- •Раздел 8. Функции многих переменных. §. Воспоминания о будущем.
- •§. Определение функции многих переменных.
- •§. Повторные пределы (на примере функций двух переменных).
- •§. Непрерывные функции.
- •§. Функции непрерывные в области.
- •§. Равномерная непрерывность функции на множестве.
- •§. Компактные множества в Еn.
- •Раздел 9. Дифференцирование функций многих переменных.
- •§. Дифференцируемые функции. Дифференциал.
- •§. Производная сложной функции.
- •§. Формула конечных приращений для функции многих переменных.
- •§. Производная функции по направлению.
- •§. Инвариантность формы 1го дифференциала при замене переменных.
- •§. Производные высших порядков.
- •§. Дифференциалы высших порядков.
- •§. Формула Тейлора.
- •§ Экстремумы функций нескольких переменных.
- •§. Достаточные условия экстремума.
- •Примеры:
- •§. Наибольшие и наименьшие значения функции в замкнутой области.
- •§ Функции многих переменных, заданные неявно.
- •§ Примеры вычисления производных от неявных функций.
- •§. Замена переменных в дифференциальных выражениях.
- •§. Условные экстремумы функций многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
Примеры:
1.Исследовать на экстремум функцию:
Необходимые условия экстремума:
.
Достаточные условия экстремума: составим матрицу из вторых производных:
.
Г
Функция в точке (0,0) имеет минимум. Впрочем, это ясно если построить линии
уровня функции, u =const: (эллипсы). Функциязадает эллиптический параболоид.
2.
Необходимые условия экстремума:
Достаточные условия экстремума: . Второй дифференциал – полуопределён. Обратим внимание на то,что:
при этом ясно, что на линии функция равна нулю, а вне этой линииu> 0. (параболический цилиндр).
§. Наибольшие и наименьшие значения функции в замкнутой области.
Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой областиD. По теореме Вейерштрасса, функция в этой области достигает наибольшего и наименьшего значения.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области D нужно найти все внутренние точки D «подозрительные» на экстремум и сравнить со значениями функции в граничных точках области. Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в области.
Примеры:
1. Найти наибольшее значение функциив треугольнике:.
Получаем: . Внутри областиобращаются в ноль только в точкеНа границах области функцияu= 0.
Наибольшее значение функции u(x,y):
20.Найти наибольшее и наименьшее значение функции:при условии.
а).Из условия:и, исключая изпеременнуюполучим:
. Сформулируем новую задачу:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в кругеx2 +y2 1.
;
.
Из необходимых условий следует, что:
а1). x= 0,y= 0; (= 0); а2).x= 0,y=; (= 0,25);
а3). y= 0;x=(= 1); а4).
Последняя система, очевидно, решений не имеет.
б). Теперь надо посмотреть функциюна границе области, т. е. когда:
x2+y2= 1y2= 1 –x2для.
Для нее: и, следовательно :
б1). x= 0; (= 0) б2).x=; (= 0,25).
в). И, наконец, надо посмотреть точкиx = ±1 при этом в1).x= ± 1, (= 0).
Вывод:наибольшее значение функции в области== 1,
наименьшее значение ==== 0.
3.Для функции одного переменного, если внутри промежутка имелось только одна точка локального экстремума, то в ней обязательно достигалось наименьшее либо наибольшее значение. Для функций многих переменных это, вообще говоря, не так.
Δ. Для примера рассмотрим функцию в прямоугольнике:. Необходимые условия экстремума:,.
Отсюда следует: а1). x= 0,y= 0. а2).x= 2,y= 2 – не принадлежат прямоугольнику.
Достаточное условие экстремума в точке (0,0):
=,1= – 8;2= 12.
Функция вDимеет локальный максимум. И, при этом,. Однако это значение не является наибольшим в области, ибо:. ▲
§ Функции многих переменных, заданные неявно.
А.УравнениеF(x1,x2,…,xk,y) = 0 в (n+1) – мерном параллелепипеде:
ai≤xi≤bi,i= 1, 2, 3….,n;c≤y≤dопределяетy как однозначную функцию отxi:
y=y(x1,x2, …..xn), если для любой точки (x1,x2, ….xn) содержащейся вn-мерном параллелепипедеai≤xi≤bi,i= 1, 2, 3….,nуравнение имеет один и только один кореньyв промежутке [c,d].
To.Пусть:
1.F(x1,x2,……xk,y) определена и непрерывна в (n+ 1) – мерном параллелепипеде:
с центром в,
2.Частные производные(i=1, 2,…..,n) исуществуют и непрерывны вD,
3.,4. .
Тогда:
а.В некоторой окрестностиуравнениеопределяетукак однозначную функциюy=f(x1,x2,…xn),
б.При этом,,
в.Функцияy=f(x1,x2,…xn) непрерывна по всем своим аргументам,
г.И имеет непрерывные частные производные,, …..,.
Б.При каких условиях, в общем случае, системаmуравнений:
(*)
определяет y1,y2,…,ymкак однозначные функции: ?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которая вместе с предыдущей носит название теоремы о неявных функциях.
To.Пусть:
1.Все функцииF1(..),F2(…), ….Fm(…) определены и непрерывны в (n+m) мерном параллелепипеде:
с центром в точке ,
2.Существуют и непрерывны вD частные производные всех функцийFj (…) по всем аргументам,
3.Точкаудовлетворяет всем уравнениям системы (*),
4.ЯкобианJсистемы в этой точке отличен от нуля.
J==0.
Тогда:
а.В некоторой окрестности точкисистема уравнений (*) определяетy1=f1 (x1,x2,…xn),y2=f2(x1,x2,…xn),…,ym=fm(x1,…,xn), как однозначные функции от аргументовx1,x2, ….,xn,
б.При этом,yj0=fj(x10,x20, …,xn0),j = 1, 2, …,m,
в.Функцииf1,f2, ….,fmнепрерывны в точке (x10,x20, …,xn0),
г.И имеют непрерывные частные производные по всем аргументам.