонента i пропор циональна плотности f потока, числу nt атомов компонента i и сечению поглощения о :
|
|
|
v погл |
i v |
- |
(1.61) |
Суммируя по всем компонентам, получаем |
|
|||||
|
^погл |
2 ^погл |
^2агйГ |
(1.62) |
||
Тогда (1.60) |
примет вид |
I |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|||
|
( |
- |
-1- 2 а' л ‘ К = 0 ’ |
(1.63) |
||
|
|
дг |
|
|||
|
\ |
|
|
i=l |
|
|
так как скорость v o6p |
в нашем |
случае равна нулю. |
Представим |
|||
плотность / |
как |
|
/ |
1, |
|
|
|
|
|
<?е |
(1.64) |
||
тогда (1.63) |
дает |
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
||
|
_д_ |
|
|
■2 |
I ®= 0 . |
(1.65) |
|
дг |
|
|
|||
|
|
|
|
/-1 |
|
|
11
Если положить
|
|
|
<* = |
- |
2 |
|
|
|
|
|
|
( 1.66) |
то (1.65) примет вид |
|
|
г-1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.67) |
Этому |
уравнению удовлетворяет |
функция |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
const |
|
|
|
|
(1.68) |
||
|
|
|
т |
= — |
• |
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
const ехр |
|
|
|
|
(1.69) |
||||
|
|
|
г 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если г |
г0 — радиусу |
источника, |
то |
в пределе ( ' |
г0) |
должно |
||||||
получиться |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
Фо |
ехр |
|
|
а, яг |
|
|
|
(1.70) |
|
Пренебрегая |
малостью |
г0 в показателе экспоненты, |
получаем |
|||||||||
|
|
/ = |
^ 72- е х р ( - г £ < у * г . |
|
|
|
(1.71) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
£- 1 |
|
|
|
|
Было бы ошибочно |
записать |
взамен (1.63) |
уравнение |
|
|
|||||||
|
|
|
I f + |
|
/ 2 |
|
зл |
= о, |
|
|
|
(1.72) |
потому что оно не дает закона ослабления в форме |
(1.71) |
(функ |
||||||||||
ция (1.71) не является |
решением |
уравнения (1.72), что легко про |
||||||||||
верить |
непосредственной подстановкой). Аналогично |
функция |
||||||||||
(1.54) представляет собой решение уравнения |
(1.55) |
и не являет |
||||||||||
ся решением |
уравнения df/dr = 0. |
Вот почему |
необходимо |
было |
||||||||
искать |
более |
строгий подход |
к |
построению |
дифференциального |
уравнения (1.63).
Отметим попутно, что радиальные операторы L, М имеют, оче видно, важное значение в теории дифференциальных уравнений сфероструктурных процессов от точечных или эквивалентных им
источников. |
и |
(1.15), из |
(1.71) |
получаем формулу |
|
||
Учитывая (1.12) |
|
||||||
|
|
/ |
= - ^ т е х р |
| — rp |
|
|
0-73) |
справедливую для однородной среды вокруг источника. |
|
||||||
Нас |
интересует |
конкретный |
случай |
ослабления |
пучка |
слоем |
|
среды |
при наличии жесткой коллимации. Рассмотрим |
три |
отдель |
12
ные области (рис. 2) распространения пучка: 1) на пути гу от ис точника до пробы; 2) в пробе (г2—n); 3) от пробы до детектора (г3—г2). Д ля всех трех областей, учитывая жесткую колимацию, можем записать уравнения
L f = |
0, |
0 < г < г „ |
(1.74) |
^ + 2 |
= |
r i < r < r , t |
(1.75) |
L f = 0, |
|
(1-76) |
и сшить их на границах.
Рис. 2. Схема метода ^-абсорциометрии:
1 -источник; 2 - защита-коллиматор; 3—проба; 4—защита-кол лиматор; 5 —детектор.
Первое уравнение дает плотность потока на грани гу пробы:
|
Л = - А - . |
(I-77) |
|
4ur'i |
|
Д ля второго уравнения имеем решение (см. (1.69)) |
|
|
* |
const |
(1.78) |
/ = |
—75- ехР |
При г—>-г1 (1.78) переходит в (1.77), т. е.
.. |
const |
, |
г |
|
N |
lira |
— g - |
e x p ( - |
У <угЛ= |
||
Г-*ГУ 9 |
4 |
|
|
y |
|
const |
^ |
ч |
фп |
||
|
е х р ( - / - ! 2 |
3Л-) |
= |
(1.79) |
>t |
13 |
откуда следует |
|
Фп |
|
|
||
|
|
|
|
(1.80) |
||
|
|
const |
= |
4 ^ ех р (г ‘ 2 ' а Л ) ’ |
||
|
|
|
||||
тогда (1.78) |
примет |
вид |
|
|
|
|
|
£ _ Фр |
ехр [— (г - г,) |
щ]- |
(1.81) |
||
|
7 |
4w ' |
|
|
|
|
В третьей |
области |
имеем |
|
const |
|
|
|
|
|
f |
|
(1.82) |
|
|
|
|
Г2 |
|
При г г2(1.82) и (1.81) в пределе должны совпадать, т. е.
1• |
const |
|
const |
Ф п |
|
Г |
. |
|
, |
I |
|
’ |
|
|
|
lim ■Ф° |
exp [ - ( г |
- |
|
|
|||
hm- |
|
r\ |
|
|
|
||||||
г->г2 |
Г1 |
|
|
Т 4 к г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
г-*г2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.83) |
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
const = |
exp [ - |
(г2 - r t) 2 |
=5 «i] • |
(1.84) |
||||||
Следовательно, |
(1.82) |
окончательно |
преобразуется |
к |
|||||||
|
|
/ |
= |
^ |
- e x P [ - ( 0 |
- 0 ) 2 at«/]. |
(1.85) |
||||
Обозначим |
через |
х = |
г2 — гх толщину |
пробы и |
запишем плот |
||||||
ность потока на |
расстоянии г2 для |
трех |
основных компонентов |
пульпы (вольфрам — си рь порода — с,, ц2, вода — с3. р3) с учетом
(1.12), |
(1.15), |
(1.23), |
(1.24), |
(1.30), |
(1.32), |
(1,33): |
|
|
|
|
|
/ - |
|
Фо ехр |
хр0 |
ЛрозЯ |
в |
( 1.86) |
|
|
|
|
4тсг. |
|
Р23 + Р12Ч |
|
|
Учитывая, что интенсивность, регистрируемая детектором, про порциональна плотности f и эффективной площади D детектора, можем записать
1 = |
ДФ0 |
ехр |
— хр0 |
Ар03д |
+ |
В |
(1.87) |
||
|
|
4*4 |
|
|
|
Р23 + Pi2 ч |
|
|
|
Чувствительность |
по |
q |
суть |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dl_ |
Д роз P i 3 Ро X |
у |
|
( 1.88) |
|
|
|
|
|
dq |
(р23 + Р\1 q)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Представим r z |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
г3 = |
х -f- r t + |
(г3 — г2) = х + d, где |
d = const. |
(1.89) |
|||||
Дифференцируя |
(1.88) |
по х |
(с учетом |
r z — x - \ - d ) |
и прирав |
||||
нивая нулю, находим |
|
|
|
|
|
|
|
14
( m ”f~d) ‘2xr |
xmT |
= |
0. |
(1.90) |
(x m+ d)3 |
(xm+ d)“ |
где x m — значение л:, соответствующее максимуму S q\
|
Т = Ро |
+ |
5 ). |
(1.91) |
|
™[Р23-гРпЯ ^ |
j |
|
|
Из (1.90) |
следует |
|
|
|
|
Tx2m+ (dT + |
l ) x m- d = 0 , |
(1.92) |
|
что дает два |
решения |
|
|
|
|
~ ( d T + 1) ± V ( d r + l ) - 2 + 4 d r |
|
||
|
х mi,2 |
2Т |
|
(1.93) |
одно из которых, отрицательное, отпадает. В оставшемся решении
v/n — |
- ( d T + 1) 4- Y (d T 4 - 1) + 4 d T |
(1.94) |
2f -------------------- |
мы не можем положить d — 0, так как плотность потока на гра
нице |
источник — проба |
тогда |
равна бесконечности ^при d = 0, |
х — 0 |
получим г — 0 и / |
= |
= оо). |
Максимум х т наблюдается при q = 0:
|
max (x m) = — |
|
тз- + 1) + V(d?о t3 + ip + 4rfPo. |
(1.95) |
|||
|
|
m |
|
2p0 x3 |
............... 1Тз |
||
|
|
|
|
|
|||
Здесь приняты |
во внимание равенства (1.36). |
|
|||||
|
Вычислим ш ах (хт ) |
и ш ах(ут ) при |
d |
= 5 см: |
|
||
|
|
|
|
ш а х (х т) = |
|
|
|
|
_ - (5 -1,3-0 . 17+ 1) + |
У (5 -1, 3 -0 , 17+ 1)2+ 4-5. 1,3 -0.17 |
c m , (1.96) |
||||
|
|
|
|
2 -1,3.0,17 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
max (уп ) = |
р0 (шах х т) = |
2,6 |
г-смГ2 . |
(1.97) |
||
Д ля |
d — 10 см |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
шах (хт) = 2,46 см, |
|
(1.98) |
|||
|
|
max ( y j = 3,2 г-см~2 . |
(1.99) |
||||
Как |
видно, это |
значение |
существенно |
отличается от |
результата |
(1.42), вычисленного при тех же данных для случая параллель
ного пучка у-излучения. По |
мере увеличения |
d |
(1.92) |
переходит |
|||
в (1.40) |
(после умножения на р0). |
|
|
|
|||
Чувствительность на процент q при а =10 |
см будет |
составлять |
|||||
4,7% от I. |
|
|
|
|
|
|
|
Для сложного пучка у-излучения источника выражение (1.87) |
|||||||
запишем |
в дифференциальной форме |
|
|
|
|||
|
дР_ __ |
D |
<ЭФ0 |
—W |
|
|
|
|
дЕ ~ |
4r.rl |
дЕ ехр |
+ |
В |
(1.100) |
|
|
|
|
|
^ 7*23 + Р\2 Я |
|
|
15
1 |
d<t>0 |
|
|
|
плотность |
потока |
в отсутствие по- |
||
где — |
й—тб— спектральная |
||||||||
4пгз |
o t- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
глотителя, т. е . л: в экспоненциальном множителе |
равен |
||||||
|
|
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
Интегральная интенсивность определится по формуле |
|
||||||||
|
|
|
|
D |
|
. <7Ф„ |
|
|
( 1. 101) |
|
|
|
4пг\ J |
d E ~dE е х р ( - хТ), |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
д % (£,) |
|
|
|
|
|
/" = |
D |
Ь—а |
|
е х Р ( - ^ |
/ ) - |
( 1. 102) |
|
|
|
4nr\ |
k |
|
|
||||
|
|
|
|
7=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
чувствительность |
по q можно найти |
из выражения |
||||||
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
дГ_ |
|
ЯхРозРюдРо |
d E A ^ e ~ xT, |
(1.103) |
|||
|
|
dq |
4*г1 (р2з + Рп q f |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S. = |
dl" |
Рхрозр^дро |
|
b — a |
|
|
04) |
||
dq |
4nr! ( P2з + W v f |
. |
|
|
|||||
|
|
7=1 |
|
|
Максимальная чувствительность наблюдается при значении л:,
удовлетворяющем |
условию |
ь |
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
(d + х) |
6Е |
х j d E A |
Те~хТ, |
|
(1.105) |
или |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г' |
• |
(1.106) |
7=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
колебаний |
плотности |
|
при ее |
стабилизации на результаты у-абсорбционного анализа пульпы.
Выражение (1.31) |
можно записать в виде |
|
|||
|
/ а г / 0 е х р [ - х ( т 3 Ро+ |
Р03)] , т 23^ 0 . (1.107) |
|||
Найдем чувствительность интенсивности I к изменению плот |
|||||
ности |
ро в дифференциальной |
форме: |
|
||
|
S = |
d l |
■I x [ |
Й"13<7Р3 |
(1.108) |
|
<7р<> |
||||
|
Ро |
|
|
|
|
здесь |
введено обозначение |
|
|
|
|
|
|
а = ( Рз2 + Я Р п У 1 |
(1.109) |
||
|
|
|
16
Следовательно, погрешность в интенсивности / за счет колеба ний плотности р0
|
|
|
|
Д /^ Д р 0 Д |
|
(1. 110) |
|
|
|
|
0 Ро |
|
|
может быть представлена в виде |
|
|
||||
|
|
A / ^ l\Po 1х ( т3 + аге^Рз-1 |
). |
(1.111) |
||
Тогда ошибка |
анализа в |
определении q с учетом (1.37) |
имеет |
|||
ьид |
|
|
|
|
|
|
А |
_ |
А / |
5 -х _ fl2 ( "з + а Эз ?Рз-1 |
) Рз Ро |
(1.112) |
|
|
Ро |
Ро |
? |
х1зРозРез |
|
|
Из (1.112) можно установить пределы колебания плотности в способе анализа при постоянной плотности, зная допустимые зна
чения Д<7 . |
Так |
например, |
при р0=1,3, |
р2 = 2,8, pi = 19,3, |
р3= 1 , |
|||
ti=4,36 см2-г~', |
т2~ тз^0,17 |
см2-г~1 (для |
Е = |
0,1 Мэе) |
получим |
|||
для |
q = 0,03 |
(промпродукт) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х « 1 , 0 5 Д Ро, |
|
|
(1.113) |
||
для |
q = 0,6 |
(концентрат) — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч о ^ 5’7 ДРо- |
|
|
(1.114) |
||
С учетом требований производства в первом |
случае (для пром- |
|||||||
продукта погрешность автоматического анализа |
102Д<7„ ^ 0 ,3 % |
W) |
||||||
колебания плотности пульпы не должны превышать 0,3% |
Ро, |
а во |
||||||
втором (102 Д<7р |
^ 2 ,5 % W )—0,4% р0. Эти достаточно жесткие тре |
бования к стабилизации плотности пульпы указывают на необхо димость разработки чувствительных регуляторов плотности пульпы для анализа при постоянной плотности.
М. Интерпретация результатов у-флуоресцентного анализа вольфрама в сталях, порошках, жидких продуктах обогащения*,
В у-флуоресцентном анализе для интерпретации результатов измерений широко используется способ спектральных отношений. Считается, что между концентрацией с определяемого элемента и спектральным отношением т] существует линейная зависимость в достаточно большом диапазоне концентраций [5, 6].
Здесь мы выводим функциональную зависимость между с и т] между с и т)' — отношением к счету в равновесной точке, а также формулу, учитывающую насыщение счета флуоресцентного излуче ния и падение счета рассеянного излучения при возрастании г.
* Раздел написан совместно с Л. Н. Кобелевы |
Гос. пубтичная |
|
|||
|
ч |
|
научногохничоекая |
|
|
2 -9 9 |
I б и б л и о :.н а С СС Р |
17 |
|||
|
|||||
|
|
I |
ЭКЗЕМПЛЯР |
|
|
|
|
1 |
ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА |
|
|
|
|
|
|
Способ спектральных отношений исходит из зависимости отно шения г] спектральных интенсивностей / ь h (или скоростей счета «ь п2) в двух каналах
h |
Hl |
(ИЛ) |
h |
п2 ’ |
|
от концентрации с исследуемого |
элемента, причем |
один канал |
настраивается вблизи пика флуоресцентного излучения исследуе мого элемента, другой — вблизи пика рассеянного излучения или вблизи равновесной точки.
Выведем функциональную зависимость между г| и концентра
цией с исследуемого элемента, |
пренебрегая фоновым |
излучением |
||
и излучением многократного рассеяния. Скорость счета |
в /-м кана |
|||
ле можно представить в виде |
|
|
|
|
« / - |
njs + |
V |
|
(И.2) |
где i , s - индексы флуоресцентного |
излучения |
однократного |
||
рассеяния. |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
(Н .З)
Предполагая, что флуоресцентное и рассеянное излучение (каж дое в отдельности) подчиняются нормальному закону распределе ния, записываем
|
|
|
|
|
« 1, |
= |
|
|
G U ) |
|
|
|
|
|
п,. |
S4 |
|
(Д-5) |
|
где о., ^ — константы, |
зависящие от |
величин дисперсий |
и от вы- |
||||||
|
бора каналов. |
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
(Н.З) принимает |
вид |
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
n U |
+ |
ап 2s |
\ -j—.с |
- |
(П.6> |
|
|
|
71 |
?Я ц |
+ |
п 2S |
зГ + 1 |
||
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
п и п ъ |
|
(Н.7) |
||
По определению |
п и — скорость |
счета |
импульсов |
флуорес |
|||||
центного |
(I) |
излучения |
в первом |
канале, |
n.,s — рассеянного (s) |
||||
излучения |
во |
втором |
канале. |
Последняя |
уменьшается |
пропор |
ционально концентрации |
с исследуемого |
элемента |
(поскольку |
||
рассеивается |
тем меньше |
-[-квантов, |
чем |
больше |
поглощается |
исследуемым |
элементом): |
"L- |
|
|
(П'.8) |
|
|
|
|
где — значение n2s при с — 0.
С другой стороны, всякий поглощенный 7-квант дает определенныйпроцент выхода флуоресцентного излучения в канале 1,
т. е. |
t' |
(‘1-9) |
п и ~~с. |
||
Учитывая высокую эффективность относительных величин, |
||
будем нормировать (я”* — л 2*) и п и на |
поскольку она |
легко |
фиксируется в эксперименте. Однако, как увидим позднее, в эк
спериментах удобнее находить не |
n%s а отношение |
п и |
(И. 10) |
-'1о = - 4 £ ,. |
|
п )о |
|
определяемое на пустой породе. Из нормировки (II.8), (II.9) по лучим
|
5 = |
|
ас, |
|
‘ 2s |
|
|
|
n 2 s ~ n 2s |
= |
be, |
где a, b — константы |
пропорциональности. |
||
Тогда (II.7) с учетом (11.11), |
(11.12) принимает вид |
||
|
1 - |
Ьс ‘ |
|
Из (II.6) и (11.13) |
получим |
|
|
(II.11)
(11. 12)
(11.13)
|
с |
-1 |
|
А — Вс |
1 — * |
(11.14) |
|
|
|
|
1 - |
||||
|
а 1 — Ьа~ ‘ с |
|
’ |
||||
где А = а 1 , |
В — Ьа -1* — новые |
константы. |
|
||||
При с = 0 |
следует |
/г°г = |
0, |
« .^ = 0 , поэтому |
из (11,3) имеем |
||
|
|
а = |
= |
я?* + < |
1S |
(IL15) |
|
|
|
|
|
Л+ < |
Г * |
|
|
Индекс 0 указывает на измерения на пустой породе. |
|||||||
Из (11.14) |
следует |
функциональная зависимость с от |
|||||
|
|
с = |
|
|
A ft |
|
(11.16) |
|
|
|
1 - |
f t + в f t |
' |
где А, В, Э— искомые константы, легко вычисляемые. по экспе риментальным данным (для эталонов) зависимости г- от с, по скольку они входят в линейную систему уравнений
ci ~ ci ГФ + СФ \ В,. ~ A l r k = ?1У „: |
.(.ILX7) |
где е<— невязки, 1 < i < п (п > 3).