книги из ГПНТБ / Головлев, В. Д. Расчеты процессов листовой штамповки. Устойчивость формообразования тонколистового металла

20

где

Cl 1С -22 — С \2

В зависимостях (26) и (27) интенсивности напряжений и деформаций выражаются формулами

где

Ко — Ci 1-j- 2C\2tn0 -j- СдгШр.

21

Из выражений (32) и (31) следуют формулы для главных деформаций

си + сі2 та ~ .

где

Ка— 1 — та -г

и соотношение

справедливые при изотропном материале.

3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ АНИЗОТРОПИИ

Для одноосного растяжения (аи> 0; а„ = аг= 0) рассмотрим отношение деформаций по ширине и толщине образца, продоль­ ная ось которого составляет угол а с направлением прокатки,, т. е. с осью X (см. рис. 5):

здесь eVa, &za— логарифмические деформации по ширине и тол­ щине образца. Имеем

где 60 и to— начальные ширина и толщина образца, и b и t — ширина и толщина деформированного образца. Величина Ra- называется показателем пластической анизотропии листового металла в направлении, характеризуемом углом а.

22

С учетом выражений (26) и (15) отношение (36) предста­ вим в виде

Rx, Ry — покатели анизотропии по осям х, г/; Rxy — показатель анизотропии в плоскости ху.

Связь показателей анизотропии Rx, Ry, Rxy с параметрами анизотропии определяется соотношениями (7).

Из выражения (37) следует, что для данного анизотропного

•где гѵъ=еу и 8zo, Би<і=еж и егсг— деформации по ширине и тол­ щине образцов, вырезанных соответственно вдоль направления прокатки (а=0) и поперек направления прокатки (а=я/2).

В табл. 1 приведены экспериментальные значения Ra, от­ носящиеся к сталям для глубокой вытяжки, цинку и титану

23

[72], а также расчетные величины А и Rxy, определяемые соответственно по соотношению (38) и формуле

-)- 4 ) sin2 а cos2 а — 1.

О

При определении Rxy по фор­ муле (39) предполагается, что соответствующие значения Ra, а также Rx и Rv уже известны из опыта.

Обычно за расчетные значе­ ния Rxy принимают средние ариф­ метические из трех найденных по. формуле (39) значений, соответ­ ствующих углам а = я/6, я/4, я/3.

На рис. 6, где условными значками отмечены опытные дан­ ные, приведены типовые кривые анизотропии Ra, построенные по­ данным табл. 1 и формуле (37).

Более наглядное представле­ ние о пластической анизотропии листового металла дают диа­ граммы анизотропии (рис. 7), построенные также по данным табл. 1.

Приравнивая нулю производную R a—R (а) по а, получим уравнение

dR (а) _ Q

da

решая которое относительно а, найдем, что стационарные зна­ чения R а. возникают при углах а, равных 0, а" и я/2, где про­ межуточное значение а —а" определяем из соотношения

24

Если действительных значений а" нет, то экстремум для промежуточного значения а отсутствует. В этом случае /?атах будет равен наибольшему из значений Rx или Ry (см. рис. 6, кривая 4; см. также рис. 7, г).

Анализ экспериментальных данных показывает, что в ли­ стовом металле возможны следующие три частных случая пласти ческон анизотропии.

1. Свойства металла вдоль и поперек прокатки одинаковы Rx=Rv=Rd, Д^О. По формуле (40) а" = я/4 и кривая /?к сим­ метрична относительно вертикали с абсциссой я/4. Из фор­ мул (37) и (39) следует, что возможны два случая расположе­ ния кривой R(a), характеризуемые соотношениями

25

Для этого случая анизотропии значение угла а', удовлетво­ ряющее уравнению (20), равно л/4.

2. Анизотропный металл, для которого Д= 0, RX=^=RV. Со­ гласно соотношению (40) угол а" не имеет действительных зна­ чений и кривая R а экстремальна только при а = 0 и я/2. При­ близительно этим условиям отвечает кривая 4, рис. 6 (см. так­ же рис. 7, г).

3. Анизотропия с круговой симметрией (трансверсальная изотропия) с осью симметрии, перпендикулярной плоскости ли­ ста. Пластические свойства, листового металла в его плоскости не зависят от направления, так что y?a= ^ o = const. Ось z и всенаправления в плоскости листа, которая в этом случае назы­ вается плоскостью изотропии, являются главными (в смысле анизотропии). Согласно соотношениям (37), (15) и (7), (8) сле­ дует, что С\1= ^22, А = 0 и osx= oSy= aSQ, а также

Соотношения (42) показывают, что при Д0>1 формообразо­ вание листовой заготовки происходит в первую очередь за счет деформаций в ее плоскости, и утонение заготовки затруднено; при к 0<1, наоборот, формообразование происходит в основном за счет утонения листа.

положить с 'з = с '3=0.

Полная изотропия характеризуется равенствами

Отнесение анизотропии реального листового металла к од­ ному из частных случаев анизотропии позволяет упростить ре­ шение конкретных задач.

Обозначим отношение главных деформаций в плоскости листа:

(43)

Из выражения (31) следует

с22~с12тв

26

Из формул (43) и (44) видно, что m s и т а для данного ма­

териала являются функциями угла а : т ,= т е (а) и т а = т а{а). Используя выражения (15), перепишем отношение (44) для

те следующим образом:

( ——sin2 а + —— cos2 оЛ — (1 — т 0) (А sin'- а cos2 а — 1)

(45)

Из равенства

с1тй (а)

= 0

da

найдем, что углы а, соответствующие стационарным значениям отношения /пЕ(а), равны 0, а'" и зт/2, где а'" определяется из уравнения

АфО) согласно этому уравнению а"'— — и т* имеет следую-

4

щие стационарные значения:

Сопоставление неравенств (47) с неравенствами (41) позво­ ляет установить связь между формой кривой R а и стационар­

27

При анизотропии с круговой симметрией величина пи не зависит от угла а:

ma—Ro(l—ma)

(49).

1+ Я0 (1 — та)

Наглядное представление о зависимости (49) можно полу­ чить из рис. 8, а.

В случае полной изотропии, согласно соотношениям (44),.

2та — 1

!е = 2 - т а ;

(50)

,1 + 2те

2 + ,п8 '

28

На рис. 8,6 видно, что в общем случае ортотропии (Rx^Ry', А^О) зависимость /?г$ от показателей анизотропии и напря­ женного состояния носит сложный характер; линия AB здесь соответствует анизотропии с круговой симметрией.

4. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ИНТЕНСИВНОСТЯМИ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИЙ

Можно считать, что при изотропном упрочнении ортотроппого материала, в условиях простого нагружения, между ое и существует определенная зависимость, па которую не влияет

вид напряженного состояния [60, 70]. Принимается, что в диапазоне пластических де­ формаций, соответствующих формообразованию листового

металла, зависимость между ас

и ее (рис. 9) с достаточной степенью точности аппрокси­ мируется степенной функцией.

Испытание на одноосное растяжение производится на об­

Полученная при этом зависимость между ои и еи аппроксими­ руется степенной функцией

где Си — постоянная величина, определяемая из опытов на ра­ стяжение образцов, вырезанных из листа в направлении оси и (для ортотропного материала С„ зависит от угла а); п — по­ стоянная величина (усредненная относительно направле­ ний в плоскости листа), определяемая из опытов на растяжение образцов, вырезанных из листа в различных направлениях.

Выражая од и ви в функции (51), посредством формул (32)

и (33), через ае и ее, получим зависимость между интенсивно­ стями напряжений и деформаций для анизотропного материала

29