книги из ГПНТБ / Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций

Как видно из табл. 13, в каждом из бассейнов эффектив­ ность капиталовложений различна, но наиболее выгодна в пер­ вом бассейне. Если все капиталовложения направить в первый бассейн, то будет получен эффект 1,38 млн. рублей. Однако су­

В качестве этапов вычислений, с применением рекуррентно­ го соотношения (5.4.3), будем рассматривать направление ка­ питаловложений сначала в один бассейн, затем в два, в три бас­ сейна и, наконец, в четыре бассейна. Рекуррентные соотноше­ ния запишутся:

Здесь функция F (х) — оптимальное распределение капита­ ловложений в один, два, три и четыре бассейна. Так как Fi (А) = fj (х), то нет нужды рассматривать этот вариант, от­

70

вет находится в столбце fi (х) табл. 12. Результаты вычисле­ ния в соответствии с выражением (5.4.8), т. е. оптимальное рас­ пределение капиталовложений в двух бассейнах, приведены в табл. 14.

В табл. 14 приведено оптимальное распределение не только 1 0 млн. руб., но и других сумм, т. е. 1 , 2 , 3 и т. д. млн. руб., это необходимо для дальнейших вычислений. Из табл. 14 видно, что, если рассматривать только два бассейна, то наиболее вы­ годно 7 млн. руб. направить в первый бассейн и 3 млн. руб. во второй. Все другие варианты менее выгодны. Решение прини­ мается путем простого перебора всех вариантов распределения капиталовложений. А если в этих двух бассейнах надо распре­

ривая оптимальное распределение F i2, найденное на предыду­ щем шаге, в качестве исходного данного. Результаты вычисле­ ний приведены в табл. 15.

2 млн. руб. в четвертый. Прибыль при этом составит 1,81 млн. руб.

Из примера видно, что благодаря применению метода дина-

71

мического программирования задача с четырьмя параметрами превратилась в три задачи с одним параметром, что позволило довольно легко и просто решить ее, пользуясь методом триви­ ального перебора вариантов.

§ 5.5 Стохастическое программирование

Стохастическое программирование — это метод решения за­ дач на оптимум в условиях частичной неопределенности, слу­ чайности.

Строго говоря, в любом случае решения экономических за­ дач на максимум прибыли или минимизацию издержек произ­ водства — показатели удельной прибыли или себестоимости яв­ ляются величинами случайными, т. е., предполагая, что это де­ терминированные, наперед заданные, строго определенные зна­ чения, мы делаем известные допущения. Определить будущую прибыль или себестоимость точно невозможно, поэтому пра­ вильнее считать, что себестоимость равна некоторой предпола­ гаемой себестоимости, умноженной на коэффициент, являющий­ ся случайной величиной. В детерминированной постановке этот коэффициент принимается равным единице.

Рассмотрим несколько примеров постановки задач стохасти­ ческого программирования.

72

Ограничения линейны, целевая функция также линейна, только в состав целевой функции включены коэффициенты неопреде­ ленности К, тогда (5.5.1) имеет вид:

ей ок2, В наиболее простом случае случайные величины подчи­

няются нормальному закону распределения, а их математиче­ ское ожидание Ek[ = 1.

Законы распределения случайных величин Ki определяются (см. главу III) путем построения доверительных интервалов к коэффициентам целевой функции (5.5.3).

2.Неопределенность может быть и в ограничениях, где в

качестве величин принимаются линейные коэффициенты щ

Ka JCijRjKAjAj

i

xrj > 0.

В качестве частного случая этой задачи может рассматри­ ваться вариант, когда целевая функция линейна и детермини­ рована, а ограничения имеют элемент неопределенности. Есте­ ственно, что первая задача также является частным случаем данной задачи.

73

3. Целевая функция линейна, может быть детерминирован­ ной, может носить элементы неопределенности

ограничения же заданы вероятностью, но под знаком вероятно­ сти находятся линейные выражения:

неравенство EaijXjj^Aj может иметь элементы неопределен­ ности, т. е. aij и Aj могут быть заданы случайными величинами.

Целевая функция и ограничения в задачах 1—3 могут быть заданы нелинейно. Тогда задачи 1—3 будут относиться к зада­ чам нелинейного стохастического программирования.

4. Целевая функция детерминировании или случайна. Огра­

74

В этой постановке не все переменные хц заданы распределе­ нием вероятностей, а только часть входящая в подмножество L. В экономических задачах такие ограничения могут иметь место, когда учитываются природные факторы, т. е. такие факторы, предугадать которые нельзя. Невозможно также повлиять на их величину.

Поэтому эти факторы принимают как объективную реальность в виде случайных величин, подчиненных тем или иным законам распределения.

Рис. 10. Распределение случайной величины и доверительный интервал

Случайными величинами являются также некоторые коэф­ фициенты неравенств (5.5.12), они задаются распределением

Q (Е, а2).

Немногие известные методы решения стохастических задач можно подразделить на две группы:

1. Приемы, при помощи которых стохастические задачи сво­ дятся к задачам детерминирования и решаются методами опти­ мального программирования;

2 . Вероятностные методы решения стохастических задач, из которых в настоящее время наибольшее распространение полу­ чил метод статистических испытаний (Монте-Карло).

Наиболее простым и некорректным способом сведения сто­ хастических задач к детерминированным является приравнива­ ние единице коэффициентов неопределенности К в задачах типа 1—2. При этом, не учитывается стохастичность задачи. Дру­ гим, более обоснованным способом сведения стохастических за­ дач типа 1 — 2 к детерминированным является метод программи­

75

Г Л А В А VI

ДИСКРЕТНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

§ 6.1. Экономический смысл дискретного программирования

Задача дискретногопрограммирования возникает в случаях, когда а) на переменные наложены требования целочисленности; б) целевая функция имеет прерывный характер.

В литературе этот метод часто называют целочисленным программированием, иногда комбинаторным программировани­ ем. Однако эти определения неполностью отвечают вышепере­ численным условиям. Задача дискретного программирования возникает не только при выполнении требований целочисленности, ио и во многих других случаях, связанных с разрывами функций. Собственно, само понятие целочисленности тоже вы­ ражение дискретности, выражение того, что функция действи­ тельна только в определенных точках, выраженных целыми чис­ лами. Поэтому более правильно называть этот раздел матема­ тического программирования дискретным.

Комбинаторное программирование — термин, происшедший от метода решения некоторых задач дискретного программиро­ вания. По модели и по постановке задачи нельзя решить, отно­ сится ли данная задача к комбинаторным. Если 'при ее реше­ нии приходится применять комбинаторные методы, значит за­ дачу следует отнести к комбинаторным.

Задачи дискретного программирования — наиболее распро­ страненные в экономике, особенно, в планировании строитель­ ного производства. Это следствие особого требования к разме­ щению капиталовложений: потребительскую ценность для народного хозяйства имеют объекты только законченные строи­ тельством. Так как задачи планирования строительства рассмат­ риваются как задачи распределения средств, требуемых для

ляющиеся результатом того, что при распределении средств не учитывается целочисленный характер их потребления.

77

Выступая на XV съезде профсоюзов, генеральный секретарь ЦК КПСС товарищ Л. И. Брежнев говорил: «Медленно улучша­ ется положение в такой важной сфере, как капитальное строи­ тельство. План ввода запланированных объектов в 1971 г. не был выполнен. Сроки строительства остаются большими. Удель­ ный вес, так называемой, «незавершенки» в сравнении с 1970 го­ дом даже увеличился».

Рост незавершенного строительства является прежде всего, недостатком планирования. Выделяемых для завершения строи­ тельства объекта средств часто не хватает. Подобное отвлече­ ние ресурсов на объекты, строящиеся по нескольку лет или де­ сятилетий, приносит вред народному хозяйству.

Рис. 11. График выпуска продукции:

а) угольной шахты; б) строительной организации

Внастоящее ъремя возникли условия для применения задач целочисленного программирования и в микроэкономике, т. е. при

решении экономических задач той или иной строительной орга­ низации. Внедрение новой системы расчетов за объект или круп­ ный этап выдвигает требование дискретного обеспечения пуско­ вых объектов необходимыми ресурсами. То есть пусковые строй­ ки следует обеспечивать полным количеством ресурсов на весь плановый период или не выделять ничего, исключая, конечно, разумный задел.

Наконец, прирост мощностей в результате строительства (продукция строительства) носит ярко выраженный дискретный характер. Нельзя ввести в строй какую-то долю завода, фабри­ ки, жилого дома и т. д. Но можно ввести завод, очередь, цех, жилой дом. На рис. 11 приведены графики выпуска продукции: а) угольной шахты, б) строительной организации. Если гра­ фик а) представляет собой гладкую монотонно-возрастающую функцию, то график б) — возрастающая ступенчатая функция,

78

характерная длительными «нулевыми» приростами и краткими по времени скачкообразными приростами готовой продукции.

Кроме того, нельзя не учитывать дискретность ресурсов: машин, оборудования, бригад рабочих, комплектов поставок материалов и т. д. Все это также элементы дискретности в зада­ чах математического программирования в строительстве.

§ 6.2. Постановка некоторых задач дискретного программирования

Можно сформулировать три класса задач дискретного про­ граммирования:

1 ) задачи с неделимостями;

2 ) целочисленная вариантная задача;

3) задача с разрывной функцией.

Существует два вида задач с неделимостями.

Постановку задачи планирования выпуска неделимых видов продукции рассмотрим на следующем примере:

Задача № 1. Необходимо составить план работы строитель­ ного треста, имея в виду, что

Xi — сметная стоимость строительных объектов, на часть из которых, допустим, крупнопанельные жилые дома и крупные этапы промышленного строительства, наложено условие цело-

i-i

Xin— целые, наперед заданные, числа. Под понятием «целые числа» здесь подразумеваются сметные стоимости на сооруже­ ние полностью законченных объектов, очередей или этапов.

79