2. Маршруты, циклы и связность

Значительная часть теории графов и ее приложений занимается вопросами существования и изучения свойств маршрутов в графах.

Пусть G = (V, E) – граф. Маршрутом длины k в графе G из вершины v в вершину w называется последовательность <v₀, v₁, v₂, …, v_k> вершин (необязательно различных) v_i V, таких, что v₀ = v, v_k = w, а [v_i-1, v_i] E для i = 1, …, k.

Маршрут называется замкнутым, если v₀ = v_k.

Маршрут называется цепью, если все его вершины различны. Замкнутая цепь называется циклом. Цикл называется простым, если только v₀ = v_k, а остальные вершины v_i различны.

Если существует маршрут из v в w, v, w V, то говорят, что w достижима из v.

Граф без циклов называется ациклическим.

Граф G = (V, E) называется связным, если каждая пара различных вершин может быть соединена маршрутом.

Деревом называется связный ациклический граф. Корневым деревом называется дерево с выделенной вершиной, называемой корнем.

Остовным деревом для G = (V, E) называется остовный подграф, являющийся деревом.

Пусть {V_i : 1 i p} – разбиение графа G = (V, E), определяемое отношением R^*. (R^* - отношение рефлексивного замыкания). Тогда p – число связности графа G = (V, E). Подграфы (V_i, E_i), порожденные классами эквивалентности, называют компонентами связности графа G.

Лесом называется граф, в котором каждая связная компонента является деревом. Остовный лес для графа G = (V, E) – это совокупность вершин разъединенных деревьев T_i = (V_i, E_i):

2. Ориентированные графы

   1. Основные определения

Во многих приложениях теории графов требуется, чтобы ребра графа имели направление. Например: поток данных, проходящий через программу.

Ориентированный граф G (или просто орграф) есть пара G = (V, E), где V – конечное множество вершин, а E – произвольное подмножество.

Ориентированный граф G = (V, E) определяет отношение на V. Этот факт можно доказать следующим образом. Пусть R – отношение, такое, что vRw тогда и только тогда, когда (v, w) E. Очевидно, что R является отношением.

Обратное утверждение также верно: пусть V – конечное множество вершин. Тогда отношение на V определяет ориентированный граф, у которого множество вершин V. Этот факт можно доказать так. Если R – отношение на V, то орграф G = (V, E), определяемый отношением R, имеет множество ребер E, где (v, w) E тогда и только тогда, когда vRw.

Направление ребра обозначают порядком в V V. Например, если (v, w) E, то ребро выходит из v и входит в w.

Приведем пример построения ориентированного графа (рис. 3).

Пусть V = {v₁, v₂, v₃}, E₁ = {(v₁, v₂), (v₂, v₃), (v₃, v₁)}. Тогда получим граф G₁ = (V, E₁) (рис. 3, а).

Пусть V = {v₁, v₂, v₃}, E₂ = {(v₁, v₁), (v₁, v₂), (v₁, v₃), (v₂, v₃), (v₃, v₁)}. Тогда получим граф G₂ = (V, E₂) (рис. 3, б).

а) б)

Рис. 3. Примеры ориентированных графов:

а – граф G₁ = (V, E₁); б – граф G₂ = (V, E₂);

Для орграфа реберное отношение необязательно симметрично или рефлексивно. Поэтому допустимы ребра типа (v, v), называемые петлями. Степень вершины v V обозначается (v) = ⁺ (v) + ^- (v), где ^- (v) – число ребер, входящих в v, ⁺ (v) – число ребер, выходящих из v.

Множества {w: (w, v) E} и {w: (v, w) E} называют соответственно входящим узлом и выходящим узлом.