2. Маршруты и связность в ориентированных графах

Маршрутом длины k из v в w в орграфе G = (V, E) называется последовательность ребер вида: (v, w₁), (w₁, w₂), (w₂, w₃), …, (w_k-2, w_k-1), (w_k-1, w), то есть вторая вершина каждого ребра совпадает с первой вершиной следующего ребра.

Удобно представлять маршрут в орграфе последовательностью вершин: v, w₁, w₂, w₃, …, w_k-2, w_k-1, w.

Если v = w, то маршрут называют замкнутым маршрутом, или циклом. Орграф без циклов называется ациклическим.

Пусть D – множество всех орграфов, а P – множество всех графов вообще. Можно определить отображение F: D P следующим образом:

Пусть G = (V, E) D. Тогда множество вершин F(G) совпадает с V, а множество ребер F(G) определяется применением следующих операций на Е:

• удаляются все петли из Е;

• (v, w) заменяются на [v, w] для всех (v, w) E.

Тогда F(G) является графом, связанным с орграфом G.

Для орграфов понятие связности является более содержательным, чем для графов, и имеет отношение к проблеме обхода. Определим три важных типа связности орграфа:

• G слабо связный, если граф F(G) - связный;

• G односторонне связный, если для каждой пары различных вершин v, w, принадлежащей множеству E, существует маршрут из v в w или обратно;

• G односторонне связный, если для каждой пары различных вершин v, w, принадлежащей множеству E, существует маршрут из v в w и обратно.

Очевидно, что если G – сильно связный орграф, то G - односторонне связный. Если G - односторонне связный орграф, то G слабо связный (рис. 4).

а) б) в)

Рис. 4. Типы связности орграфа: а – слабо связный, б – односторонне связный, в – сильно связный

Если {V_i: 1 i p} – разбиение V и {E_i: 1 i p, а E_i = (V_i V_i) E} являются соответствующими множествами ребер, то подграфы G_i = (V_i, E_i), 1 i p называются сильно связными компонентами G.

Пусть G = (V, E) – ациклический орграф. Вершину v V называют листом, если ⁺ (v) = 0, то есть отсутствуют исходящие из нее дуги.

Если (v, w) E, то w является непосредственным потомком v, а v является непосредственным предком w. Если существует маршрут из вершины v в вершину w, то v является предком w, а w – потомком v (рис.5).

Эти понятия не имеют смысла для ориентированных графов, имеющих циклы, так как для таких графов вершины могут исходить сами из себя.

Рис. 5. Предки и потомки в ациклическом орграфе:

вершины v₂ , v₄ ,v₅ являются листьями, так как из них ребра не выходят; вершина v₁ – является предком v₅, v₅ – прямой потомок v₃.

Существует тесная связь между ациклическими орграфами и частично упорядоченными отношениями:

• Пусть отношение < является частичным отношением порядка на конечном множестве V. Тогда, если E = {(v, w): v < w}, то пара G = (V, E) является ациклическим ориентированным графом.

• Пусть G = (V, E) – ациклический орграф и отношение < определяется следующим образом: v < w, если v является предком w. Тогда отношение < является частичным отношением порядка на V.

Ориентированное дерево T = (V, E) – это ациклических орграф, в котором одна вершина v_r V не имеет предков, а каждая другая вершина имеет только одного непосредственного предка. Вершина v_r называется корнем дерева. Бинарное дерево – это ориентированное дерево, в котором каждая вершина имеет не более двух непосредственных потомков, то есть ⁺ (v) 2, v V. Говорят, что бинарное дерево называется полным, если каждая вершина, не являющаяся листом, имеет ровно двух непосредственных потомков.