Информатика все семинары и лекции / Лекция 5

Лекция 5. Логические операции с данными (ЮП)

1. Основные функции алгебры логики (ФАЛ).

Для анализа и синтеза (создания) цифровых систем используется математический аппарат алгебры логики.

Алгебра логики – это раздел математической логики, все элементы (функции и аргументы) которой могут принимать только два значения: 0 и 1.

Алгебра логики имеет дело с высказываниями.

Высказывание – это логическая гипотеза, которая может принимать только два значения: истина (true) или ложь (false).

Примеры:

"Киев – столица Украины" ­– истина;

"2 умноженное на 2 равно 5" – ложь;

"сейчас идет дождь" – истина или ложь.

Утверждения обозначаются отдельными буквами. Если над элементами алгебры логики выполнены операции, разрешенные в этой алгебре, то результат операций – также элемент этой алгебры.

Функцией алгебры логики (ФАЛ) называется функция, однозначно определяющая соответствие каждой совокупности значений аргументов нулю или единице.

ФАЛ представляет собой алгебраическое выражение, содержащее переменные-аргументы, связанные между собой логическими операциями. Любая ФАЛ состоит из одной или более элементарных ФАЛ.

Элементарной называется ФАЛ одного или двух аргументов, в логическом выражении которой содержится не более одной логической операции.

Технически ФАЛ реализуются специальными электрическими схемами, называемыми логическими элементами, которые имеют стандартизованные условные графические обозначения (УГО). Логические элементы изготавливаются в виде интегральных микросхем, причем один корпус микросхемы содержит, как правило, несколько независимых однотипных логических элементов.

Рассмотрим сущность, обозначение и правило формирования результатов различных ФАЛ.

Элементарные ФАЛ:

1) Отрицание

2) Конъюнкция (логическое умножение)

3) Дизъюнкция (логическое сложение)

Старшей является операция инверсии, более младшей – операция конъюнкции, самой младшей – операции типа дизъюнкции.

Комбинированные ФАЛ:

4) Штрих Шеффера (логическое умножение с инверсией)

5) Стрелка Пирса (логическое сложение с инверсией)

6) Сумма по модулю 2

7) Сумма по модулю 2 с инверсией (равнозначность)

В рассмотренных примерах символ ∨ обозначает операцию «дизъюнкция», символ ∧ – операцию «конъюнкция», а символ ⊕ – операцию «сумма по модулю два».

2. Основные законы и тождества алгебры логики.

С целью упрощения устройств цифровых систем или применения в них однотипных логических элементов, соответствующие ФАЛ преобразовывают, используя при этом законы и тождества алгебры логики:

− сочетательный закон: a∧(b∧с) = (а∧b) ∧с, а∨(b∨с) = (а∨b)∨с,

а ⊕ (b ⊕ с) = (а ⊕ b) ⊕ с;

− переместительный закон: а∧b = b∧а, а∨b = b∨а, а ⊕ b = b ⊕ а;

− распределительный закон: а∧(b∨с) = (а∧b)∨(а∧с), а∨(b∧с) = (а∨b)∧(а∨с), а∧(b⊕ с) = (а∧b)⊕ (а∧с);

− закон двойной инверсии: ;

− закон двойственности (правила де Моргана): , ;

Основные логические тождества:

1) х ∨ х = х, 4) х ∨ = 1, 7) х ∨ 1 = 1, 10) х ∨ 0 = х,

2) х ∧ х = х, 5) х ∧ = 0, 8) х ∧ 1 = х, 11) х ∧ 0 = 0,

3) х ⊕ х = 0, 6)х ⊕ = 1, 9) х ⊕ 1 = х, 12) х ⊕ 0 = х.