книги из ГПНТБ / Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций

Множественный коэффициент корреляции, определенный по формуле (4.2.1), R = 0,697.

Для случая зависимости от двух факторов

Для определения влияния только одного фактора на результи­ рующий показатель, с исключением влияния других факторов, используется частный коэффициент корреляции

При множественной корреляции от двух факторов коэффициент частной корреляции первого фактора

Vi1- i1г У -

Частный коэффициент корреляции отражает «чистое» влия­ ние» фактора на результирующий показатель и отличается от коэффициента парной корреляции тух.

При линейной форме связи множественный коэффициент корреляции является оценкой точности аппроксимации, при не­ линейных формах связи для оценки точности аппроксимации (оценки адекватности модели) применяются корреляционное отношение rj и ошибки аппроксимации в. Эти оценки определя­ ются так же, как и при парной корреляции по формулам (2.4.5)

и (2.4.6)

40

§ 4.3 Формы зависимости при множественной корреляции

Так же, как при парной корреляции, простейшей формой вы­ ражения множественной зависимости является линейная зави­ симость вида

где х\ — квадраты значений факторов;

XiXi — попарные произведения всевозможных комбинаций фак­

экспоненциальные формулы получили в последнее время широ­ кое распространение.

41

’Многофакторная зависимость может быть аппроксимирова­ на произведении ряда функций (метод Брандона)

i = n

здесь fi (х\) — некоторая функция фактора; с —-свободный член формулы.

Ниже будут рассмотрены методы аппрокоимации многофак­ торных зависимостей с применением перечисленных моделей.

§ 4.4. Аппроксимация многофакторной связи линейной зависимостью

Аппроксимация заключается в подборе коэффициентов ре­ грессии при заранее заданной форме линии регрессии. Наибо­ лее распространенным способом аппроксимации является метод наименьших квадратов. Сущность метода показана во второй главе. Необходимо найти минимум выражения

При линейной многофакторной зависимости выражение (4.4.1) запишется в виде

р Е (у — а0 — ахх 1— а2х 2— ... апх а)2-> min, (4.4.2)

Для минимизации выражения (4.4.2) необходимо опреде­ лить частные производные по каждому неизвестному. Напом­ ним, что в качестве неизвестных здесь рассматриваются пара­ метры регрессионной формулы (4.3.1) а0; аи а2... ал.

Частные производные приравниваются к нулю и составля­ ется система нормальных линейных уравнений, число которых на единицу больше числа факторов, включаемых в модель2). Си­ стема нормальных уравнений имеет вид:

NiZq-j- оуЕхi —|- а2^ х 2 . . . ~J~ аяЪхп—- Ey,

a 0Ext -f a fix \ -\-a2'£‘X1x 2 . . . + ап^х^хп = Елуу^

a0Zx2-(- ахЪххх 2-}-а2 Ел2 • • • + anT>x2x n = Ex2y,

42

Решив систему любым известным методом, можно найти параметры уравнения регрессии. Наибольшее распространение сейчас получил метод решения обращением матриц, запрограм­ мированный в ряде стандартных программ аппроксимации |[7]. В матричной форме система (4.4.3) запишется

аП

Матрица исходных данных представляется в виде таблицы наблюдений по факторам

Эти исходные данные и данные наблюдений зависимого пере­ менного У в виде матрицы-столбца

У1

у2 1

= Уз

(4.4.7)

Уп

43

вводятся в память электронной вычислительной машины. Для дальнейших вычислений необходимо определить матрицу X*, транспонированную матрице X. Напомним, что транспонирова­ ние матриц — это замена местами строк и столбцов матрицы. Таким образом, матрица X*, транспонированная матрице X (4.4.6), имеет вид:

Умножив транспонированную матрицу X* на матрицу исходных данных X и на матрицу-столбец исходных данных по результи­ рующему признаку У, получаем систему нормальных уравнений в матричной форме (4.4.4). Для решения этого уравнения не­ обходимо найти матрицу (Х*Х)-1, обратную матрице3) (Х*Х), п умножить эту матрицу на обе части уравнения (4.4.4). В резуль­ тате получим выражение

Значение каждого из коэффициентов уравнения регрессии мо­ жет быть определено по формуле:

где сц — элемент обратной матрицы.

Рассмотрим пример аппроксимации многофакторной зависи­ мости и использования корреляционной формулы.

Для подготовки к переводу на новую систему планирования и экономического стимулирования одного из строительно-мон­ тажных трестов следовало изыскать резервы в целях получения дополнительной прибыли для компенсации перерасхода стиму­ лирующих фондов предприятия. При изыскании резервов в под­ разделениях треста были проведены корреляционные исследо­

3) Матрицей, обратной матрице X, называется такая матрица X—*, которая при перемножении ее на матрицу X даст единичную матрицу Е.

44

вания и получена модель, отображающая зависимость рента­ бельности каждого из подразделений от ряда факторов. Стави­

каждого из факторов на рентабельность, чтобы получить допол­ нительную прибыль за счет каждого из факторов:

Х\ — механовооруженности труда;

— уровня сборности строительства; х3— коэффициента рассредоточенности строительства;

xi — уровня механизации строительно-монтажных работ;

х5— фондоотдачи;

х6— текучести кадров.

Исходные данные по уровню рентабельности и факторам были взяты по. 1 2 строительно-монтажным подразделениям за два года, предшествовавшие переводу треста на новую систему. Из приведенных 'здесь факторов требует пояснения коэффици­ ент рассредоточенности, который определялся по формуле:

где Ai — объем строительно-монтажных работ по i-му объекту; U— расстояние i-ro объекта от производственной базы.

В результате расчетов, проведенных на ЭВМ «Минск-22» по стандартной программе аппроксимации, получено следующее уравнение регрессии:

у = —93,773+0,140*1 + 0,830x2 — 0,170*3 + 7,109*4 +

эффициент корреляции считается достаточно высоким. При про­ верке уравнения регрессии и коэффициентов регрессии на значи­

равных условиях, т. е. при неизменных значениях других факто­ ров.

45

Для множественной линейной зависимости эластичность фак­ тора равна коэффициенту регрессии при этом факторе.

При нелинейных формах связи эластичность зависит от ве­ личины коэффициента регрессии, абсолютной величины факто­ ра, расчетного значения зависимого переменного. В нашем слу­ чае эластичность факторов 3i — 0,140; Э2 == 0,830; Э3 =

— 0,170; Э4 = 7,109; Э5 = 5,234; Э6 = —0,019.

В соответствии с техническими, технологическими и органи­ зационными возможностями производства были заданы изме­ нения факторов (в сторону улучшения) и подсчитаны резервы снижения издержек производства и роста прибыли.

§ 4.5. Параболическая зависимость (многочлен n-ой степени)

Для более точного, достоверного отражения действительно­ сти в модели необходимо подобрать такую форму кривой, ко­ торая бы адекватно отражала связи между факторами. Если форма кривой неизвестна и нет сколько-нибудь обоснованной гипотезы о ней, то можно аппроксимировать эту связь много­ членом n-ой степени, считая его универсальной формой связи.

члены полинома, состоящие из произведений независимых пере­ менных, выражают влияние взаимосвязи факторов. Взаимосвя­ зи могут быть не только первой, но и второй, третьей и т. д. сте­ пеней. В качестве взаимосвязей могут рассматриваться произ­ ведения типа х\х?. Если не ограничивать степень полинома и

число членов, то можно аппроксимировать любую зависимость с любой степенью точности. Однако на практике обычно огра­ ничивают как степень полинома, так и число его членов:

а) в целях получения более или менее простой формулы; б) в отдельных случаях повышение степени полинома и увели­ чение числа его членов не приводит к быстрому и эффективно­ му повышению точности; в) при увеличении количества членов полинома до числа, равного числу наблюдений, кривая прохо­ дит через все точки и корреляционная зависимость становится функциональной, в которой учитываются не средние, а частные, случайные явления, при этом могут затушевываться основные принципиальные характеристики ситуации.

При аппроксимации многочленом n-ой степени каждый

46

сложный член полинома заменяют дополнительной условной переменной в первой степени и в дальнейшем аппроксимацию ведут по методике аппроксимации линейной зависимости (см. § 4.4). Уравнение (4.5.1) после введения дополнительных переменных

Необходимым этапом расчета является дополнение матрицы экспериментальных данных условными переменными (4.5.2). Матрица наблюдений после введения условных переменных имеет вид табл. 9.

Т а б л и ц а 9

Получив матрицу X, дополненную условными переменными, произведем аппроксимацию линейной зависимости. Преобразо­ вав формулу в соответствии с соотношениями (4.5.2), получим полипом заданной степени.

Так как уравнение обычно получается громоздким, то чрез­ вычайно важно знать, какие члены полинома можно оставить в формуле, а какие необходимо отбросить без ущерба для точно­ сти аппроксимации. Решить эту задачу можно двумя путями: а) от простого к сложному; б) от сложного к простому.

Аппроксимацию от простого к сложному производят после­

47

Если при увеличении числа членов полинома получают зна­ чимое уравнение, то считают задачу решенной. Однако могут быть такие исходные данные, при которых вообще невозможно получить значимое уравнение регрессии, тогда большой объем вычислительных работ оказывается лишним. Необходимо отме­ тить, что если в линейных формах при увеличении числа фак­ тических независимых переменных на единицу многочлен возра­ стает также на единицу, но нелинейный полином при включении в него одного дополнительного фактора растет стремительно, лавинообразно. Обычно ограничиваются многочленом второй степени при парных взаимосвязях, в этом случае число членов полинома может быть подсчитано по формуле:

Количество членов полинома в зависимости от числа факто­ ров приведено в табл .1 0 .

Аппроксимация с нарастающим числом членов продолжает­

F-критерию Стыодента, Незначимые члены уравнения вычеркивают, при этом вычеркиваются также соответствующие строки и столбцы матрицы нормальных уравне­ ний. Для этой матрицы снова определяют коэффициенты ре­ грессии, их проверяют на значимость, незначимые вычеркивают

48

многочлену коэффициенты регрессии, проверять уравнение на значимость, проверять коэффициенты регрессии на значимость, отбрасывая таким образом лишние члены. В случае незначи­ мого уравнения регрессии необходимо повышать степень много­ члена или ввести дополнительные взаимосвязи между фактора­ ми, после чего определить коэффициенты регрессии, проверить уравнение на значимость, отбрасывая лишние члены и т. д.

Блок-схема этого алгоритма приведена ниже (Схема 1). В литературе [7] этот метод называют многошаговым регресси­ онным анализом.

Схема

БЛОК-СХЕМА МНОГОШАГОВОГО РЕГРЕССИВНОГО АНАЛИЗА

Ф

6Вычисление коэффициентов регрессии

А= (Х*Х)-> (Х*У)

Ф

7Вычисление расчетных значений зависимой переменной у = ХА

Ф

8 Вычисление остаточной дисперсии

„9 s (У -"У)

ост N—п —1

49