книги из ГПНТБ / Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций

Г Л А В А II

ПАРНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

§ 2.1. Корреляция

Методы теории корреляции позволяют определять количест­ венную зависимость между различными техническими, техноло­ гическими, организационными, экономическими и другими фак­ торами.

Различают зависимости: функциональную и корреляцион­ ную. Под функциональной понимается такая зависимость, когда с изменением одного фактора изменяется другой, причем, одно­ му значению независимого фактора обычно соответствует толь­ ко одно значение зависимого фактора. Корреляционная зависи­ мость— это такая зависимость, которая определяет некоторые средние соотношения и одному какому-либо значению независи­ мого переменного может соответствовать только среднее значе­ ние зависимого переменного. Конкретных же значений может быть несколько. На рис. 1 и 2 приведены примеры функциональ­ ной и корреляционной зависимостей. Корреляционные зависи­ мости наблюдаются только при массовых явлениях.

При корреляционном анализе решаются следующие задачи:

и достоверность отдельных параметров.

Наличие корреляции приближенно может быть определено путем визуального анализа поля корреляции. Корреляционным полем называют нанесенные на график в определенном мас­ штабе точки, соответствующие одновременным значениям двух величин. На рис. 3 приведено поле жорреляции между себестои­ мостью (млн. руб. затрат на 1 млн. руб. сметной стоимости строительства) и численностью рабочих (на 1 млн. руб. стои­ мости строительно-монтажных работ). На графике можно про-

•вести линию, вокруг которой концентрируются точки поля, на основании этого можно сделать вывод о наличии корреляции.

11

У

Рис. 2. График корреляции

У

1.6

. *

Численность рабочих

Рис. 3. Поле корреляции между уровнем себестоимости и численностью рабочих на 1 мли. руб. сметной стоимости

§ 2.2. Теснота связи

Тесноту связи между двумя величинами можно определитьвизуально по соотношению короткой и продольной осей эллип­ са рассеяния. Чем больше отношение продольной стороны к ко­ роткой, тем связь теснее. Например, у эллипса рассеяния, при­ веденного на рис. 3, продольная ось намного больше, чем ко­ роткая. Это означает, что между себестоимостью строитель­

г = 1, то между двумя величинами существует функциональная связь. При положительном г наблюдается прямая связь, т. е. с увеличением независимого переменного увеличивается зависи­ мое. При отрицательном коэффициенте существует обратная

где х и у — текущее значение наблюдаемой величины, N — число наблюдений.

13

Другая формула для определения коэффициента корреляции:

§ 2.3. Метод наименьших квадратов

Для численного выражения параметров функции, выражаю­ щих связь между двумя величинами (линии регрессии), обычно применяется метод наименьших квадратов. Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что выбирается такая ли­ ния, проведенная в центре эллипса рассеяния, при которой сум­ ма квадратов разностей между фактическими наблюдениями зависимой переменной и расчетными значениями, полученными по регрессионной формуле, минимальна

где у — расчетное значение зависимого переменного по корре­ ляционной формуле.

Для нахождения параметров линии регрессии в выражение (2.3.1) подставим правую часть формулы, параметры которой

следует найти. Допустим, у = а + Ьх, тогда

Возьмем частные производные по а и b от выражения (2.3.2)

нприравняем их к 0:

——= — 22 (у — а — Ьх) = О

da

(2.3.3)

— — 2 S (у —а — Ьх) х = О

Решаем систему из двух уравнений относительно а и b:

N a + Ь ^ х — Ъу

( 2 . 3 .4 )

аЪ х - \- Ы>х2 = Их у

14

получим формулу:

N 2 ху — Их Sy

(2.3.5)

N S ^ - ( S a:)2 '

Параметр а находим подстановкой в формулу прямой линии значения параметра Ъ. Решив уравнение прямой линии относи­ тельно а при х и у, закрепленных на среднем уровне, получим:

а= у — Ьх.

Вформу табл. 1 заносятся исходные данные для определения прямой линии.

При линейной корреляции коэффициент корреляции г являет­ ся не только критерием тесноты связи, но й критерием точности аппроксимации (подбора формулы, выражающей зависимость).

Рассмотрим пример установления корреляционной зависимос­

15

плуатации машин и механизмов— х. Поле корреляции этой свя­ зи приведено на рис. 4.

Исходные данные для определения линии регрессии приведе­ ны в табл. 2.

Расходы по эксплуатации машин и механизмов

Рис. 4. Поле корреляции

Расписав исходные данные по форме табл. 1 и произведя не­ обходимые вычисления, получим суммы:

Используя эти данные, вычислим

16

Таким образом, уравнение связи между основной заработной платой и расходами по эксплуатации машин и механизмов в строительстве имеет выражение:

Коэффициент корреляции между этими двумя показателями

§ 2.4. Степенная зависимость

Допустим, что имеем парные наблюдения (у, х), представ­ ляющие соответственно выработку в тыс. руб. и коэффициент текучести. Результаты наблюдений приведены в табл. 3.

Т а б л и ц а 3

Аналогично примеру, рассмотренному в предыдущем пара­ графе, зададимся гипотезой, что между, себестоимостью и те­ кучестью имеется линейная зависимость. Воспользовавшись процедурой метода наименьших квадратов, определим парамет­ ры этой линии и коэффициент корреляции г.

Коэффициент корреляции г = 0,197.

Нельзя ли эту зависимость аппроксимировать какой-либо другой линией, которая более точно соответствовала бы этим статистическим наблюдениям?

На рис. 5 приведено поле корреляции между показателем вы­ работки и коэффициентом текучести. По форме облака рассея­ ния видно, что кроме прямой линии в центре .хяштения лючек

17

можно провести кривую. Аппроксимируем эту кривую степен­ ной зависимостью

Для определения параметров степенной зависимости пользу­ ются процедурой метода наименьших квадратов, но предвари­ тельно производят линеализацию (спрямление) кривой. Для

Рис. 5. Поле корреляции между выработкой в тыс. руб. и коэффициен- ■ том текучести

этого необходимо прологарифмировать правую и левую части формулы (2.4.2), в результате чего получится выражение

Параметры Iga я Ь находятся методом наименьших квадратов. Система линейных уравнений (2.3.4) может быть преобразова­ на и решение получено по формулам:

18

Необходимо помнить, что в результате этих вычислений по­ лучается Iga, поэтому для получения параметра а формулы степенной зависимости это выражение следует потенцировать, в то время как Ь получается в чистом виде.

Оценка точности аппроксимации криволинейной зависимос­ тью производится при помощи корреляционного отношения

У2 ( у — у ?

Корреляционное отношение всегда 0 ^ т] ^ 1, оно всегда положительно. Если г) больше г, то кривая точнее аппроксимиру­ ет зависимость, чем прямая, для прямой г = т].

Табл. 4 содержит форму записи исходных данных для опре­ деления степенной зависимости.

Дополнительной оценкой точности аппроксимации, часто применяемой при оценке нелинейной корреляции, является сред­ няя относительная ошибка аппроксимации е, которая определя­ ется по формуле:

Пользуясь формулой (2.4.7), определяем расчетные значения у. Заполнив столбцы 9—13 табл. 4 и подсчитав суммы по фор­

19