- •Раздел 8. Функции многих переменных. §. Воспоминания о будущем.
- •§. Определение функции многих переменных.
- •§. Повторные пределы (на примере функций двух переменных).
- •§. Непрерывные функции.
- •§. Функции непрерывные в области.
- •§. Равномерная непрерывность функции на множестве.
- •§. Компактные множества в Еn.
- •Раздел 9. Дифференцирование функций многих переменных.
- •§. Дифференцируемые функции. Дифференциал.
- •§. Производная сложной функции.
- •§. Формула конечных приращений для функции многих переменных.
- •§. Производная функции по направлению.
- •§. Инвариантность формы 1го дифференциала при замене переменных.
- •§. Производные высших порядков.
- •§. Дифференциалы высших порядков.
- •§. Формула Тейлора.
- •§ Экстремумы функций нескольких переменных.
- •§. Достаточные условия экстремума.
- •Примеры:
- •§. Наибольшие и наименьшие значения функции в замкнутой области.
- •§ Функции многих переменных, заданные неявно.
- •§ Примеры вычисления производных от неявных функций.
- •§. Замена переменных в дифференциальных выражениях.
- •§. Условные экстремумы функций многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
§. Равномерная непрерывность функции на множестве.
Def:Величинаназывается колебанием функциина множествеМ.
Def:Функцияназывается равномерно непрерывной на множествеМ, если
.
Теорема Кантора:Функциянепрерывная в ограниченной замкнутой областиDравномерно непрерывна наD.
Δ. От противного. Возьмем числовую последовательность , такую что:
и ни одно из этихне годится для равномерной непрерывности.
Тогда , такая что, но. (*)
Получаем последовательность . Из этой последовательности выделим сходящуюся подпоследовательность. Для нее, в силу замкнутости области. Так как, то при.
Значит, в силу непрерывности, , значит, что противоречит (*). ▲
Следствие: Еслиравномерно непрерывна в ограниченной замкнутой областиD, то, таких, что– замкнуты,ивыполнено:.
Δ В качестве достаточно взять это число из равномерной непрерывности.
Тогда . ▲
§. Компактные множества в Еn.
Def: Пусть и имеется система множеств=такая, что
. Тогда система множеств =называется покрытием множестваМ.
Тº. (Бореля).«Если ограниченное замкнутое множествоDпокрыто системой =открытых множеств, то из этого покрытия всегда можно выделить конечное.
Δ. От противного. Для наглядности иллюстрации и не ограничивая общности доказательство проведем в двухмерном пространстве. Пусть из существующего бесконечного покрытия нельзя выделить конечное. Проведем процедуру разбиения множества Dна прямоугольники с последующим выбором из 4хпрямоугольников одного, который не покрывается конечным покрытием…. Продолжая эту процедуру достаточно долго можно получить сколь угодно маленькие прямоугольники.
На некотором, к-омшаге, мы придем к прямоугольникуМккоторый содержит ту частьD, которая не покрыта конечным покрытием. Данная последовательность прямоугольников стягивается в точку. Эта точка, т.к. областьD– замкнута. Тогда точкавходит в одно измножеств покрытия. Так как- открытое множество, товходит ввместе с некоторой своей окрестностью.
В эту окрестность, при достаточно большом k,попадет и прямоугольникМк, который нельзя покрыть конечным покрытием с одной стороны, а с другой стороны.▲
Def:Множествоназывается компактом, если из любого его бесконечного покрытия открытыми множествами можно выделить конечное покрытие.
Лемма Бореля показывает, что в Еn любое ограниченное замкнутое множество является компактом.
Раздел 9. Дифференцирование функций многих переменных.
§. Частные производные и частные дифференциалы.
Задана функция переменных. Частными приращениями функции называются:.
Частной производной функции по переменной называется:.
Обозначения для частных производных:
Вычисление частной производной по переменной производится как обычно и, при этом все переменные, кроме, считаются постоянными.
Примеры.
10.; Тогда
20.;
30.;
;.
§. Дифференцируемые функции. Дифференциал.
Т0.Если для функциисуществуют частные производныев некоторой окрестности точкиР0, и непрерывны вР0, то, где- бесконечно малые величины.
Δ. =
= +
+ +
+ . Имеем сумму частных приращений. По формуле конечных приращений для функции одного переменного получаем:=
=.
При получим:
. ▲.
Def:Функцияназывается дифференцируемой в точкеР0, если возможно представление:, (*)
где – константы, апри. Полагая в (*) (если оно выполнено) все, кроме, получим:
.
Отсюда запишем: для функции дифференцируемой в Р0:
.
Def:Главная линейная часть приращенияназывается дифференциалом функциив точкеР0и обозначается
,
а величины называются частными дифференциалами.
Если дифференцируема, то
Тогда
Для независимых переменных и.
Пример. .
Пример (контрпример).
Δ. Рассмотрим ; Мы уже рассматривали эту функцию и установили, что вР0(0, 0) она непрерывна. Далее:.
Так как , тои, следовательно, функцияимеет в (0,0) частные производные.
Однако, формула не имеет места.
В самом деле: ине стремится к 0. Связано это с тем, чтов точкеР0не являются непрерывными:
и,кроме того,. ▲