§3. Шары в метрическом пространстве. Ограниченные множества. Предельные точки

Def: Шаром S(a, r) в метрическом пространстве Х с центром в точке а радиуса r называется множество всех элементов хХ удовлетворяющих условию (a, x) < r : S(a, r)  {xX (a, x) < r}.

Def: Множество элементов Х называется ограниченным, если оно целиком принадлежит некоторому шару.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

◀ Пусть limx_n = х₀. Тогда   NnNx_nS(x₀, ). Рассмотрим S(х₀, r), где r = max{(х₁, х₀), (х₂, х₀), … , (х_n, х₀), } + . Ясно, что nNx_nS(x₀, r), т.е. последовательность {x_n} ограничена. ▶

Def: Если дано МХ, то элемент хХ называется предельной точкой или точкой сгущения множества М, если S(х, ) х₁М, х₁ ≠ х такой, что х₁S(х, ).

Def: Множество М с присоединенными к нему всеми предельными точками называется замыканием множества М и обозначается .

Def: Множество М называется замкнутым, если М =.

Рассмотрим предельные точки шара S(a, r) и покажем, что все они удовлетворяют требованию (a, x)  r. Допустим, что х предельная и (a, x) > r. Тогда в окрестности точки х радиуса 0,5[(a, x) – r] нет ни одной точки шара S(a, r) т.е. х не предельная. Множество (a, r)  {xX (a, x)  r} называется замкнутым шаром.

§4. Полнота метрических пространств

Последовательность Х называется фундаментальной или сходящейся в себе, если    Nn, m  N (х_n, х_m)  .

4. Любая фундаментальная последовательность ограничена.

◀ ₀  N₀m  N (х_m, ) ₀. Тогда все элементы последовательности принадлежат шару с центром х₀ и радиуса z₀ = max{₀, (х₁, ), … ,(,)}.▶

5. Если последовательность сходится, то она фундаментальна.

◀ Пусть  х₀. Тогда    N n  N (х_n, x₀)  /2. Кроме того,

(х_n, x_m)  (х_n, x₀) + (х₀, x_m)  n, m  N. ▶

Для множества вещественных чисел справедливо и обратное утверждение: любая фундаментальная последовательность – сходится.

В общем случае это не так. Подтверждением этого служит факт, что последовательность рациональных чисел не обязательно сходится к рациональному числу.

Def: Метрическое пространство называется полным если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу этого же метрического пространства.

В каждом метрическом пространстве имеет место теорема – аналогичная теореме о вложенных сегментах для действительных чисел.

6. Пусть в полном метрическом пространстве Х задана последовательность (a_n, _n) замкнутых шаров, вложенных друг в друга, т.е. (a_n+1, _n+1)  (a_n, _n) nN.

Если последовательность радиусов _n  0 , то существует и единствен элемент х₀Х, который принадлежит всем этим шарам т.е. х₀(a_n, _n) nN. ◀ ▶

Полными метрическими пространствами являются множества R иC (вещественных и комплексных чисел) и не является множество Q (рациональных чисел).

§5. НормИроbаНные пространства

Сосредоточив внимание на таком свойстве множества, как наличие в нем расстояния приходим к понятию метрического пространства.

Сосредоточив внимание на операциях в множестве приходим к понятию линейного пространства.

Если каждое расстояние никак ни связанно с операциями над элементами, то представляется весьма затруднительным построить содержательную теорию части которой соединяли бы вместе алгебраические и метрические понятия.

Поэтому мы будем на метрику, введенную в линейном пространстве накладывать дополнительные условия.

Вещественное или комплексное линейное пространство Х называется нормированным пространством, если для любого хХ существует вещественное число х называемое нормой вектора х такое, что выполняются следующие аксиомы (аксиомы нормы):

А) х ≥ 0 причем х = 0  х = θ (положительность нормы);

В) λх = λ х (абсолютная однородность нормы);

С) х + у ≤ х + у (неравенство треугольника).

Примеры норм. Если вектор х в некотором базисе имеет координаты х = (х₁, х₂, … , х_n), то: ) х_l = ;) х₂ = ;) х_p = ;) х = . Норма) называется евклидовой нормой.