Раздел 4. Теория определителей.

§1. Линейный функционал

Пусть V_n – n-мерное линейное пространство. Если для любого хV_n существует число (х)К, где К некоторое числовое поле, то говорят, что на пространстве V_n задан функционал φ со значениями в поле К.

Функционал (х) называется линейным функционалом, если

а) х, уV_n (х + у) = (х) + (у) (аддитивность);

б) хV_n К (х) = (х) (однородность).

Пусть базис в V_n. Тогда хV_n: х = (х) =  =. Таким образом, чтобы задать линейный функционал в линейном пространстве, достаточно задать величиныu_i = (e_i), т.е. каждому линейному функционалу можно поставить в соответствие вектор u = (u_1, u_{2, … ,} u_n) такой, что (х) = (x, u) = . Действие функционала на вектор х можно трактовать и как умножение матриц (х) = (u_1, u_{2, … ,} u_n)(ξ_1, ξ_{2, … ,} ξ_n)^Т.

Запись линейного функционала в некотором базисе в виде (х) = называется линейной формой. Таким образом, линейная форма это запись линейного функционала в некотором базисе.

§2. Пространство линейных функционалов на Vn

Рассмотрим множество возможных линейных функционалов на V_n. Два функционала f и  будем называть равными, если хV_n f(x) = (х).

Введем операции сложения функционалов и умножение функционалов на скаляр из вещественного поля K так:

) g = f +   хV_n g(x) = f(x) + (х);

) g = f  хV_n, K g(x) = f(x).

Нетрудно убедится, что множество линейных функционалов с так введенными операциями образуют линейное пространство. В качестве нейтрального функционала  определим функционал, который хV_n (х) = 0. Построенное таким образом пространство линейных функционалов заданных на V_n, называется пространством, сопряженным к V_n и обозначается V_n^*.

1. dimV_n = dimV_n^*. ◀ ▶

§3. Билинейный функционал

Пусть V_n – n-мерное линейное пространство. Если любой паре векторов х, уV_n поставить в соответствие число (х, у)K (K – некоторое числовое поле) такое, что х, у, zV_n, K выполнимы требования:

то говорят, что в V_n задан билинейный функционал (или билинейная форма).

Пусть – базис вV_n и х, уV_n. Тогда х = ,у = и(х, y) =

===, гдеu_ij = (e_i, e_j). Задание u_ij полностью определяют билинейный функционал. Запись билинейного функционала в некотором базисе в виде (х, y) ==называется билинейной формой.

§4. Симметричные и антисимметричные билинейные функционалы

Функционал (х, у) называется симметричным, если (х, y) = (y, х). (При этом (e_i, e_j) = (e_j, e_i) т.е. u_ij = u_ji).

Функционал (х, y) называется антисимметричным, если (х, y) = –(y, х) (При этом (e_i, e_j) = – (e_j, e_i) т.е. u_ij = –u_ji).

Если в заданной билинейной форме (х, y) положить х = у, то получим частный случай билинейной формы – квадратичную форму.

2. Любой билинейный функционал можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного функционалов.

◀ _s(х, y) = ((х, у) + (y, х))/2, _А(х, y) = ((х, у) – (y, х))/2. ▶

3. Каждому билинейному симметричному функционалу (билинейной форме) можно поставить в соответствие квадратичную форму и наоборот.

◀ *) (х, y) = (y, х)  (х, х);

**) (х + y, х + у) = (х, х) + (х, y) + (y, х) + (у, у) = (х, х) + 2(y, х) + (у, у) 

 (х, у) = [(х + y, х + у) – (х, х) – (у, у)]. ▶

4. Если билинейный функционал антисимметричен, то соответствующая ему квадратичная форма равна нулю.

◀ (х, y) = –(y, х). Полагая в данном равенстве y=x получим (х, х) = –(х, х) = 0. ▶