Φ

dΦ dx

Rp RЭ

Рис.4.4 Изменение числа α -частиц с заданной энергией E0 при прохождении через вещество

нормирование на полный начальный флюенс Φ0 , т.е. на полное число частиц,

вылетающих из единичной площадки источника, дает кривую распределения продольных пробегов

W (Rp ) = Φ0 −1 dΦ0 (Rp )dRp ,

которая, как несложно видеть из рис.4.4, весьма близка к кривой Гаусса. По максимуму дифференциальной кривой находят наиболее вероятный и близкий

к нему средний продольный пробег Rp , а по точке пересечения с осью x

касательной к интегральной кривой, проведенной через точку с абсциссой

Rp , определяют так называемый экстраполированный пробег RЭ . Разность RЭ − Rp = δ можно принять в первом приближении за меру разброса продольных пробегов частиц. Для α -частиц с энергией E0 =5МэВ величина отношения δRp ≈ 0,01, причем с ростом энергии это отношение

уменьшается. Поэтому в первом приближении можно считать, что пробег тяжелых частиц в веществе, как линейный, так и продольный, однозначно определяется их энергией и достаточно хорошо описывается гауссовскими распределениями.

Отметим, наконец, что интерес к исследованиям распределения

для ионов в значительной степени связан также с так называемым ионным внедрением. Величина W (Rp ) дает по существу профиль внедрения в случаях,

когда можно пренебречь диффузией налетающих частиц в мишени.

4.4 Тормозная способность

Замедление быстрой налетающей частицы в веществе связано с потерями энергии вследствие взаимодействия с его составными частями. В

разделе 1 было показано, что длина свободного пробега, проходимого частицей с энергией E1 между двумя последовательными столкновениями с

частицами вещества, описывается выражением

Отметим, что понятие макроскопической длины свободного пробега имеет смысл, если λ значительно больше расстояния между соседними атомами, что выполняется при достаточно высоких энергиях E1 .

Было показано также, что средняя энергия, теряемая частицей при одном столкновении i -го типа, равна

Для определения средних потерь энергии частицы в одном столкновении необходимо учесть, что на заданном отрезке пути ∆RL возможны

столкновения разного типа, причем количество столкновений определенного i -го типа равно ni ∆RLσi (E1 ) . Тогда средние потери энергии частицы при одном

столкновении можно записать в виде суммы величин T i , взятых с весом, пропорциональным количеству столкновений этого типа:

T = (∆RLΣ)−1 ∑ni ∆RLσi (E1 )σi−1 (E1 )∫Tσi (T; E1 )dT =

i

Теперь несложно определить потери энергии на отрезке пути ∆RL ,

которые получаются умножением средних потерь в одном столкновении на полное число столкновений, равное ∆RLΣ = ∆RL λ. В результате приходим к

выражению

При условии сходимости интегралов формула (4.11) имеет смысл даже в случае расходящихся полных сечений σi (E1 ), которые, как видим, в

окончательное выражение не входят.

Дифференциальные потери энергии (4.11), которые чаще называют

тормозной способностью, имеют размерность силы, которая по физическому смыслу представляет собой некоторую среднюю силу торможения. Из

проведенного рассмотрения понятно, что эта величина имеет смысл при малой доле потерь энергии − ∆E1 << E1 , а значит и при относительно небольших

потерях энергии в одном столкновении, что соответствует, вообще говоря, случаю преимущественного рассеяния вперед. Иными словами, предполагается, что налетающая частица останавливается постепенно, как это было бы при действии относительно небольшой тормозящей силы “трения”. Если вдоль траектории налетающей частицы происходят лишь рассеяния с небольшими углами отклонения, то траектория оказывается близкой к прямой линии. В этом случае выполняется приближенное равенство RL ≈ Rp ≈ x, а

тормозная способность может быть записана в виде

При рассмотрении торможения частиц вводят также величину, которая называется сечением торможения

Соотношение (4.11) позволяет получить линейный пробег RL налетающей частицы, начинающей движение с энергией E0 :

E0

RL (E0 ) = ∫(−dE1 dRL )−1 dE1 . (4.13)

0

Таким образом, тормозная способность частицы в данном веществе является ее чрезвычайно важной физической величиной, которая не только определяет энергетические потери частицы, но и позволяет оценивать ее линейный пробег.

Непосредственно из определения сечения торможения (4.12) и формулы (4.13) получаем

слабо зависит от плотности рассеивающих центров в веществе, в котором происходит торможение. Наиболее наглядно физический смысл формулы (4.14) можно продемонстрировать, если считать, что существует только один физический механизм взаимодействия частиц с атомами, распределенными в материале мишени с плотностью n2 . Тогда удобно выбрать в качестве

эквивалентной меры пробега величину RL n2 , имеющую размерность м-2, или величину RL n2m2 = RL ρ с размерностью кг/м2. Эти эквивалентные пробеги, как

видно из выражений (4.12) и (4.14), оказываются одинаковыми для веществ с разной плотностью.

4.5Флуктуации потерь энергии частицы

Втом же приближении одного механизма взаимодействия несложно оценить статистические флуктуации потерь энергии налетающей частицы в тормозящем веществе. Действительно, выражения (4.8) и (4.9) и вытекающая из них формула (4.10) представляют собой только средние значения потерь

энергии. Вместе с тем можно ввести некоторое распределение W ( ∆E1 ) для

типа. Энергии T (i) , передаваемые в каждом из столкновений, статистически независимы, поэтому мерой ширины распределения W ( ∆E1 ) является

дисперсия передачи энергии. Если учесть, что средняя потерянная энергия в соответствии с (4.10) равна ∆E1 = kT , то дисперсия, описывающая разброс

передачи энергии, описывается выражением

Из выражения (4.16) видно, что с ростом длины пути ∆RL = kλ и числа столкновений пропорционально ему увеличивается не только средняя

соответствии с (4.15), эта величина возрастает пропорционально k , поэтому средняя переданная энергия на заданном участке пути, пропорциональная k , возрастает быстрее, чем разброс по энергиям. В результате относительная ширина распределения W ( ∆E1 ) уменьшается по мере продвижения частицы.

С величиной потерь энергии ∆E1 связана остаточная (текущая) энергия налетающих частиц E1 = E0 − ∆E1 , которые начали движение с одинаковой начальной энергией E0 и прошли отрезок пути ∆RL . Именно эта величина

может быть непосредственно измерена в экспериментах. Ее распределение по энергиям налетающих частиц

Z(E1 ) =W (E0 − E1 )

описывается точно таким же разбросом энергий, как и распределение

Рис.4.5 Изменение энергетического спектра или распределения текущей

В результате относительная ширина распределения Z(E1 ) будет быстро увеличиваться с увеличением длины пути ∆RL и числа столкновений k , как

схематически показано на рис.4.5. Средняя энергия (4.17) может быть выражена непосредственно через функцию распределения

E1 = ∫ E1Z(E1 )dE1

и является функцией пройденного отрезка пути.

Упругие столкновения падающих частиц с атомами вещества не являются единственно возможным механизмом торможения частицы в конденсированных средах. Однако введенное выше общее выражение (4.11) для тормозной способности позволяет учесть любой конкретный процесс энергетических потерь частицы в виде соответствующего слагаемого. Иными словами, различные процессы всегда входят в тормозную способность аддитивно при условии, что можно пренебречь корреляцией между этими процессами. Если в каком либо из членов суммы фигурирует, например, дифференциальное сечение ионизации атомов определенного типа и их пространственная плотность в мишени, то такое слагаемое будет описывать вклад в общие потери энергии из-за ионизации именно таких атомов. Аналогичным образом, возможно и обобщение приведенных в настоящем пункте выражений для энергетических характеристик частиц и их распределений в случае наличия взаимодействий разного типа.

Отметим, что различные процессы взаимодействия частицы с веществом не обязательно равно эффективны одновременно с точки зрения потерь энергии. В различных интервалах энергии преобладают, как правило, разные механизмы. В частности, при высоких энергиях быстрые налетающие