Число –3.5: с0 0с 00 00 00 00 00 00

Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей точкой (тип double): |X|_min <=|X|<=|X|_max и X=0 1<=P’<=2046

|M|_min*2^pmin <=|X| <=|M|_max*2^pmax и X=0

1*2^-1022<=|X| <=(2-2^-52)*2¹⁰²³ и X=0

10^k<=|X| <=10^L lg2=0.30103

k= –1022*lg 2= –307.65266= -308+0.34734

L= 1024* lg 2=1024*0.30103=308.25472

2.2*10^-308<=|X| <=1.7*10³⁰⁸ и X=0

^{__[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\] _____|_____[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\]______}

^–X_max -X_{min 0} X_{min Xmax}

Точность чисел, представленных в формате с плавающей точкой: часто вместо числа Х в МС хранится его приближение Х^*. Погрешность вносится из-за хранения приближенного значения мантиссы.

Абсолютная погрешность числа Х^*: |X–X^*| =∆( Х^*) =|M_X –M_X*|*2^p_x= 2^-52*2^px т.е. абсолютная погрешность числа зависит от порядка числа.Обычно для формата с плавающей точкой определяют относительную погрешность Х^* : (Х^*)

Для пользователя более важным является практический вопрос: сколько значащих цифр десятичного представления числа гарантированно сохраняются при таком формате хранения числа. Естьприближенное правилодля определения этого количества К цифр приq=2:

mдвоичных разрядов мантиссы соответствуют К десятичным цифрам: К[m/ 3.32]; Для типаdoubleК=[53/3.32]=15.96, т.е. для значения типа

Double сохраняется в памяти 15-16 десятичных знаков. Выполнение операций над числами, представленными с плавающей точкой(говорят- в плавающей арифметике).

Пусть X=M_x2^Px,аY=M_y2^Py

a)Сложение (вычитание) чисел:

Z=XY=M_x2^PxM_y2^Py={1шаг–выравнивание порядков к большему; пустьPx>Py}

= 2^Px(M_xM_y2^Py–Px) = {2 шаг–сдвиг мантиссыM_yна |P_y–P_x| разрядов}

= 2^Pxm_z= {3шаг–сложение(вычитание) мантисс, получается мантиссаm_z}.

= M_z E^Pz

Возможны случаи:

• 1 |m_z| < 2операция закончена,M_z=m_z;P_z=P_x;

• 2 |m_z|выполняется нормализация результата сдвигом мантиссы вправо на 1 разряд с коррекцией порядка (+1);

• |m_z| <1выполняется нормализация результата сдвигом мантиссы влево наtразрядов с коррекцией порядка (–t).

з p_х 1.ххххх

– з p_y 1.xxyyy

з p_х 0.00zzzПри вычитании близких чисел происходит

з p_z 1.zz??? потеря точности

б)Умножение :

Z=XY=M_x2^PxM_y2^Py=M_xM_y2^Px+Py==M_z2^Pz, гдеM_z=M_xM_y;P_z=P_x+P_y; т.е. при умножении чисел их мантиссы перемножаются, а порядки складываются. При умножении двух мантисс может получиться результат такой, что потребуется сдвиг мантиссы вправо, но не более, чем на один разряд, тогда нужна коррекция порядка (+1).

в)Деление :

т.е. при делении чисел их мантиссы делятся, а порядки вычитаются. При делении двух мантисс может потребоваться для полученной мантиссы сдвиг влево, но не более, чем на один разряд с коррекцией порядка (–1).

Особые ситуации плавающей арифметики.

1. Переполнение порядкапри выполнении операций плавающей арифметики;

2. некорректность деленияв плавающей арифметике: деление на число с нулевой мантиссой;

3. потеря значимости:P_z0, аM_z= 0;

4. исчезновение порядка:P_z<P_min , аM_z0.

Две последние ситуации не являются аварийными, они обычно приводят к тому, что результат Zзаменяется нулём – этомашинный нуль.