- •Раздел 10. Кратные интегралы. §. Начальные понятия и определения
- •§. Определение кратного интеграла
- •§. Свойства кратных интегралов.
- •§. Замена переменных в кратных интегралах.
- •§. Криволинейные интегралы 1го рода.
- •§. Криволинейные интегралы 2го рода.
- •§. Условия независимости криволинейного интеграла 2го рода от пути интегрирования.
- •Если u(X, y, z) такая, что,
- •§. Задача о нахождении площади поверхности.
- •§ .Поверхностные интегралы 2рода.
- •§. Скалярные поля.
- •§. Векторные поля.
- •§. Теорема Гаусса-Остроградского.
- •§. Теорема Стокса.
- •§. Задача о движении твердого тела.
- •Криволинейные и поверхностные интегралы
§. Замена переменных в кратных интегралах.
10. В одинарном интеграле:.
20. В двойном интеграле:
.
30. В тройном интеграле:=
= .
40. В кратном интеграле: если,,и, то
.
Примеры:
10.Вычислить двойной интеграл:.
Область интегрирования – круг единичного радиуса с центром в начале координат.
a).В декартовой системе координат:.
Недостатки: пределы интегрирования не красивые и, кроме того, интеграл не выражается через элементарные функции.
б).В полярной системе координат:
.
При переходе в полярную систему координат не только получился повторный интеграл с удобными пределами интегрирования, но, с учетом того, что внутренний интеграл не зависит от получилось даже произведение двух интегралов Римана.
20.Вычислить , если областьD– замкнутая часть плоскости ограниченная кривыми: {y= 2x;y= 4x;xy= 1;xy= 3}.
a ). Расставлять пределы интегрирования в декартовой системе координат
расставлять очень не удобно. Поэтому сделаем по другому.
б). Сделаем замену переменных: u=xy,v= ; 1 ≤u ≤ 3, 2 ≤v≤ 4.
Для выполнения замены переменных необходимо найти якобиан . Однако находить его неудобно. Поэтому воспользуемся соотношением:. Тогда . Якобиан положителен, следовательно, ориентация двух систем координат совпадает. И далее:
=…
30.Вычислить интеграл.
I= . Для нахождения полученного двойного интеграла перейдем в полярную систему координат.
= .
Тогда: . Пример показывает что не только двойной интеграл вычисляется с помощью перехода к повторным, но и наоборот.
§. Криволинейные интегралы 1го рода.
Def :Если вЕ3задана вектор-функция,и при этомx(t),y(t),z(t)C[a,b],C1[a,b], то говорят, что вЕ3задана гладкая криваяL.
Пусть на кривой Lзадана скалярная функцияf(x,y,z).
З амечание: Если t1,t2 такие, что x(t1) = x(t2), y(t1) = y(t2), z(t1) = z(t2), то криваяLимеет самопересечение, но, при этомf (x(t1), y(t1), z(t1)) не обязательно совпадает с f (x(t2), y(t2), z(t2)), поэтому, записываяf(x,y,z) мы будем иметь в видуf (x(t), y(t), z(t)).
Рассмотрим промежуток [a,b] изменения параметраt , и на [a,b] зададим разбиениеPс отмеченными точками ξ, т.е. зададим (P,ξ).
Разбиение (Р,ξ) отрезка [a,b] индуцирует разбиение кривойLс отмеченными точками.
Рассмотрим: , где– длина хорды, соединяющей концы соответствующего участка кривой. Если такой предел существует и конечен, то он называется криволинейным интегралом 1города , и обозначается.
Физический смысл криволинейного интеграла 1города – масса кривойLс линейной плотностью массf(x,y,z).
Для нахождения элемента длины дуги будут полезны следующие формулы:
10.Для плоской кривой, заданной в декартовых координатах:
dl=(по теореме Пифагора, см. рис. а).
В частных случаях различных способов задания кривой L получаем:
1а. Еслиy = y(x), то dl = ;
1б. Если x = x(y), то dl = ;
1в. Если x = x(t), y = y(t), то dl = ;
20. Для плоской кривой, заданной в полярных координатах x = ρcosφ, y = ρsinφ:
dl = . Формула эта может быть получена и непосредственно из криволинейного треугольника (см. рис. б).
2а. Если , то dl = ;
2б. Если , то dl = ;
2в. Если , то dl = ;
30.Для пространственной кривой, заданной в декартовых координатах:
dl=.
3а. Если , то dl =;
40. Еслиf(x,y,z) = 1 то криволинейный интеграл 1города численно равен длине кривойи кривая называется спрямляемой.
50. Криволинейный интеграл 1города может быть сведен к обычному интегралу Римана. Пусть. Тогда
. При этом .
Формула следует из определения.
40.Криволинейный интеграл 1города не зависит от направления интегрирования:
.
Примеры:
10. Вычислить: J=, где кривая L: .
Параметрическое уравнение эллипса:
dl = .
Эллипс пробегается против часовой стрелки, хотя это указывать не обязательно.
И тогда:
J = = =
= .
20. Найти массу кривойL : y = ln xдля, если ρ =x2 линейная плотность кривой .
M = =
= =.
30. Найти силу притяжения точкиАмассыm однородной полуокружностью радиусаR с центром в точкеА. ().
Отметим, что сила притяжения это вектор , который из соображений симметрии направлен вверх. НайдемFy(т.к.Fx= 0).
dFy =,гдеG– гравитационная постоянная,dl=Rdφ; Следовательно:Fy = .