§11. Свойства ортогонального дополнения

а) (L^)^ = L; б) V^ = ;

в) ^ = V; г) (L₁ + L₂)^ = ;

д) (L₁ ∩ L₂)^ = ; е)L₁  L₂ .

§12. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора на подпространство

Пусть L – подпространство евклидового или унитарного пространства V. Тогда xV x₀L  x^L^ (причем единственные), такие что x = x₀ + x^, x₀ – называется ортогональной проекцией вектора х на подпространство L. x^ – называется ортогональной составляющей вектора х на подпространство L. Расстоянием между двумя множествами M₁ и M₂ называется кратчайшее из расстояний между элементами M₁ и M₂:

(M₁, M₂) = .

В

частности(x, M) = ;²(x, y) = |x – y|² = = |x – x₀|² + |x₀ – y|²   | x – x₀ |² = | x^ |², где yL, т.е. расстоянием между вектором и подпространством является длина его ортогональной составляющей. Для евклидового пространства углом между вектором х и подпространством L называется угол [0, ] такой, что .

Преобразовав , получим, что косинус угла между подпространством и вектором равен отношению длины ортогональной составляющей вектора к длине самого вектора.

Рассмотрим – ортогональный базис в подпространствеL:

xV x = x₀ + x^ = ₁e₁ + ₁e₁ + … + _ke_k + x^.

Умножим скалярно обе части равенства на e_i:

, т.е.

–это формулы для нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора х на подпространство L.

Раздел 3. МетрическИе и нормированнЫе пространства

§1. Определение метрического пространства

Пусть в некотором множестве М любой паре его элементов (х, yМ) поставлено в соответствии неотрицательное вещественное число (х, у), удовлетворяющее следующим аксиомам:

А) (х, у) = (х,у) аксиома симметрии;

В) (х, у)  0, причем (х, у) = 0  х = у аксиома положительности;

С) (х, у)  (х, z) + (z, у) неравенство треугольника.

В этом случае говорят, что на множестве М задана метрика, функция (х, у) называется расстоянием, а множество М называется метрическом пространством.

Формально любое множество элементов, в котором определено отношение равенства, можно рассматривать как метрическое пространство, если ввести расстояние так:

. (*)

§2. Предел последовательности

Вектор х₀ метрического пространства Х называется пределом последовательности {х_n} элементов х₁, х₂, … из Х, если последовательность расстояний (х₀, х₁), (х₀, х₂), (х₀, х₃), … , (х₀, х_n), … стремится к нулю. При этом пишут х_n → х₀ при n → ∞ или limx_n = x₀. Последовательность , при этом называется сходящейся в Х, или просто сходящейся. Заметим, что, может быть сходящейся и не сходящейся в зависимости от того, в какой метрике рассматривается сходимость.

Например, если есть последовательность , из разных элементов, которая сходится в некоторой метрике_1, то, введя метрику _2, (определяемую формулой (*) из §1 мы увидим, что эта последовательность в метрике _2, не сходится.

1. Если последовательность , сходится вХ, то сходится и имеет тот же предел, любая подпоследовательность , этой последовательности.◀ ▶

2. Если последовательность , имеет предел то этот предел единственный.

◀ Пусть {х_n} имеет два предела у₁ и у₂. Тогда

 N₁ n  N₁  (х_n, y₁)  2

 N₂ n  N₂  (х_n, y₂)  2.

Выбрав N = max(N₁, N₂) получим

n  N (y₁, y₂)  (y₁, x_n) + (х_n, y₂) < 2 + 2 = ,

т. е. (y₁, y₂)   В силу произвольности  (y₁, y₂) = 0 т. е. у₁ = у₂. ▶