Назв. физической |
Система единиц |
Система единиц |
||||||||||||||||||||||
величины |
|
|
|
СИ |
|
|
|
|
|
|
Гаусса |
|
|
|||||||||||
Магнитная |
|
Размерная |
Безразмерная |
|||||||||||||||||||||
проницаемость. |
|
величина |
|
|
|
|
|
величина |
|
|
||||||||||||||
В среде |
μa =μ0μ |
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
μ0 =1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
В вакууме |
μ0 = 4π 10−7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Векторы E и HG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Размерность векторов E |
Размерность векторов E |
|||||||||||||||||||||||
электрического и |
и H разная |
и HG |
одинаковая |
|||||||||||||||||||||
магнитного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характеристическое |
W0 =120π |
|
W0 =1 |
|
|
|||||||||||||||||||
сопротивление |
Размерность Ом |
Безразмерная |
||||||||||||||||||||||
свободного пространства |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величина |
|
|
|||||||||
W0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Квадратурные характеристики поля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Назв. физической |
Система единиц |
Система единиц |
||||||||||||||||||||||
величины |
|
|
|
СИ |
|
|
|
|
|
|
Гаусса |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотность |
|
|
|
|
|
|
G |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
электрической энергии |
w |
э |
= |
εa |
|
E |
|
|
|
|
|
|
wэ |
|
|
1 |
|
|
|
G |
2 |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
ε |
Е |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8π |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Плотность |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
магнитной |
w |
m |
= |
μа |
H |
|
|
|
|
|
wm |
|
|
1 |
|
|
|
G |
|
2 |
||||
энергии |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
μ |
H |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8π |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Плотность потока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
c |
|
G G |
|
|
||||
энергии S (вектор |
|
S = [EH ] |
S |
= |
[EH ] |
|||||||||||||||||||
|
4π |
|||||||||||||||||||||||
Умова-Пойнтинга) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все приведенные выражения соответствуют произвольной зависимости от времени для мгновенных значений поля.
23
3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД В СИСТЕМАХ СИ И ГАУССА
3.1.Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд
Врадиотехнике большую роль играют гармонические колебания, когда все величины изменяются во времени по гармоническому закону
EG(t)= EGm cos(ωt +ϕ); |
|
|
|
(3.1) |
||||
HG(t)= HGm cos(ωt +ϕ). |
|
|
|
|
||||
Все эти функции могут быть представлены в таком виде: |
|
|
||||||
EG(t)= Re E |
m |
eiϕeiωt |
, |
H (t)= Re H |
m |
eiϕeiωt |
. |
(3.2) |
|
|
|
|
|
||||
Такое представление легло в основу так называемого метода комплексных амплитуд. В
соответствии с этим методом вместо действительной функции, например, EG(t) в виде
(3.1) рассматривается комплексная функция,
|
E(t)= Emeiωt |
(3.3) |
|
где |
Em = Emeiϕ |
(3.4) |
|
Такая же |
замена используется для поля |
H (t), токов и |
зарядов. Действительные |
функции |
EG(t)= Em cos(ωt + ϕ), H (t)= H m cos(ωt +ϕ) |
связаны с комплексными |
|
функциями EG(t)= EGmeiωt , HG(t)= Hmeiωt |
соотношениями |
|
|
|
E(t)= Re E(t), |
(3.5) |
|
|
H (t)= Re H (t). |
(3.6) |
|
Уравнения Максвелла можно записать относительно комплексных векторов
EG(t), HG(t) типа (3.3) В этих уравнениях множитель eiωt сокращается, и уравнения
Максвелла сводятся к уравнениям относительно комплексных амплитуд EGm , HGm (3.4), 24
более простым, чем уравнения для действительных функций вида (3.1). После решения этих уравнений можно опять перейти к реальным полям, пользуясь соотношениями
(3.5) и (3.6).
Все сказанное относилось к гармоническим колебаниям. В случае немонохроматических процессов аналогичные результаты получают, используя спектральные разложения, например, представление функций с помощью интегралов
Фурье: EG(t)= Re ∞∫EG(ω)eiωt dω. Уравнения относительно E(ω) ничем не отличаются
−∞
от уравнений относительно комплексных амплитуд.
3.2. Средние за период квадратурные характеристики поля, изменяющегося по гармоническому закону, в системах единиц СИ и Гаусса
Теорема Пойнтинга была сформулирована для мгновенных значений входящих в неё величин. В случае периодических полей большой интерес представляют энергетические отношения для средних за период величин, которые для любой
функции f (t) определяются таким образом:
fsr |
= |
|
1 |
T |
f (t)dt. |
(3.7) |
T |
∫ |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
Здесь нижний индекс “sr” выбран для обозначения средней величины.
Составим уравнение баланса мощности для средних за период значений мощности монохроматического поля. Заметим, что метод комплексных амплитуд применим непосредственно лишь в случае линейных уравнений.
Пусть имеются две произвольные векторные функции aG1, aG2 , гармонически
изменяющиеся во времени, и aG1, aG2 – соответствующие им комплексные функции.
Пусть реальные векторы aG1, aG2 связаны с комплексными векторами aG1, aG2
25
соотношениями |
aG |
= ReaG , |
aG |
= ReaG |
, |
Легко |
показать, что для |
скалярных и |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
векторных |
произведений |
|
этих |
|
|
|
векторов |
справедливы |
неравенства: |
|||||
(aG |
,aG |
)≠ Re(aG |
,aG |
), [aG |
,aG |
]≠ Re[aG |
,aG |
]. |
|
|
||||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
К комплексным функциям в нелинейном соотношении можно перейти, |
||||||||||||
используя очевидное равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
aG = |
1 |
(aG |
+ aG*). |
|
(3.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим вектор Умова-Пойнтинга S для полей, гармонически изменяющихся во времени. Представим его с помощью комплексных векторных функций, следуя алгоритму (3.8).
SG = [EG, HG]= |
1 |
[EG + EG*, HG + HG *]= |
1 |
{[EG, HG]+[EG, HG *]+[EG*, HG |
]+[EG |
*, HG |
*]} |
.(3.9) |
|
4 |
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим отдельно |
|
|
|
|
|
|
||
[EG, HG *]+[EG*, HG]= [EG, HG *]+[EG, HG *]* = 2 Re[EG, HG *]. |
|
|
(3.10) |
|||||
Эта величина не зависит от времени, тогда как |
|
|
|
|
||||
[EG, HG]= [EGm , HGm ]ei2ωt , |
[EG*, HG *]= [EGm , HGm ]e−i2ωt |
|
|
|
(3.11) |
|||
изменяются во времени с удвоенной частотой.
Средние за период значения слагаемых (3.11) в выражении (3.9) для вектора Умова-Пойнтинга равны нулю. Следовательно, среднее за период значение вектора Умова-Пойнтинга в соответствии с (3.10) принимает вид
SGsr = |
1 |
Re[EG |
, HG |
*]. |
(3.12) |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Соответственно среднее за период значение потока вектора Умова-Пойнтинга через поверхность S определяется выражением
PΣ sr |
= |
1 |
Re ∫[EG |
, HG |
*]nGdS . |
(3.14) |
|
2 |
|||||||
|
|
S |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
26
Здесь nG – орт внешней нормали к поверхности S. Для всех остальных величин, входящих в теорему Пойнтинга, можно провести аналогичное рассмотрение. В результате получаем следующие выражения.
Средняя мощность джоулевых потерь:
Psrpot = |
1 |
∫(Gj nav )EGdV = |
1 |
∫σEG EGdV = |
1 |
∫σ |
|
EG |
|
2 dV . |
(3.15) |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2V |
|
|
|
|
|
|
2 V |
|
|
|
|
2 V |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Средняя мощность, выделяемая в объеме V сторонними источниками: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
st |
|
1 |
∫ |
Gst G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
P |
|
= |
|
j |
sr |
EdV . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.15) |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
sr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средние за период значения электрической Wsre |
и магнитной Wsrm энергии. |
|
|||||||||||||||||||||||
e 1 |
∫ |
|
GG |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
1 |
∫ |
|
G G |
|
||||||||
Wsr = |
4 |
εa EE dV , |
|
|
|
|
Wsr |
= |
4 |
μa HH dV . |
(3.16) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка полученных выражений в усредненное по периоду уравнение Пойнтинга приводит к такому равенству:
|
1 |
G |
G |
1 |
G |
|
|
G |
|
∂ |
|
1 |
GG |
1 |
G G |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
– |
|
∫ jsrst |
EdV = |
|
∫(j nav ) |
EdV + |
|
|
|
∫εa EE dV + |
|
∫μa HH |
dV + |
||||
2 |
2 |
∂t |
4 |
4 |
|||||||||||||
|
V |
|
V |
|
|
|
|
|
V |
V |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sr |
|||||
|
|
|
|
|
+ |
1 |
Re ∫[EG, HG *]nGdS |
|
|
|
(3.17) |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приведенные выше выражения для средних значений мощности получены в системе СИ. Представляет интерес их запись в системе Гаусса. Переведем уравнение (3.17) в систему Гаусса, используя предложенные замены (1.31). Разделим затем все
уравнение на 4π c , чтобы оставить в чистом виде интегралы − 1 ∫Gj st EGdV и
2 V sr
1∫(Gj nav )EGdV , которые имеют одинаковый физический смысл в обеих системах
2V
единиц. В результате уравнение Пойнтинга сводится к виду
27