§. Определение функции многих переменных.

Def:Если вЕ_nзадано правило по которому, каждой точке пространства поставлено в соответствие число, то говорят, что вЕ_nзадано вещественно – значная функцияnпеременных.

Def:Областью определения функцииназывается множество точек евклидового пространства, для которых задано значение функции. Областью значений функции называется множество вещественных чисел, являющихся образами точек евклидового пространства.

Def: ЧислоАназывается пределом функцииf (P) приесли:

.

Тº.ПустьиD(f) =M. Для того, чтобы существовалнеобходимо и достаточно, чтобы, числовая последовательность.

Пример:

1).Для нахождения, рассмотрим последовательность:

, ане существует.

2º).т.к..

§. Повторные пределы (на примере функций двух переменных).

1º).Пусть. Требуется найти двойной предел:.

Рассмотрим:

а)..б)..

Найденные пределы функции называются повторными пределами.

Т.к. повторные пределы различны, то не существует.

2º).Пусть. Требуется найти двойной предел:.

а).; б). .

Последний из повторных пределов, а вместе с ним и двойной не существует.

Примеры показывают, что при перестановке двух предельных переходов следует быть очень осторожным.

Тº.Если: 1) Существует (конечный или нет) двойной предел:;

2. При любом существует (конечный) предел пох:,

то существует и повторный предел: , равный двойному Δ▲.

Однако, не следует думать, что существование двойного предела необходимо для равенства повторных:

Пример:, как было установлено, не существует, а повторные пределы существуют,и равны между собой.

§. Непрерывные функции.

Def:Функцияназывается непрерывной в точкеР₀, еслиили, что тоже самое,. В противном случае говорят, чтоимеет разрыв в точке.

На языке ε – δ.

Def: Функциянепрерывна в точкеР₀, еслиили, что тоже самое,или

.

Если функция непрерывна, то она оказывается непрерывной по любой переменной, по любой паре переменных, …..

Пример:Если рассмотреть функцию, и учесть ранее установленный факт, чтоне существует, то получим пример функции, имеющей в точкеточку разрыва.

Легко сформулировать и доказать теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения, частного двух непрерывных функций.

Тº .Пустьи, кроме того,.

Кроме того, пусть функции все непрерывны в точке, а функциянепрерывна в соответствующей точкес координатами.

Тогда и сложная функция: также

непрерывна в точке .

Δ. Сначала по определим и найдемтакие что, из

следует, что и доказывает теорему.▲

§. Функции непрерывные в области.

Def:Функция непрерывна на множествеМ, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Тº.(аналог теоремы Больцано - Коши). Пусть функциянепрерывна в связной областиDитакие, чтотогда в области существует точка, в которой.

Δ

. Соединим точкиломаной, принадлежащей областиD. Если последовательно перебирать вершины ломаной, то окажется, что:

• либо в какой – то вершине функция равна нулю и тогда теорема доказана.

• либо это не так и, следовательно, найдется отрезок ломаной, на котором функция имеет разный знак на концах. Переобозначим концы этого отрезка как .

Уравнение этого отрезка прямой имеет вид: .

Тогда, при движении вдоль прямой исходная функция становится функцией одного переменного t:, которая непрерывна, как суперпозиция непрерывных функций и к ней применима соответствующая теорема для функции одного переменного:.▲

1-я теорема Вейерштрасса. Еслиопределена и непрерывна в ограниченной замкнутой областиD, то она ограничена на нем, т.е..

Δ. От противного. Пусть неограниченна. Тогда.

Имеем последовательность . Из последовательностивыберем сходящуюся подпоследовательностьи т.к.предельная точка замкнутой областиD,, то из непрерывности следует, что, что противоречит.▲

2-я теорема Вейерштрасса. Если определена и непрерывна в ограниченной замкнутой областиD, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е.

Δ. (Докажем для верхней границы). Пусть . Т.к.М- точная верхняя грань, то

Построена последовательность; извлекаем из нее сходящуюся подпоследовательность. Тогда, ибо функция непрерывна и, кроме того,. В пределе, но больше быть не может. ▲