книги из ГПНТБ / Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций

Г Л А В А V

ОПТИМАЛЬНОЕ (МАТЕМАТИЧЕСКОЕ) ПРОГРАММИРОВАНИЕ

§5.1. Роль метода математического программирования

вуправлении

Процесс управления условно подразделяют на три функци­ ональных подпроцесса: сбор информации (учет), анализ собран­ ных данных и принятие решений на основании анализа (плани­ рование). Все три этапа управления важны и необходимы, од­ нако последний (принятие решений) является важнейшим. Планирование осуществляется на основании результатов двух первых этапов. Для того, чтобы принять правильные решения необходимо полное изучение состояния объекта, т. е. составле­ ние математической модели.

Для получения наилучших результатов какого-либо эконо­ мического или технологического процесса принятое решение должно быть оптимальным, т. е. лучшим из всех возможных в данной ситуации. В практике управления такое решение прини­ мается по интуиции, на основании опыта, путем сравнения ва­ риантов и т. д. В простых ситуациях при достаточно большом опыте, природном уме и знаниях руководителя принимается решение, близкое к оптимальному, однако при небольшом ус­ ложнении задачи, как правило, принимается не оптимальное решение, а всего лишь удовлетворительное.

Общественное производство сейчас находится на таком уровне развития, когда выполнение неоптимального решения, нанесет народному хозяйству серьезный ущерб. Например, при средней эффективности капиталовложений 0,12 и объеме годо­ вых капиталовложений 100 млрд, руб., ошибка в распределении этих капиталовложений в пределах даже 1% может привести к

жет принести значительный ущерб. Для нахождения оптималь­ ного-(или близкого к оптимальному) решения разработаны ме­

61

мума при наличии ограничений на переменные. В работе [4] дается такое определение: «математическое программирование — распределение ограниченных ресурсов наилучшим способом для достижения поставленных целей». Оскар Ланге [6]: «програм­ мирование... занимается изучением частного вида рациональ­ ной деятельности, наука о программировании, или теория про­ граммирования есть часть праксеологии. Она представляет собой математическую теорию применения принципа рациональ­ ного хозяйствования». Праксеология по О. Ланге — наука о ра­ циональной деятельности.

Термин «программирование» произошел от иностранного слова «программа» — план. Значит, программирование — улуч­ шение плана, вернее, отыскание наилучшего плана. В дальней­ шем наряду с термином «математическое программирование» мы будем употреблять выражение «оптимальное программиро­ вание», считая два этих термина однозначными.

Родиной программирования следует считать нашу страну, так как академик Л. В. Канторович еще в 1938 г. предложил метод линейного программирования для выбора наилучшего графика загрузки лущильных станков на фанерной фабрике. Однако в то время метод у нас в стране не был замечен и неко­ торое время дальнейшее развитие математического программи­ рования осуществлялось зарубежными учеными. Большой вклад в развитие теории и методов программирования внесли ученые Дж. Данциг, Р. Гомори, Р. Беллман и др.

Начиная со второй половины пятидесятых годов математи­ ческое программирование бурно развивается в нашей стране. Плановая социалистическая экономика представляет большие возможности для внедрения оптимального программирования, так как в условиях социализма, при концентрации материаль­ ных и других ресурсов в руках государства, представляется возможным принимать оптимальные решения в масштабах все­ го народного хозяйства или отдельных отраслей. Начиная с 1971 года перспективные планы по основным отраслям народ­ ного хозяйства составляются только оптимальными методами.

Внедрение электронно-вычислительных машин и автомати­ зированных систем управления позволяет применить методы оп­ тимального программирования для перспективного и текущего планирования деятельности отдельных предприятий, строитель­ ных организаций, производственных объединений. Широко внедряется оптимальное программирование и в оперативное уп­ равление отдельными технологическими процессами. В строи­ тельстве это — оптимальное управление перевозками строи­ тельных материалов, конструкций и деталей, оптимальное уп­

62

равление строительными машинами, оптимальное управление запасами строительных материалов, оптимальное календарное планирование выполнения строительно-монтажных работ и дру­ гое. Оптимальные задачи, при этом, реализуются разными ме­ тодами математического программирования, часть из которых будет рассмотрена ниже. Для полного изучения методов необ­ ходимо пользоваться приведенной в конце главы VI специаль­ ной литературой.

§ 5.2. Экономическая интерпретация задач математического программирования

Экономической целью задач математического программиро­ вания обычно является отыскание такого плана, при реализации которого достигается минимум затрат на выполнение опреде­ ленного объема работ, или максимальный эффект при ограни­ ченных ресурсах. Так как программирование математическое, то, естественно, отыскивается экстремум некоторой целевой функции

Если бы это была функция одного переменного и не было бы никаких ограничений, то задачу можно было бы решить, продифференцировав функцию (5.2.1) и приравняв первую про­ изводную нулю. Но обычно в экономических задачах участвуют несколько переменных, кроме того, на эти переменные налага­ ются ограничения

ражение ф (хц).

Наиболее важной при постановке задач оптимального про­ граммирования является задача выбора критерия, в соответствии с которым должна производиться оптимизация. Критерий дол­ жен отражать цель, ради достижения которой решается зада­ ча, должен иметь количественное выражение и быть явно свя­ занным со значениями переменных Хц. Обычно в экономических системах в качестве критерия рассматриваются издержки про­ изводства, прибыль, объемы производства.

В реальных условиях управления, как правило, решается не одна задача, а целый комплекс взаимоувязанных задач опти-

63

мального программирования. Главным требованием к критери­ ям при этом является непротиворечивость критериев и соответ­ ствие их глобальному критерию оптимизации социалистической

экономики.

Известно, что главной задачей КПСС и советского народа, определенной программой партии и резолюцией XXIV съезда КПСС, является повышение материального благосостояния и культурного уровня советских людей. Для выполнения этой за­ дачи необходимо всемерно увеличивать объемы выпуска про­ дукции и снижать издержки производства, неуклонно повышать производительность труда. При перспективном планировании в сфере производства в масштабах народного хозяйства или от­ дельных отраслей и предприятий единым критерием является достижение максимума производства.

, При решении задач оперативного планирования, распреде­ ления производства среди предприятий в качестве критерия ис­ пользуются издержки производства или прибыли.

В строительстве, как специфичной отрасли производства, глобальным критерием является ввод в действие основных фон­ дов для обеспечения роста производства и удовлетворения ра-. стущих потребностей общества. Но при наличии оптимального перспективного или пятилетнего плана максимизация ввода про­ изводственных мощностей в текущих планах и оперативной дея­ тельности может привести к диспропорциям в приросте мощно­ стей, что может отрицательно сказаться на экономике народ­ ного хозяйства в целом. Поэтому при текущем планировании контрольные сроки ввода объектов действие должны рассмат­ риваться в качестве одного из существенных ограничений Pj. Для соотношения критериев высшего и низшего уровня в струк­ турном плане и во временном, характерно то, что результаты оптимизации высшего уровня используются в качестве ограни­ чений в задачах низшего уровня. Кроме этих ограничений в правой части выражения (5.2.2) отражается ограниченность ресурсов строительной организации, технических и технологи­ ческих возможностей производства.

В главе VI рассмотрена постановка некоторых задач плани­ рования строительства, в главе VIII сформулирован критерий управления зайасами строительных материалов.

§ 5.3. Классификация методов математического программирования

На рис. 9 приведена схема классификации методов матема­ тического программирования. В основу классификации положе­ ны следующие принципы: 1 ) вид математического выражения

64

целевой функции и ограничений (5.2.1), (5.2.2); 2) степень ди­ намичности модели; 3) непрерывность функций; 4) степень не­ определенности функций.

Приведем краткую характеристику методов программирова­ ния, внесенных в схему (рис. 9).

По виду математических выражений различают линейное и нелинейное программирование. Если оптимизируемая функция и ограничения линейны, т. е. все переменные выражены в первой степени, то задачи относятся к классу задач линейного про­ граммирования, если же в модели все математические выраже­ ния, или хотя бы одно из них, нелинейны, т. е. переменные участ­ вуют в степени, отличной от первой, или в выражении есть про-

Рис. 9. Схема классификации методов оптимального програм­ мирования

3 И. Шепелев

изведения переменных, то такие задачи относятся к классу за­ дач нелинейного программирования.

По степени динамичности модели методы подразделяются на статические и динамические. Если задача поставлена в стати­ ке, т. е. рассматривается какой-то один период времени, или задача решается в один этап, то такие задачи относятся к клас­ су статических задач и, наоборот, если поставлена задача на­ хождения оптимума не только в зависимости от изменения пере­ менных, но и в зависимости от изменения времени, или в ходе решения задача разделяется на несколько этапов, решаемых последовательно, то такие задачи относятся к классу динамиче­ ских задач.

Если целевая функция непрерывна, а на переменные не на­ ложено ограничение целочисленности, то такие задачи относятся к классу задач непрерывного программирования, если наблю­ даются разрывы целевой функции, или на переменные нало­ жено ограничение целочисленности, то такие задачи относятся к классу задач дискретного программирования.

Если целевая функция и ограничения заданы детерминиро­ ванными математическими выражениями, то такие задачи отно­ сятся к классу задач детерминированных. Если целевая функ­ ция, или хотя бы одно ограничение, заданы случайными функция-

fми, законами распределения вероятностей или вероятностями, то такие задачи относятся к классу задач стохастического программирования.

Особый класс задач представляют задачи эвристического программирования. Эвристическое программирование — это на­ хождение оптимального решения с включением элементов эв­ ристики. Эвристика — наука, изучающая закономерности твор­ ческого мышления и занимающаяся разработкой методов, ана­ логичных методам творческого мышления человека.

Задачи и методы линейного программирования в строитель­ стве достаточно полно отражены в работах [4, 6 , 11] и здесь не рассматриваются. Эвристические методы в настоящее время на­ ходятся в стадии разработки и поэтому включать их в курс лекций нет необходимости. В дальнейшем будут рассмотрены

методы динамического, стохастического и дискретного про­ граммирования.

§ 5.4. Динамическое программирование

Динамическое программирование — это метод, позволяющий найти экстремум общего критерия многошагового процесса, при этом на каждом этапе оптимизируется только один шаг;

66

решения, принимаемые на последующих шагах, не оказывают влияния на предыдущие решения. В экономике существует не­ сколько типов задач, которые по постановке или методам реше­ ния относятся к задачам динамического программирования:

1. Задачи оптимального перспективного планирования во времени. Эти задачи нашли широкое применение в СССР, и ре­ шаются двумя методами: а) путем решения изолированных ста­ тических задач для каждого из взаимосвязанных периодов с увязкой и необходимой корректировкой полученных планов, при этом, как правило, задачи решаются методом линейного про­ граммирования; б) решение одной динамической задачи оп­ тимального программирования, с применением многошаговой процедуры принятия решений.

Пример постановки задачи: определить оптимальный план удовлетворения потребности в продукции данной отрасли в раз­ резе отрезков планируемого периода с минимальными затратами, при известной для планируемого периода динамике потребления, при известном наличии и перспективах роста всех видов ресур­ сов, с учетом известных и возможных в дальнейшем технологи­ ческих процессов и способов организации производства и со­ ответствующих им текущих и капитальных затрат.

2. Задачи многошагового нахождения оптимума при разме­ щении призводства в статическом периоде. Например, для про­ изводства однородного продукта необходимо построить несколько предприятий. Известны размеры каждого из предприятий, необ­ ходимые в каждом случае капиталовложения и возможная при­ быль. Необходимо определить оптимальное, в смысле макси­ мальной прибыли, количество предприятий и их мощности для получения необходимого количества продукта. Задача относит­ ся к динамическому программированию, так как решается ме­ тодами многошаговой оптимизации. При этом нахождение мак­ симума функции многих переменных заменяется многократным нахождением максимума одного переменного.

3. Задачи оптимального быстродействия. Допустим, что известна некоторая оптимальная структура производства с кри­ терием эффективности Ui. В настоящее время существует неоп­

В основу метода динамического программирования зало­ жен известный принцип, сформулированный Ричардом Белманом [1, 3, 5]. Смысл этого принципа заключается в том, что оптимальное управление обладает таким свойством, что каково бы ни было начальное состояние и начальное управление, по­ следующее управление должно быть оптимальным к состоянию, получающемуся в результате действия начального управления. Короче говоря, если в данный момент времени не выбирается оптимальное управление, то впоследствии ошибку исправить невозможно. При решении задач динамического программиро­ вания используют определенный набор стандартных понятий и обозначений: фазовые переменные (переменные, которые ха­ рактеризуют объект управления и могут быть подвержены управляющему воздействию. Обозначают их через Pi; qi — управ­ ления, это те возможные стратегии, которые переводят началь­ ное состояние Pi_i в состояние'Pi. Задача решается многократ­ но до приведения системы в конечное состояние Рп, т. е. отыски­ вается максимум

где F (Р2) — максимум функции (5.4.1).

Соотношения (5.4.1—5.4.2) называются рекуррентными со­

К? — капиталовложения по каждому предприятию в зависимо­

. <38

данном продукте за счет строительства одного предприятия, ес­

После этого рассматривают возможность удовлетворения по­ требности в данном продукте за счет строительства двух пред­ приятий и определяют шах функции F2 = шах [Иг (х2)

+ U] (Х\)~\ при ограничениях:

х, -{- х-~> А

одним переменным, вместо решения одной задачи с п-перемен- ными.

Рассмотрим пример применения метода динамического про­ граммирования в данной постановке.

Т1еобходимо оптимально распределить капиталовложения в строительство новых предприятий в угольных бассейнах, кото­ рые условно назовем: первый, второй, третий и четвертый. Об­ щий объем капитальных вложений А равен 10 млн. руб. Допу­ скается, что угольная промышленность находится на таком уровне, когда объем добычи не является критерием оптималь­ ности. В качестве критерия принимается чистая прибыль, яв­ ляющаяся функцией капиталовложений. Чистая прибыль от ре­ ализации угля с учетом его качества, горных условий и затрат на транспортировку в разных бассейнах различна.

Функции прибыли: fi (х) — по первому бассейну, f2 (х) — по

бассейнам представлена в табл. 13.

69