книги из ГПНТБ / Мирзаев, Г. Г. Проектирование и строительство инженерных сооружений конспект лекций
.pdf90
имеют один знак (так же как и во втором случае), н<? на цротиво-
положном от |
силы |
Р краю сечения эти напряжения равны нулю |
(рис. 39,г). |
|
|
4. |
При |
е > -g- нейтральная-линия проходит в пределах |
поперечного сечения стержня. Напряжения по разную сторону от нейтральной линии имеют разный знак (рис. 39,д).
В тех случаях, когда внецентренно сжатый стержень сделан из материала, плохо сопротивляющегося растяжению, желательно, чтобы в стержне не возникали растягивающие напряжения. Для этого точка приложения сжимающей силы не должна быть удалена от центра тяжести сечения на расстояние, превышающее некоторую предельную величину. Например, для прямоугольного сечения (рис. 40) величина эксцентриситета не должна быть больше -g-
ширины или высоты сечения. В этом случае нейтральная линия не пересекает поперечного сечения стержня, а только его касается, и возникающие напряжения имеют один знак.
Область вокруг центра тяжести сечения, которая обладает тем свойством, что при расположении равнодействующих всех сил в пределах или на границе этой области в сечении возни кают напряжения одного знака, называется ядром сечения.
|
91 |
|
|
Г л а в а |
1У |
|
УСТОЙЧИВОСТЬ С Ы Т Ы Х |
СТЕРШБЙ |
Если |
при сжатии прямолинейного стержня действующая на |
|
него сила |
Р мала, то после ее удаления стержень возвращается |
|
в первоначальное положение (рис. 41,а). Такое состояние стерж ня является устойчивым.
а) |
б) |
б) |
|
р= Ркр |
|
|
Р>Р*р |
|
|
|
4 /
/
/
/
/ / / / У / У 7 У
Рис.41
Если сила ~ Р равна некоторому предельному значению, то прямолинейная форма сжатого стержня становится неустойчи вой. Достаточно очень небольшого бокового отклонения, чтобы стержень изогнулся и к прямолинейному состоянию не возвратил ся. Такое состояние стержня называется критическим или без различным (рис. 41,6). Если сила Р превышает предельное значение, то стержень теряет устойчивость и разрушается (рис. 41,в).
Критической называется наибольшая сила, при которой сох раняется прямолинейная форма стержня. Устойчивость теряется при P > P Kf .
Практика показывает, что проверять прочность сжатых стержней только по допускаемым напряжениям на сжатие не доста точно ( б = -jr- £ [g J ). Иногда стержень разрушается при напря жениях меньше допускаемых из-за того, что не может сохранить
92
прямолинейную форму. Стержень изгибается (теряет устойчивость),
в результате появляется изгибающие моменты от снимающей силы,
т.е . в стержне возникает добавочные напряжения ет изгиба. Для надежной работы конструкции необходимо, чтобы все ее злементы были не только прочны, но и устойчивы. Поэтому для сжатых стерж ней, помимо проверки на прочность, необходима проверка на у с
тойчивость.
Задачу по определение критической силы впервые решил ака демик Петербургской академии наук Леонард Эйлер в 1744 г. Од нако практическое значение формула Эйлера получила сравнитель но недавно (в начале нашего века), благодаря работам Ф.С.Бонн ского, С.П.Тимошенко и других ученых.
§ 14. Вывод формулы Эйлера
Рассмотрим прямолинейный шарнирно опертый по концам стер жень постоянного сечения, Одна из опор допускает возможность продольного перемещения конца стержня (рис. 42,а ). Собствен - ним весом стержня пренебрегаем.
Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжи
мающими силами Р=Р |
. Под действием этих сил стержень слег- |
КР |
__ __ |
ка искривляется в плоскости наименьшей жесткости и удерживает ся в таком положении, так как Р=Р’кр
Для решения задачи воспользуемся приближенным дифферен циальным уравнением изогнутой оси стержня
E ly " —- Мх .
Изгибающий момент в любом сечении стержня будет
По выбранной расчетной схеме изгибающий момент получает ся отрицательным (см.правила знаков), а ордината ( у ) поло
жительной. |
|
Отсюда |
н |
|
Е^"=~РкРУ, ) ь =-
93
Рис.42
|
|
|
|
|
94 |
|
|
|
|
|
Если |
|
|
обозначим |
к |
, |
то.уравнение примет вид |
||
дифференциального уравнения второго порядка |
|||||||||
|
|
|
|
|
У '+У к = 0. |
|
|
||
|
Общий интеграл этого уравнения |
|
|
||||||
|
|
|
y =C)sinkx+C;icoskx, |
|
|||||
где |
Cf я |
Сг - постоянные интегрирования, |
определяемые из |
||||||
граничных условий: |
I) |
в точке |
А при х = |
0 прогиб у - 0 ; |
|||||
2) |
в точке В цри |
х |
= I прогиб |
у |
- |
0. |
|
||
|
Из первого условия следует |
|
|
|
|||||
|
Cz а |
0, так |
как |
sin k x = 0 |
и |
coskx=l |
|||
|
Таким образом изогнутая ось является кривой, уравнение |
||||||||
которой имеет вид |
|
|
„ . |
, |
|
|
|
||
у= С s m k x .
Сучетом второго условия, получим
sin к 1=0.
Из уравнения видно, что или |
С=0 |
или |
sinkl~0 . Бели |
||||
Cf=0 , то прогиб в любом сечен а |
стержня равен нулю, т .е . |
||||||
стержень остается прямым. Это противоречит исходной схеме |
|||||||
вывода. Следовательно, |
s in 1(1 = 0 |
, и величина k l может |
|||||
иметь следующий бесконечный ряд значений: |
|
|
|||||
|
|
k l = 0\ Я ; 2я;3ж ... nit . |
|
||||
Первый корень не представляет интереса, |
поскольку дает |
||||||
р = 0 , 1 = 0 |
. Взяв второй корень |
kl=JC |
, и преобразовав |
||||
его k = Y ~ |
; к = -j j - , |
получим формулу для определения |
|||||
критической силы |
Ркр - |
формулу Эйлера; |
|
|
|||
|
Р„ |
_ V |
. |
„ |
хгЕ1тЫ |
|
|
|
к 2- E‘I |
1г |
ч> |
1 г |
|
|
|
Остальные корни ( 2л, Зх... пя ) |
соответствуют более высо |
||||||
ким значениям критической силы, не имеющим практического зна чения.
В формулу Эйлера нужно подставлять минимальный момент инерции, поскольку в первую очередь продольный изгиб произой дет в сторону наименьшей жесткости стержня.
95
Физическое значение постоянной интегрирования Ct в уравнении изогнутой оси стержня можно выяснить, если в уравне
ние синусоиды подставить |
л = - |— . Тогда |
-Щ- = -§~; |
|||
|
V - |
У |
= f = с |
> |
|
|
J |
J m a x |
|
|
|
Значение |
С1 - это |
прогиб стержня в |
сечении по середи |
||
не его длины. |
|
|
|
|
|
Влияние способа закрепления концов стержня
Найденное значение критической силы справедливо только для стержня с шарнирно опертыми концами и изменится при дру гих условиях закрепления концов стержня.
Случай стержня,шарнирно опертого по концам, называ ется основным, поскольку к нему могут быть приведены другие
случаи. Так, |
в случае стержня, заделанного одним концом |
(рис. 42,6), |
упругая кривая представляет собой четверть вол |
ны синусоиды. |
Дополняя эту кривую до полуволны, приведем |
этот случай к основному, но с тем отличием, что в основную формулу вместе геометрической длины I иедставим приведен ную длину 1 = ZI
рХ Е1"> = Л
к(уиг
Приведенной называется длина полуволны синусоиды, по которой изгибается стержень при продольном изгибе и которая вводится в формулу Эйлера вместо геометрической длины (рис. 4 2,6 ,в ,г ) . Приведенная длина для каждого случая закрепления опор стержня вычисляется умножением геометрической длины стержня на соответствухщий коэффициент длины у_ :
Схема стержня |
Рис.42,а |
Рис.42,б |
Рис.42,в |
Рис.42,г |
У- |
1 |
2 |
0,5 |
0,7 |
|
|
*ZI*n |
± 7‘ |
* гЕ1„ц, |
|
|
4 V |
Л. у 2> |
|
|
|
|
4 6 |
2 I |
96
Критическое напряжение
Критическим называется наименьшее напряжение в сжатом стержне, щш котором он может потерять устойчивость.
Для вычисления напряжений обычно формулу Эйлера преоб
|
|
|
|
|
|
—у |
Trnin |
разуют введением в нее радиуса инерции сечения imin. |
F |
||||||
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
О J L iim i" |
Т у Ц |
- * EF |
|
||
Fm in |
^ m i v F |
кр |
(У-Ф |
Г~ - ' |
|
|
|
|
j i l |
|
|
|
№ |
|
|
Отношение |
принято называть гибкостью стержня и |
||||||
обозначать |
через Я |
Тогда формула Эйлера примет вид |
|
||||
|
|
|
n zEF |
|
|
|
|
|
|
кР |
А2 |
|
|
|
|
Шея значение критической силы,можно найти величину кри тического напряжения
б |
кр |
= -§* %ZEF |
жг£ |
|
р |
|
Пределы применимости формулы Эйлера
Вывод формулы Эйлера основан на предположении, что мате - риал стержня достаточно упруг. Деформация материала подчиня ется закону Гука до тех пор, пока напряжение в нем не достиг нет предела пропорциональности. Следовательно, формула Эйлера справедлива только до тех пор, пока критические напряжения в стержне не превысят предел пропорциональности материала. В коротких стержнях критические напряжения, определяемые по фор муле Эйлера, получаются выше предела пропорциональности. По - этому формула Эйлера для коротких стержней не применима.
Исходя из того, что границей применения формулы Эйлера будет случай, когда критическое напряжение равно пределу про порциональности, можно для любого материала определить зна - чения соотношений геометрических размеров стойки, в пределах которых формула Эйлера применима.
Подставив в формулу для определения критических напряже
97
ний значение цредела пропорциональности материала, можно оп ределить предельную гибкость, меньше которой формула Эйлера не применима,
Например, для стали 3, с модулем упругости Е =2.106кг/см^ и пределом пропорциональности бпц = 2100 кг/см^ предельная гибкость
Для чугуна формула Эйлера применима при А » 90, для сосны при Я > 110.
В тех случаях, когда гибкость стержня меньше предельного значения для данного материала (критическое напряжение, оп ределяемое по формуле Эйлера, больше предела пропорциональ - ности), критические напряжения вычисляют по эмпирическим фор мулам (берут из справочников).
§ 15. Расчетные формулы для проверки на устойчивость
Поскольку потеря устойчивости практически означает выход конструкции из строя, за опасное принимается критическое нап ряжение. Условие устойчивости записывается в виде
где Ue 3acmнапряжение , допускаемое при расчете на устойчи вость.
Допускаемое напряжение на устойичовооть можно выразить через*допускаемое напряжение на сжатие, применив коэффициент снижения основного допускаемого напряжения . Тогда ус ловие устойчивости примет вид
или
98
Коэффициент Ч для данного материала зависит только от гибкости и определяется по справочным таблицам.
Условие устойчивости. Примеры расчетов на устойчивость
Расчеты сжатых стержней на устойчивость аналогичны их расчетам на прочность в том смысле, что в обоих случаях пресле дуется одна цель - не допустить разрушения стержня. В одном случае это будет достижение напряжениями предела прочности или предела текучести, а в другом - величины критических нап ряжений.
Поскльку до наступления потери устойчивости стержень ис пытывает чистое сжатие, условие устойчивости может быть запи сано так же, как условие прочности при сжатии, с той только разницей, что б правой части должно стоять допускаемое напря жение не на прочность , а на устойчивость
.
Следует иметь в виду, что допускаемое напряжение на ус тойчивость зависит не только от рода материала, но и от ряда других факторов: длины стойки, формы и размеров поперечного сечения, вида закрепления концов стержня. Два стержня будут иметь различные допускаемые на устойчивость напряжения, если хоть чем-то отличаются друг от друга.
Для упрощения расчетов на устойчивость разработаны спе
циальные таблицы коэффициентов |
Ч |
, с помощью которых вели |
||
чина [&] |
для разных материалов определяется через допускае |
|||
мое напряжение на сжатие по формулам: |
||||
Коэффициент Ч |
и |
» |
• |
|
называется коэффициентом снижения до |
||||
пускаемого напряжения |
(<Р<1)' . |
Находят его по величине |
||
гибкости |
стержня из табл. 1 . |
|
|
|
99
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
Значения (f |
|
|
|
Гибкость |
Сталь низко- |
Сталь средне- |
Чугун |
Дерево |
|
стержня |
углеродистая |
углеродистая |
|||
|
|
||||
0 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
|
10 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,99 |
|
20 |
0,96 |
0,95 |
0,91 |
0,97 |
|
30 |
0,94 |
0,92 |
0,81 |
0,93 |
|
40 |
0,92 |
0,89 |
0,69 |
0,87 |
|
50 |
0,89 |
0,86 |
0,57 |
0,80 |
|
60 |
0,86 |
0,82 |
0,44 |
0,71 |
|
70 |
0,81 |
0,76 |
0,34 |
0,60 |
|
80 |
0,75 |
0,70 |
0,26 |
0,48 |
|
90 |
0,е9 |
0,62 |
0,20 |
0,38 |
|
100 |
0,60 |
0,51 |
0,16 |
0,31 |
|
110 |
0,52 |
0,43 |
— |
0,25 |
|
120 |
0,45 |
0,36 |
- |
0,22 |
|
130 |
0,40 |
0,33 |
- |
0,18 |
|
140 |
0,36 |
0,29 |
- |
0,16 |
|
150 |
0,32 |
0,26 |
- |
0,14 |
|
160 |
0,29 |
0,24 |
- |
0,12 |
|
170 |
0,2о |
0,21 |
- |
0,11 |
|
180 |
0,23 |
0,19 |
- |
0,10 |
|
190 |
0,22 |
0,17 |
- |
0,09 |
|
200 |
0,19 |
0,16 |
|
0,08 |
В практических расчетах на устойчивость чаще всего прихо дится решать задачи определения допускаемой на устойчивость
нагрузки и подбора сечения стерхня. Для решения первой из них |
||
необходимо найти величину 9 |
, для чего предварительно опреде |
|
ляют. гибкость стерхня |
А |
. После этого находят допускаемую |
нагрузку умножением |
9 на площадь сечения стойки и на до |
|
пускаемые напряжения при сжатиии |
||
|
Ра =Ч>РСъ1 . |
|
Задача о подборе |
ООП |
ск |
сечения сжатого стержня решается сложнее. |
||
Дело й том, что, в отличие от определения сечения по прочности, из условия устойчивости нельзя вычислить необходимую площадь
сечения |
F |
. |
Для |
определения |
F |
из |
условия устойчивости |
нужно знать |
9 |
, |
а для отыскания |
9 |
иметь гибкость стерж |
||
ня Я |
, которую можно найти, |
если известен Lmin , т .е . |
|||||