- •Раздел 10. Кратные интегралы. §. Начальные понятия и определения
- •§. Определение кратного интеграла
- •§. Свойства кратных интегралов.
- •§. Замена переменных в кратных интегралах.
- •§. Криволинейные интегралы 1го рода.
- •§. Криволинейные интегралы 2го рода.
- •§. Условия независимости криволинейного интеграла 2го рода от пути интегрирования.
- •Если u(X, y, z) такая, что,
- •§. Задача о нахождении площади поверхности.
- •§ .Поверхностные интегралы 2рода.
- •§. Скалярные поля.
- •§. Векторные поля.
- •§. Теорема Гаусса-Остроградского.
- •§. Теорема Стокса.
- •§. Задача о движении твердого тела.
- •Криволинейные и поверхностные интегралы
§. Задача о нахождении площади поверхности.
“Сапог Шварца”.
При рассмотрении длины кривой мы фактически определили длину кривой как предел длины вписанной в кривую ломанной, когда максимальная длина звена ломаной стремится к нулю.
Казалось бы, что при решении задачи о площади поверхности логично ее определить как предел площади вписанного многогранника. Однако следующий пример показывает, что такой подход здесь не срабатывает.
Р ассмотрим прямой круговой цилиндр высотыНи с радиусом основанияR. Разобьем его наmцилиндров высоты.
К аждую окружность разобьем наnчастей и впишем в них правильныеn-угольники. Причем точки деления вышележащих окружностей лежат над серединами дуг нижней окружности. Соединим отрезками соседние вершины смежных по вертикалиn-угольников. Так построенный многогранник, вписанный в цилиндр называется « сапогом Шварца». Вычислим площадь
« сапога Шварца». .
Тогда: . Устремим. Получим.
П редел этого выражения зависит от отношенияи, следовательно, не существует.
§. Поверхностные интегралы 1-го рода.
Пусть в Е3задана поверхность : ;
, и на поверхности Sзадана функция.
Проводя в области координатные линиии, получим в областиразбиение. В каждом элементе разбиения отметим точку.
Разбиение с отмеченными точками индуцирует натакже разбиение с отмеченными точками. В каждый отмеченной точке построим касательную плоскость к поверхности. Заменим поверхность на чешуйчатую поверхность, состоящую из кусочков касательных плоскостей.
Рассмотрим: . Здесь– координаты отмеченной точки,– скалярный элемент площади. Если такой предел существует, то он называется поверхностным интегралом 1-го рода и обозначается.
.
Физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода– масса поверхностиSс поверхностной плотностью.
Свойства:
1.Условие нормировки:. Это условие обозначает, что поверхностный интеграл 1-го рода от единицы численно равен площади поверхности.
2.Интеграл не зависит от стороны двухсторонней поверхности, по которой
идет интегрирование: .
3.О нахождении:
= .
Еще рассмотрим: .
= = ,
Здесь: ,,
.
Величина: называетсяпервой квадратичной формой поверхности.Эта квадратичная форма положительно определена. Ее матрица:и, следовательно, по критерию Сильвестра:.
Теперь отметим, что: и. Возведем оба соотношения в квадрат и сложим. Получим:.
Тогда : .
4..
.
Примерывычисления поверхностных интеграловрода:
1.Вычислить, где– часть поверхности параболоида, отсекаемая плоскостью.
Δ . Запишем параметрическое уравнение заданной поверхности:
.
Находя вектор нормали к поверхности , можем найти и элемент поверхности.
Параллельно получена формулы нахождения идля для функции заданной явно:
, .
Тогда, вычисляя исходный интеграл, получаем:
. Здесь – проекция поверхности интегрирования на плоскость, т.е. круг единичного радиуса. Переходя в полярную систему координат, вычисляем интеграл:
. ▲
2 .Вычислить, еслиS- граница тела:.
Δ. Поверхность интегрирования состоит из двух частей – боковой поверхности конуса и крышки. Поэтому .
Первый из этих интегралов – интеграл по кругу единичного радиуса и
.
Для вычисления второго из интегралов запишем параметрическое уравнение конуса в виде: и векторный и скалярный элементы площади поверхности:и. Тогда для искомого интеграла получаем:
= .▲
И, наконец, .
3.Вычислить, еслиS – полусфера ,.
Δ . Параметрическое уравнение сферы радиусаа:
.
Тогда =
=
.
Тогда: =
= = 0.