§7 Инвариантные пространства

Подпространство V₁ пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А если xV₁  AxV₁.

Примеры:

1) А – поворот вокруг оси Oz обычного трехмерного пространства: Инвариантные подпространства: плоскость xOy и ось Oz.

2) А – ортогональное проектирование того же трехмерного пространства на плоскость xOy. Инвариантные подпространства: плоскость xOy, все плоскости проходящие через ось Oz, сама ось Oz, все прямые в плоскости xOy и проходящее через начало координат.

3) В пространстве P_n многочленов степени не выше n, подпространства P_k k, 0  k  n инвариантны относительно оператора дифференцирования.

4) В любом пространстве V каждое подпространство инвариантно относительно тождественного и нулевого операторов.

5) В любом пространстве V само пространство V и подпространство, состоящее только из нулевого вектора {} инвариантны относительно любого линейного оператора.

10°. Пересечение и сумма подпространств инвариантных относительно А также инвариантны относительно А.

◀ Пусть V₁ и V₂ – инвариантны относительно А.

Пусть xV₁∩V₂ xV₁, xV₂  AxV₁, AxV₂  AxV₁∩V₂.

Пусть xV₁ + V₂  x = u + v, uV₁, vV₂  Ax = Au+ Av AxV₁ + V₂ . ▶

11°. Если detA  0 и V₁ инвариантно относительно оператора А, то V₁ инвариантно и относительно оператора А^–1.

◀ Пусть е₁, е₂, … е_n – базис V₁  Aе₁, Aе₂, … Aе_n – принадлежат V₁ (из инвариантности), линейно независимы и, следовательно, образуют базис в V₁  AxV₁

х = ₁Ae₁ + ₂Ae₂ + … + _rAe_r  А^–1x = А^–1(₁Ae₁ + ₂Ae₂ + … + _rAe_r) =

= ₁e₁ + ₂e₂ + … + _re_rV₁. ▶

12°. Если V₁ инвариантно относительно оператора А, то V₁ инвариантно и относительно оператора, где– произвольный полином.

◀ Действительно, если то из инвариантностиV₁ следует, чтои, следовательно,▶

Отметим, в частности, что подпространство инвариантное относительно оператора А, инвариантно и относительно оператора при любом числе. Верно и обратное утверждение: если подпространство инвариантно относительно оператора, то оно инвариантно и относительноА, ибо . Очевидно, что все пространство и пространство, состоящее из нейтрального элемента, суть инвариантные подпространства. Нетривиальными примерами инвариантных подпространств могут служить, например, подпространства, натянутые на один или несколько собственных векторов оператораА.

Действительно, пусть векторы – собственные векторы оператораА и Р натянутое на них подпространство. Тогда любой вектор , может быть представлен в видеи потому:

.

Среди чисел могут быть равные. В случае, если все собственные значения оператора различны, указанными подпространствами исчерпываются все инвариантные подпространства оператора.

Другим важным типом инвариантных подпространств являются циклические подпространства. Для определения этого понятия рассмотрим следующую конструкцию. Пусть дан вектор . Построим систему векторов:. Ясно, что в этой системе когда то в первый раз встретится вектор, являющийся линейной комбинацией предыдущих.

Циклическим подпространством Q, порожденным вектором , называется подпространство, натянутое на векторы. Так как векторылинейно независимы, то они образуют базис циклического подпространстваQ и потому размерность Q равна показателю степени q.

13˚. Циклическое подпространство, порожденное вектором , есть наименьшее инвариантное подпространство, содержащее, т.е. оно само инвариантно и содержится во всяком инвариантном подпространстве, содержащем.

Действительно, пусть A^qx₀ = γ₀x₀ + … + γ₀A^q–1x₀ и пусть уQ. Тогда

у = с₀x₀ + с₁Аx₀ + … + с_q–2A^q–2x₀ + с_q–1A^q–1x₀;

Ау = с₀Аx₀ + с₁А²x₀ + … + с_q–2A^q–1x₀ + с_q–1A^qx₀ = с₀Аx₀ + с₁А²x₀ + … + с_q–2A^q–1x₀ +

+ с_q–1(γ₀x₀ + γ₁Аx₀ + … + γ_q–1A^q–1x₀) = x₀ + Аx₀ + … + A^q–2x₀Q.

Тем самым инвариантность Q доказана.

Далее, пусть Q какое-либо инвариантное подпространство, содержащие x₀. Тогда x₀Q; Аx₀Q, …, A^q–1x₀Q и, следовательно Q  Q, что доказывает минимальность Q среди инвариантных подпространств, содержащих x₀.

Отметим для дальнейшего, что любое циклическое по отношению к оператору А подпространство, порожденное вектором x₀, будет циклическим и по отношению к оператору А – Е при любом численном значении для . Действительно, каждое инвариантное по отношению к А подпространство будет инвариантным и для А – Е и обратно, и, следовательно, минимальные инвариантные подпространства, содержащие x₀, должны совпадать.

14°. Пусть А произвольный линейный оператор в V, (dimV = n) и пусть V = V₁ ⊕ V₂, где V₁ и V₂ – инвариантные подпространства оператора А. Пусть е₁, е₂, …, е_r – базис в V₁, е_r+1, е_r+2, …, е_n – базис в V₂. Тогда в силу инвариантности V₁ и V₂ относительно А:

Ae_i = _1ie₁ + _2ie₂ + … + _rie_r, i = 1, 2, …, r

Ae_i = _{r+1, i} e_r+1 + … + _{n i} e_n, i = r + 1, r + 2, …, n.

И, следовательно, матрица линейного оператора А имеет вид

.

Говорят, что матрица А имеет блочную структуру (распадается на клетки): .