12

Греческий алфавит

альфа alpha

бета beta

гамма gamma

дельта delta

эпсилон epsilon

дзета zeta

эта eta

(или ) тета theta

йота iota

каппа kappa

ламбда lambda

мю mu

ню nu

кси xi

омикрон omicron

пи pi

ро rho

сигма sigma

тау tau

ипсилон upsilon

(или ) фи phi

хи chi

пси psi

омега omega

Эквивалентные функции

при

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. ,

7. ,

8. .

9. .

10. где .

11. где

12. .

Сравнение функций. O(f) и o(f).

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

12. .

13. .

14. .

15..

16.

Таблица производных

1. ,

2. 

3.

4.

5.

6. 7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. где

14. где

15.

16.

Производные высших порядков

1) , ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , .

Если функции и имеют производные порядка , то функции (-постоянные) и также имеют производные порядка , причем

6) ;

7) - формула Лейбница.

Формулы Маклорена для основных элементарных функций

1.

2.

3.

4. где

5. где

6.

6.1.

7.

7.1.

8.

9.

10.

Если - четная функция, то:

если - нечетная функция, то:

Исследование функций и построение графиков

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать, не является ли функция четной или нечетной.

3. Исследовать, не является ли функция периодической.

4. Исследовать поведение функции в окрестности точек разрыва. Выписать вертикальные асимптоты.

5. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки постоянства знака.

6. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

7. Определить промежутки убывания и возрастания функции, а также точки экстремума.

8. Найти точки перегиба и установить промежутки выпуклости вверх и вниз графика функции.

9. Построить график функции.

Исследование функций и построение графиков

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать, не является ли функция четной или нечетной.

3. Исследовать, не является ли функция периодической.

4. Исследовать поведение функции в окрестности точек разрыва. Выписать вертикальные асимптоты.

5. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки постоянства знака.

6. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

7. Определить промежутки убывания и возрастания функции, а также точки экстремума.

8. Найти точки перегиба и установить промежутки выпуклости вверх и вниз графика функции.

9. Построить график функции.

Таблица неопределенных интегралов

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. 9.

10.

11.

12. где

13. где

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Всюду в указанных формулах через обозначается некоторая рациональная функция от переменных и ,т.е. , где - многочлены степеней и соответственно от переменных и .

1. Интегралы вида

, . (1)

Положим . Тогда .

В силу формулы замены переменных в неопределённом интеграле

=.

Т.о. вычисление интеграла вида (1) сводится к вычислению интеграла от рациональной функции переменной .

2. Интегралы вида

, . (2)

Выражение, стоящее под знаком интеграла, называется биномиальным дифференциалом.

П.Л. Чебышев доказал, что интегралы этого вида выражаются через элементарные функции лишь в трёх случаях:

1) .

Пусть где .

Положим где - наименьшее общее кратное чисел и . Данная замена переменной сводит вычисление интеграла (2) к вычислению интеграла от рациональной функции переменной .

2) .

Пусть где .

Положим . Данная замена переменной приводит к вычислению интеграла от рациональной функции переменной .

3) .

Пусть где . Положим . Данная замена переменной приводит к вычислению интеграла от рациональной функции переменной .

3. Интегралы вида

, . (3)

Для рационализации интегралов этого вида применяются подстановки Эйлера трех типов.

1) Если , то полагаем

или .

2) Если , то полагаем

или .

3) Если квадратный трехчлен имеет различные вещественные корни и , то полагаем

или .

Подстановки Эйлера универсальны (т.е. применимы к любому интегралу указанного вида). Однако во многих случаях они приводят к неоправданно сложным рациональным функциям. Поэтому часто используют другие методы, основанные на элементарных преобразованиях.

Еще одна полезная формула, применимая к интегралам вида

, где полином -й степени, :

.

В этой формуле многочлен - й степени с неизвестными коэффициентами, - неизвестный множитель. Для отыскания этих неизвестных величин указанное равенство дифференцируют, а результат после умножения на и приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях дает систему уравнений для отыскания коэффициентов многочлена и множителя .

4. Интегралы вида

(4)

всегда рационализируются универсальной подстановкой

. Тогда , , .

Специальные случаи:

1) Если , то полагаем .

2) Если , то полагаем .

3) Если , то полагаем или .

Иногда удобно преобразовывать подинтегральную функцию, имеющую вид произведения синусов и косинусов (или их степеней), в сумму, пользуясь формулами понижения степени или другими тригонометрическими формулами.

5. Интегралы вида

, (5)

рационализируются при помощи подстановки , где - наименьшее общее кратное знаменателей чисел .

Выражения типа , , ,, интегрируются по частям.

Интегралы, не берущиеся в конечном виде. Существует много выражений, которые имеют первообразные, однако, эти первообразные не могут быть представлены в виде “формулы”, т.е. комбинации конечного числа элементарных функций. В этом случае говорят, что интеграл не берется в конечном виде. Среди основных таких интегралов необходимо помнить следующие:

1. (“интегральный логарифм”);

2. (“интегральный синус”);

3. (“интегральный косинус”);

4. и т.д.

Не берутся в конечном виде также интегралы, приводящиеся к этим.

Ряды Тейлора для основных элементарных функций

Аналитическая в точке функцию может быть представлена степенным рядом

, .