Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Мирзаев, Г. Г. Проектирование и строительство инженерных сооружений конспект лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

	70
т .е . ввести множитель	(хг ~а)° , равный единице	(здесь а -
д и н а балки от начала координат до сечения, где		приложен сос
редоточенный момент	т ) . Третий прием заключается в умноже
ния сосредоточенного момента на скобку ( х - а ) °		, равную еди
нице.

При выводе обобщенного уравнения упругой линии показано, что при соблюдении приведенных выше приемов произвольных пос тоянных интегрирования независимо от числа участков балки бу дет не больше двух.

Вхвод обобщенного уравнения упругой линии

Пусть балка под действием положительных нагрузок, кото

рые дают положительные изгибающие моменты (рис. 33,г ) ,				нахо
дится в равновесии. Начало координат возьмем в точке 0,				ось
•х направим по оси балки вправо,, ось у			- вертикально
вверх.
Рассмотрим пять участков балки.
На первом участке	0А нагрузки нет,		следовательно,	урав
нения, определяющие упругую линию , будут
Е1£ г = °	E I dSL = l
	d x	L

Рассмотрим участок АВ. Применим третий прием, тогда

Е 1 ж - = т (з:- а) 0 •

Это уравнение проинтегрируем, применяя первый прием

Е17%~=” (*-а) + Сг •

Е1 у = т ^ + С гх +1>г .

Для участка ВС

Е1^рЛ- = т (х-а)°+Р(х-Ь),

E ly - 711

+ Р

С,х +

				71
Для участка	CD		т (х-а)°+Р(х-Ь) + д 1 (х-с)
	* У	=_	т (х-а)°+Р(х-Ь) + д 1 (х-с)
Е I ^ г_ «				(х-в)~
				(х-в)~
				4 )
” Т	.,		,	п
Е1у = тп~		--------- + Р		в
Рассмотрим участок DL . Распределенная нагрузка на него
не распространяется.			Поэтому для получения равенства постоян

ных интегрирования согласно второму приему добавляем положи -

тельную нагрузку, а для сохранения условий работы балки такую
ке отрицательную нагрузку (добавленные нагрузки на рис.							33,г
показаны пунктиром).
Тогда для участка DL				получим
E l			= m ( x - a f + Р (х-Ь ) +с/		q	’
Г . Г	d	y	________ / _________, . „ ( х - i ) Z. _ (x -cf		(x -d)	, „
F I	d	t	m 'x ~a) + P ~ ~ T ~ 1 ~ e ------- 6—			+Cs
E I =	771			(x - c )4
E I =	771			24
				24
	'4	( x - d ) 4 + C x +Д.
	'4		T t
Равенство постоянных				[с=Сг= ...=C и	Dt=D2= ... = D		)

следует из сравнения уравнений, в которые подставляются зна


чения	х	,	соответствующие границе двух смежных участков.
Так, нацример, чтобы доказать равенство							С3 =	, подстав
ляем в уравнения углов наклона касательных участков Ши 17
х = с	.	Получаем			,.г
	771 (с-а) + Р -^ 2 ----- н С3 = 777(с-а )					+ Р — 2—
Откуда следует,					что С3=С^	. Доказав равенство всех
постоянных			С,	таким же образом легко доказать равенство
всех постоянных				D .
Физический смысл постоянных С						и д	выясняется из рас-

смотрения упругой линии участка I .

Если обозначить тангенс угла наклона касательной к упру гой д и п в начале координат осд , а прогиб в том хе сечении -

fg , то из уравнений участка I для углов наклона касательной

и прогибов при , г = 0 получим

Е1 л 0=С,

'E l f 0 =J>.

Следовательно,		постоянная		С	представляет собой тангенс
угла наклона касательной в начале координат, умноженный на
жесткость балки	E I	, а	постоянная В			~ црогнб в начале
координат, умноженный на ту же величину жесткости E I
Подставим значения постоянных					С	и D	в уравнение уг
лов наклона касательных и в уравнение прогибов участка У„
(как в наиболее обеде уравнения,				содержащие все изгибапцие фак
торе: вару сил, сосредоточенную и распределенную нагрузки;.
Тогда уравнение углов наклона касательной будет
уравнение прогибов				г		(х-Ъ)	+
E ly = E l f B+ EIccBx +m - ^ -					+ Р
						6
. , ( x - c f			( x - d f
+ 4	24----- Ч		24

Эти уравнения при многократном повторении нагрузок, действуведх на балку, могут бить написаны в более общем веде

Е 1 1 ^ ~ = Е 1 ло+ 2 т (* -а )+ 2 Р (-Щр~ + 2 q {^ ~

EIy = EIfB +EIaLBx + Z m * ^ +

Уравнения называются обобщенными (для рассмотренных ти - вон нагрузхж) нлх универсальными уравнениями уцругой линии.

Следует обратить внимание, что на рис. 33,г показаны по ложительные направления нагрузок. Если нагрузка направлена в другую сторону, то она вносится в уравнения со знаком минус.

Направление прогиба определяется его знаком: при положи тельном знаке прогиб направлен в сторону положительной оси у ,

т .е .	вверх; при	отрицательном - в сторону отрицательной оси У ,
т .е .	вниз.	защемлена, то неизвестные осо и f0 обращаются
	Если балка	защемлена, то неизвестные осо и f0 обращаются

в нули (место защемления совпадает с началом координат), так

как угол наклона касательной относительно оси х	и прогиб в
защемлении равны нулю.
Если балка свободно лежит на двух опорах без	консоли или

с одной консолью, то требуется определить только одно неизвест

ное ос0 ,	так как прогиб на левой опоре,	совпадающей с началом
координат,	равен нулю. Неизвестное ссо	в этом случае находит
ся из условия равенства нулю прогиба над правой опорой.

Если балка, свободно лежащая на двух опорах, имеет начало координат, которое не находится над опорой, приходится опреде

лять две неизвестные:		осо и	fQ .	Они находятся из условий
равенства	нулю прогибов над опорами. Этот вариант удобен цри
обращении	в'нуль либо	а о	, либо	fo

§9. Кручение

Впроцессе работы многие детали машин и конструкций под вергаются деформации кручения (валы, балки, пружины и д р .).

Рассмотрим деформацию круглого стержня радиусом г ,один конец которого закреплен в неподвижной плоскости (рис. 34,а ). К свободному концу стержня приложена пара сил, действующая в плоскости, перпендикулярной оси стержня. Стержень под действи ем этой пары сил испытывает деформацию кручения. При этом ось стержня 00, остается прямой. Эта ось называется осью кру чения.

В результате действия крутящего момента поперечное сече ние стержня поворачивается на некоторый угол, причем, чем дальше от закрепленного конца расположено рассматриваемое се-

Рис.34

	75
чение,	тем на больший угол оно поворачивается. Этот угол назы
вается	углом закручивания Ч . Угол J	называется углом
сдвига	(относительный сдвиг).

Теория кручения круглого стержня основана на трех гипоте зах: I) плоские поперечные сечения стеркня, нормальные к оси до деформации, остаются такими и после деформации; 2) радиусы, проведенные в плоскости этих сечений, не искривляются и не меняют длины; 3) расстояния между сечениями вдоль оси стержня

не изменяются.
Рассмотрим деформацию круглого стержня,				один конец кото
рого закреплен, а к другому приложен крутящий момент							(рис.34,а).
В результате действия крутящего момента точка					J)	,	располо
женная на конце	стеркня на расстоянии J)			от	оси	jo	, пере
местится в точку	D{ . В этом случае тангенс			угла сдвига
для точки D	будет равен						$
_	Чт«-р =:	_	РЧ
	С J )		I

Так как угол сдвига очень мал, то можно записать

P<t

V i -

Полученная величина называется относительным сдвигом. Зная величину относительного сдвига, на основании закона Гу ка для сдвига можно определить напряжения для любой точки стержня р tf

У = б Гр= * —

( при г 0 при ? =г

V О,

V е»,"* ) ;

гЧ

Z m a x & I

где G - модуль упругости при вручении;				I - длина стеркня.
Например,
Q	_ Е	=	----- . =	0,8*10^ кг/см2,
стали	2(1+р.)		2*(1+0,3)
			2*(1+0,3)

Для вычисления угла закручивания применим метод сечений.


На расстоянии х	от закрепленного конца проведем сечение
m m j жотбросим правую часть (рис.		34,6). Заменим действие
отброшенной части на оставшуюся внутренними силами xf			,	при
ложенными в каждой точке сечения.		Тогда оставшаяся часть стерж
ня будет находится в равновесии ,		если суш а моментов всех		сил
относительно оси стержня равна нулю,
	ZMx =MKf-\dFXf ? = 0-,

К г	\ ? xf dF= l?G£T		dF=Gf	l ? dF=
_	GVIf .
	i	’	G	If	’
где If = SpzalF	-	полярный момент инерции;			GIf - жест -

кость при кручении.

Таким образом, напряжение в любой точке поперечного сече

ния стержня при его закручивании равно
p<f	GfiMKb l	_ M,Pl
xf ~ G~l	G I? l	h

Уравнение показывает, что напряжения при кручении прямо пропорциональны расстояниям от рассматриваемой точки до цент ра сечения. На оси в центре сечений напряжения равны нулю. По мере удаления от центра напряжения растут согласно прямолиней ному закону (рис. 34,в ) .

Расчет валов на прочность

Максимальные напряжения в круглых стержнях или валах при жх кручении возникают в точках, расположенных на поверхности. Эти напряжения равны:

M r

Vтал = —г :

уv

		77
где wр =	, ем4 -	полярный момент сопротивления.
Условие прочности при расчете стержней и валов на круче
ние выражается формулой
	t	=
		max Wp L -I •
Величину допускаемого напряжения [ t ]			принимают равной
0,5 -0,6 допускаемого напряжения на растяжение.

Зная допускаемое для выбранного материала напряжение, мож но определить размеры стержней и валов при их кручении

			l t d '	см3Г
			16	см3Г
			16
X ~ 16 Af,а-	4	М ;		М „'
я d 3		М ;		Ct]

Расчет валов на жесткость

Жесткость валов и круглых стержней при кручении характе ризуется величиной угла закручивания. Уравнение, выражающее условие жесткости, имеет вид

7 =	Мер I	32Мкр I	}
		GJCCVl
	в 1а		О

где С 7] - допускаемый угол закручивания.

Справочные данные

Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления для круглого стержня

n d	J td -
7/>= 32	16

для полого стержня

		78
	Припер. Определить	диаметр стального вала и наибольший
угол	закручивания, если крутящий момент,			приложенный к ва
лу, равен 280 кгм, длина вала 150 см.Допускаемое напряжение
О]	= 800 кг/см2, допускаемый угол закручивания [> ]					=	рад.
	Решение. Диаметр вала					I q2
	Решение. Диаметр вала
	d = 1,72 \ ] ^	= 1,72	\ 5§0Ш =1,72		^	= 5,64	см.
			800
	По ГОСТУ ОСТ 1654	выбираем	d = 60 мм.
	Угол закручивания
	У _ К , I	13000*150		_ Щ	рад,
	G / п	о^блоб.ггв		10^

Г л а в а	Ш
СЛОЖНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
В практике встречаются случаи,	когда элементы конструк

ции или машины деформируются в результате одновременного дейст вия нескольких видов нагрузок: изгиб и кручение, изгиб и сжа тие и т .п . Сложный вид деформации всегда можно представить двумя иди несколькими простыми видами.

Рассмотрим прямоугольный стержень, нагруженный силой Р , которая приложена не в центре тяжести под некоторым углом

(рис. 35,а ).	Р	разложим на две составляющие: Рх -
Наклонную силу
параллельна вертикальной оси			х	, и Рг - проекция на го
ризонтальную плоскость.
Вертикальная сила Рх		,	приложенная в точке С , вызы
вает виецеитренное	сжатие стержня,			которое может быть пред-

Рис.35

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ