- •Раздел 10. Кратные интегралы. §. Начальные понятия и определения
- •§. Определение кратного интеграла
- •§. Свойства кратных интегралов.
- •§. Замена переменных в кратных интегралах.
- •§. Криволинейные интегралы 1го рода.
- •§. Криволинейные интегралы 2го рода.
- •§. Условия независимости криволинейного интеграла 2го рода от пути интегрирования.
- •Если u(X, y, z) такая, что,
- •§. Задача о нахождении площади поверхности.
- •§ .Поверхностные интегралы 2рода.
- •§. Скалярные поля.
- •§. Векторные поля.
- •§. Теорема Гаусса-Остроградского.
- •§. Теорема Стокса.
- •§. Задача о движении твердого тела.
- •Криволинейные и поверхностные интегралы
§ .Поверхностные интегралы 2рода.
Пусть в Е3задана поверхность : ;
, и на поверхности Sзадана вектор-функция
и, при этом .
Рассмотрим:.
Если такой предел существует и конечен, то он называется поверхностным интегралом 2-го рода и обозначается .
Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода – поток векторного полячерез поверхностьSв направлении нормали, определяемой вектором, т.е. стороной поверхности. Собственно говоря, это и есть определение потока векторного поля через поверхность.
Свойства поверхностного интеграла 2-го рода:
1.Интеграл меняет знак при изменении стороны поверхности, по которой идет интегрирование:.
2.Связь с поверхностным интегралом 1рода.
.
Здесь единичный вектор нормали к поверхности;– направляющие косинусы нормали к поверхности;,,;
.
3.Если помнить о том, что:,
, , легко написать формулу для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода
.
Примерывычисления поверхностных интегралов 2рода.
1.Вычислить, гдеS – внешняя сторона сферы=
Вектор нормали был найден в предыдущем параграфе, в примере3.
.
Знак в выражении для берем так, чтобы в 1октанте координаты векторабыли положительными (внешняя сторона).
.
Вектор .
Тогда: =
= . ▲
2.Вычислить, еслиS- внешняя сторона конуса
с крышкой z= 1.
Δ Поверхность интегрирования состоит из двух частей – боковой поверхности конуса и крышки. Поэтому: .
а). Для вычисления первого из них, отметим что и, следовательно:
.
б). Для вычисления второго из них, вспомним что для поверхности, заданной явно:. Знак выбран так, чтобы получить внешнюю нормаль к поверхности. Получаем:
.
Таким образом .
§. Скалярные поля.
П усть задана областьв евклидовом пространстве и взадана функция. Тогда говорят, что взадано скалярное поле (синоним: функция трех переменных). Поверхностиназываются поверхностями уровня скалярного поля.
Пусть задан вектор с известными направляющими косинусами .
Производной скалярного поляпо направлениюназывается величина:
.
Запишем параметрическое уравнение прямой :
;
Тогда на этой прямой:
и тогда:
.
Вводя вектор получим:.
Из делаем вывод, что векторуказывает направление максимального роста поля и по величине равен скорости роста поля в этом направлении.
Такое определение является инвариантным относительно системы координат.
Если для векторного поля существует скалярное полетакое, чтото поленазывается потенциальным полем а скалярное поленазывается его потенциалом.
Необходимое и достаточное условие потенциальности поля:
.
§. Векторные поля.
Пусть задана область в евклидовом пространстве , и взадана векторная функция. Тогда, говорят что взадано векторное поле.
Def:Линии в пространстве в каждой точке которых векторное поле направлено по касательной к данной линии называется векторными линиями поля (силовыми линиями, линиями тока).
Векторные линии можно найти исходя из системы дифференциальных уравнений векторных линий: , например для:– прямые, проходящие через начало координат.