Число –3.5: с0 0с 00 00 00 00 00 00

Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей точкой (тип double): |X|_min <=|X|<=|X|_max и X=0 1<=P’<=2046

|M|_min*2^pmin <=|X| <=|M|_max*2^pmax и X=0

1*2^-1022<=|X| <=(2-2^-52)*2¹⁰²³ и X=0

10^k<=|X| <=10^L lg2=0.30103

k= –1022*lg 2= –307.65266= -308+0.34734

L= 1024* lg 2=1024*0.30103=308.25472

2.2*10^-308<=|X| <=1.7*10³⁰⁸ и X=0

^{__[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\] _____|_____[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\]______}

^–X_max -X_{min 0} X_{min Xmax}

Точность чисел, представленных в формате с плавающей точкой: часто вместо числа Х в МС хранится его приближение Х^*. Погрешность вносится из-за хранения приближенного значения мантиссы.

Абсолютная погрешность числа Х^*: |X – X^*| = ∆( Х^*) =|M_X –M_X*|*2^p_x= 2^-52*2^px т.е. абсолютная погрешность числа зависит от порядка числа.Обычно для формата с плавающей точкой определяют относительную погрешность Х^* : (Х^*)

Для пользователя более важным является практический вопрос: сколько значащих цифр десятичного представления числа гарантированно сохраняются при таком формате хранения числа. Есть приближенное правило для определения этого количества К цифр при q=2:

m двоичных разрядов мантиссы соответствуют К десятичным цифрам: К[m / 3.32]; Для типа double К=[53/3.32]=15.96, т.е. для значения типа

Double сохраняется в памяти 15-16 десятичных знаков. Выполнение операций над числами, представленными с плавающей точкой (говорят- в плавающей арифметике).

Пусть X = M_x2^Px ,а Y = M_y2^Py

a)Сложение (вычитание) чисел:

Z = X  Y = M_x2^Px  M_y2^Py ={1шаг–выравнивание порядков к большему; пусть Px >Py}

= 2^Px(M_x  M_y2^Py–Px) = {2 шаг–сдвиг мантиссы M_y на |P_y–P_x| разрядов}

= 2^Pxm_z = {3шаг–сложение(вычитание) мантисс, получается мантисса m_z}.

= M_z E^Pz

Возможны случаи:

• 1  |m_z| < 2 операция закончена, M_z = m_z ; P_z = P_x ;

• 2  |m_z|  выполняется нормализация результата сдвигом мантиссы вправо на 1 разряд с коррекцией порядка (+1);

• |m_z| <1  выполняется нормализация результата сдвигом мантиссы влево на t разрядов с коррекцией порядка (–t).

з p_х 1.ххххх

– з p_y 1.xxyyy

з p_х 0.00zzz При вычитании близких чисел происходит

з p_z 1.zz??? потеря точности

б)Умножение :

Z = X  Y = M_x2^Px  M_y2^Py = M_xM_y2^Px+Py == M_z 2^Pz , где M_z = M_xM_y ; P_z = P_x+P_y; т.е. при умножении чисел их мантиссы перемножаются, а порядки складываются. При умножении двух мантисс может получиться результат такой, что потребуется сдвиг мантиссы вправо, но не более, чем на один разряд, тогда нужна коррекция порядка (+1).

в)Деление :

т.е. при делении чисел их мантиссы делятся, а порядки вычитаются. При делении двух мантисс может потребоваться для полученной мантиссы сдвиг влево, но не более, чем на один разряд с коррекцией порядка (–1).

Особые ситуации плавающей арифметики.

1. Переполнение порядка при выполнении операций плавающей арифметики;

2. некорректность деления в плавающей арифметике: деление на число с нулевой мантиссой;

3. потеря значимости: P_z 0, а M_z = 0;

4. исчезновение порядка: P_z < P_min , а M_z  0.

Две последние ситуации не являются аварийными, они обычно приводят к тому, что результат Z заменяется нулём – это машинный нуль.