книги из ГПНТБ / Мирзаев, Г. Г. Проектирование и строительство инженерных сооружений конспект лекций

1\У

dF

э777/7777777777 '//////////////

•с

_х

' Ъ

Рис.12

моментом инерции называется сумма произведений элементарных площадок фигуры на квадраты их расстояний до некоторого полю­ са, через который проходит ось, перпендикулярная плоскости чертежа (см. рис. 11,а ).

Из формул видно, что сумма осевых моментов инерции равна полярному моменту инерции, т .е . является величиной постоянной и не меняется при повороте осей. Полярный момент инерции - ве­ личина положительная и не может равняться нуих.

22

Цриыер. Определять полярный момент инерции крута (рис.13). На расстоянии р от полоса 0 выделяем бесконечно малую площадку в веде кольца, затем составляем и решаем уравнение

I, - \ ? ' Л Г - i y i x p d f . 2 J p V p . ^ l L f , o t d *

Круг является симметричной фигурой, поэтому

Ц е н т р о б е ж н ы й м о м е н т и н е р ц и и Центробежным моментом инер­ ции площади плоской фигуры называется суш а произведе­ ний елементарннк площадок на их координаты (т .е . на расстояние до обеих коор­ динатных осей)

Он может быть положи - тельным, отрицательным н разным яулв (в зависимости от знака координат).

Центробежный момент инерции относительно осей, из которых хотя бы одна является ось» симметрия, равен нул».

Формулн перехода к параллельным осям

Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными , а момент инерции фигуры, взятый относительно

I 23

жести. Осевые моменты инерции относительно центральных ooeft

м4>

Аналогично получим осевой момент инерции относительно оси у

Iy ‘ Iy + l F ’ с“4-

Момент инерции фигуры относительно любой оси равен собст­ венному центральному моменту инерции плюс произведение квадра­ та расстояния нейду центральной н данной осью на площадь фи - гурн.

24

Чем больше расстояние между осями, тем больше момент инер­ ции (увеличивается пропорционально квадрату). Собственный цент­ ральный момент инерции является наименьшей величиной

Ix = 1x ~ a ? F ' ш '-

Центробежный момент инерции

4(У=l x<y,dF~l (x+b)(y+a) = /*ydF +

V 0 .

Центробежный момент инерции относительно произвольно взя­ тых осей равен собственному центральному центробежному моменту инерции плюс площадь фигуры, умноженная на расстояние между осями.

Все моменты инерции являются величинами интегральными, поэтому отдельный интеграл можно рассматривать как сушу ин­ тегралов. Из этого следует, что момент инерции сложной фигуры относительно заданной оси равен сумме или разности моментов инерции отдельных ее частей относительно той хе оси.

Г л а в а II

ОСНОШЫЕ ВДДЫ ДЕФОРМАЦИЙ

Из опыта известно, что все существующие в природе твер­ дые тела способны деформироваться под действием внешних или внутренних сил, хотя у каждого материала это свойство прояв - ляется в различной степени. Появление в теле деформаций объяс­ няется тем, что под действием внешних сил изменяются расстоя - ния между частицами тела или меняется их взаимное расположение. При этом между частицами возникают внутренние силы взаимодейст-

25

ввя, стремящиеся вернуть частицн в первоначальное положение и противодействующие внешним силам. Если убрать действущие на тело внешние силы, то внутренние силы взаимодействия будут стремиться вернуть частицн тела в первоначальное положение ж придать телу прежние форму и размеры.

Способность материала восстанавливать первоначальные раз­ меры и форму тела после удаления внешних сил называется упру­ гостью. Деформации, полностью исчезающие после снятия нагруз­ ки, называются упругими деформациями; неисчезающие деформа - ции - остаточными или пластическими. Цри проектировании частям конструкции, как правило, придают такие геометрические разме­ ры, при которых не возникали бы остаточные деформации.

С увеличением -ияетиит сил увеличиваются и внутренние си­ лы взаимодействия. Эти силы в каждом материале увеличиваются только до известного предела. Внешние силы могут оказаться столь большими, что внутренние силы тела цри данных его разме­ рах не смогут их уравновесить и тело разрушится.

Деформации элементов сооружений и машин, вызванные внеш - ними силами, могут быть очень сложными. Однако все сложные деформации состоят из совокупности основных видов деформаций: растяжения, сжатия, сдвига (среза), изгиба, кручения.

Примерами сложных деформаций могут служить одновременное растяжение или сжатие и изгиб; кручение и изгиб и т .д .

§ 5. Определение внутренних усилий

Для решения задач сопротивления материалов необходимо уметь определять внутренние напряжения и деформации тела. Напряжение есть мера внутренних сил в данной точке деформи­ руемого тела.

Цри определении внутренних сил в каком-нибудь сечении

вием приложенных сил части тела стремиться разъединиться, но удерживаются вместе за счет внутренних сил. Отбросим одну из

26

8)

внутренними силами, приложенными но всему сечению. Являясь внутренними силами для целого тела, они Играют роль внешних сия для выделенной части. Величину равнодействующей внутрен - них усилий можно определить нз условия равновесия выделенной частя, но при условии , что известен закон распределения внут­ ренних усилий по сечению. Для этого могут быть использованы

Если в сечении выделить бесконечно малую площадку dF , то можно считать, что на нее цркдется ж бесконечно махая си­

Иа сказанного следует, что напряжение характеризуется интенсивностью внутренних сил и определяется как отношение си-

Полное напряжение выражается через нормальное к касатель­ ное напряжена по ф о р м у л е ________

редко, так как материалы сопротивляются нормальным н касатель­ ным напряжениям по-разному. Нормальные н а д р а е н а стремятся сблизить или удалить частицы тела ( с а п е н а растяжение) по

Если к призматическому брусу постоянного поперечного се­ ч е н а приложить вдоль его осы две равные по величие н прост-

ваясь в равновесии, получит деформации растяжения: дайна его увеличится, а п р а в а и высота несколько уменьшатся.

х

Рис.16

Цредположим, что в рассматриваемом брусе плоские сечения, нормальные к оси бруса до приложения нагрузки, остаются и пос­ ле деформации плоскими и нормальными к оси. Это предположение называется гипотезой плоских сечений и подтверждается опытны­ ми дпшшим для сечений, достаточно удаленных от места приложе­ ния силы Р . На основании этого допущения можно утверждать, что напряжения в сечении будут распределяться равномерно по всей площади.

Для определения напряжений в растянутом брусе применим ме­ тод сечений. Разделим брус на две части сечением тпп и отбро­ сим правую часть (рис. 16,6). Левая часть находится в равновесии под действием внутренних сил, направленных нормально к плоскости сечения,и внешней силы Р . Равнодействующая внут­

%X = - P + R = - P +eF = 0 ; g =j - > Кг/см2 .

Б случае сжатия бруса напряжение вычисляется по той же формуле (изменится только направление действия сила). Таким образом, нормальные напряжения при растяжении или сжатии рав­ ны отношению величины действующего усилия к площади попереч­ ного сечения растянутого (сжатого) элемента.

Закон Гука

Основной мерой деформации сжатых или растянутых элементов является относительное удлинение или укорочение (отиоснтель - нал деформация), которое определяется как отношение абсолютной деформации к первоначальной длине элемента (рис. 17),

с- AIL ■’ е - ЛЬ

Ч, J - ’

где ? , 5 , - относительная продольная и поперечная деформации соответственно.

я.____________ ь__________ _

Р и с.17

Напряжения и деформации, возникающие в сжатом или. растя­ нутом элементе, тесно связаны между собой. Эта связь впервые была сформулирована Робертом Гуком в 1678 г . Согласно закону Гука деформация пропорциональна нагрузке. При растяжении и сжатии закон Гука выражает прямо пропорциональную зависимость