Контрольные вопросы.

1. Что такое колебания? Приведите примеры колебательных процессов.

2. Что называется периодом и частотой колебаний? Какова связь между периодом Т и частотами n и w ?

3. Что такое гармонические колебания?

4. Запишите дифференциальные уравнения для свободных незатухающих и свободных затухающих колебаний, а также их решения.

5. Чем определяется собственная частота колебательной системы: а) при отсутствии затухания (b = 0); б) при наличии затухания (b ¹ 0).

6. Дать определение: декремента затухания, логарифмического декремента затухания, добротности и времени релаксации.

7. Что такое амплитуда и фаза колебаний?

8. Какова связь между амплитудой колебаний и энергией колеблющейся системы?

9. Запишите выражение для амплитуды затухающих колебаний. На что расходуется энергия, первоначально переданная системе?

10. Что такое вынужденные колебания? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Каково его решение?

11. Поясните суть метода векторных диаграмм.

12. С помощью метода векторных диаграмм определите амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз между внешним воздействием и установившимися вынужденными колебаниями.

13. Что такое резонанс? Как выглядят резонансные кривые при различных коэффициентах затухания?

14. За счет чего возрастает амплитуда при резонансе? Почему с увеличением затухания значения резонансной амплитуды уменьшаются?

Электромагнитные колебания

Свободные незатухающие колебания в L-C контуре

Простейшей системой, в которой возникают электромагнитные колебания, является электрическая цепь, состоящяя из конденсатора С и катушки индуктивности L (L-С контур) - рис. 8.

Рис. 8.

Если пренебречь активным сопротивлением (R = 0), то в L-C контуре возникают свободные незатухающие колебания.

Рассмотрим, как в такой системе возникает колебательный процесс.

Для наглядности удобно воспользоваться аналогией с какой-либо механической системой, например пружинным маятником. Напомним, что для возникновения свободных незатухающих колебаний необходимо, чтобы после выведения из положения равновесия (т.е. передачи энергии извне) в системе возникала возвращающая упругая или квазиупругая сила, а силы трения в ней либо малы, либо вовсе отсутствуют.

Передадим энергию в L-C контур, зарядив конденсатор:

W = CU²/2 = q²/2C. (19)

После подключения к заряженному конденсатору катушки индуктивности, он начнет разряжаться и в цепи появится ток I. Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор. На рис.8 показана фаза перезарядки конденсатора. В отсутствие активного сопротивления (R = 0), закон Ома (IR = j₁ - j₂ + ₁₂) для такой цепи можно записать как

0 = - q/C - L(dI/dt), (20)

где разность потенциалов на обкладках конденсатора U = j₁ - j₂ = - q/C,

а ЭДС – есть ЭДС самоиндукции _s = - L(dI/dt).

Учитывая, что I = dq/dt, ур-е (20), преобразуем к виду

d²q/dt² + w₀²q = 0, (21)

где w₀² = 1/ LC.

Видно, что ур.(21) аналогично ур.2а, т.е. соответствует незатухающим гармоническим колебаниям заряда:

q = q₀ cos (w₀t + a). (22)

В (22) и далее амплитудные значения будут обозначаться как q₀, U₀ и т.д.

Собственная частота контура: w₀ = 1/.

Соответствующее выражение для периода колебаний называется формулой Томсона:

T= 2p. (23)

Напряжение (разность потенциалов) на конденсаторе и ток через катушку индуктивности:

U = q/С = U₀ cos (w₀t + a), (24)

U₀ =q ₀ /C,

I = dq/dt = - w₀ q₀ sin(w₀t + a) = I₀ cos (w₀t + a + p/2), (25)

I₀ = w₀q₀.

Видно, что сила тока по фазе опережает напряжение на конденсаторе. Следовательно, в момент времени, когда заряд (напряжение) на конденсаторе достигает максимальной величины, сила тока равна нулю и наоборот.

Таким образом, в L-C контуре возникают гармонические колебания заряда конденсатора и разности потенциалов (напряжения) на его обкладках, а также силы тока, текущего через катушку индуктивности. Одновременно с этим периодически (с частотой вдвое большей, чем для колебаний q и I) изменяется энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе (q² /2C) , и энергия магнитного поля, созданного током, текущим через катушку индуктивности (LI²/2).

Известно, что превращение энергии из одной формы в другую происходит при совершении работы. В данном случае эта работа есть:

DA = q_s (26)

и совершается силами вихревого электрического поля. При разрядке конденсатора (q²/2C ® LI²/2) эта работа отрицательна (против э.д.с. самоиндукции _s), а при его зарядке (LI²/2 ® q²/2C) положительна.

В механической колебательной системе взаимное превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно происходит за счет работы упругой (квазиупругой) силы; знак работы зависит от направления процесса. Таким образом, напряженность вихревого электрического поля Е в известной степени является аналогом упругой силы в механических системах. Сопоставив колебания в L-C контуре с колебаниями пружинного маятника, можно провести и другие аналогии:

Маятник L-C контур

Потенциальная энергия

W_пот = kX²/2 W = q²/2C

Кинетическая энергия

W_кин = mv² /2 = (m/2)(dx/dt)² W = LI²/2 = (L/2) (dq/dt)²