Введение

Теория графов дает простой, доступный и мощный инструмент построения моделей и решения задач. Существует много проблем, где требуется построить некоторые сложные системы с помощью определенного упорядочения их элементов. Сюда относятся календарное планирование, задачи теории сетевого планирования и управления, тактические и логические задачи, проблемы построения систем связи и исследования процессов передачи информации, выбор оптимальных маршрутов и потоков в сетях, методы построения электрических сетей, задачи идентификации и пр. Таким же большим является круг экономических задач, проблем выбора структуры социальных групп, игровых задач, головоломок и т.д. Таким образом, область применения теории графов очень широка.

Теория графов имеет в своей основе простейшие идеи и элементы: точки, соединенные линиями. Используя их, теория графов строит богатое многообразие форм, наделяет эти формы интересными свойствами и в результате становится полезным инструментом при исследовании разнообразных систем.

Вместо понятия графа часто используется понятие «сеть». Это особенно относится к случаям, когда кроме основных, чисто структурных соотношений в графе задаются некоторые количественные характеристики точек и линий, образующих граф. В качестве примеров можно назвать электрические сети, сети выполнения работ в проектах, сети потоков. При этом ребрам сети ставятся в соответствие определенные количественные характеристики энергии, затрат и потока.

При конструировании и отладке программ возникают задачи, либо сводящиеся к задачам теории графов, либо использующие таковые в качестве основы для решения. К ним в первую очередь относятся задачи анализа потока управления в программе, задачи тестирования и проверки правильности программы, оценки сложности и времени исполнения.

1. Неориентированные графы

   1. Основные определения

Пусть V – конечное множество некоторых элементов, и I_V – его тождественное отношение, такое, что:

Обозначим

Определим отношение эквивалентности следующим образом:

(v₁,v₂) ~ (w₁,w₂), если (v₁,v₂) = (w₁,w₂) или (v₁,v₂) = (w₂,w₁). Множество эквивалентных классов, определенное таким образом, обозначим

Каждый класс эквивалентности содержит два элемента, так как если

, то [(v₁,v₂)] = {(v₁,v₂), (v₂,v₁)}.

Графом называется упорядоченная пара G = (V, E), где V – непустое конечное множество вершин, а , то есть E - это множество неупорядоченных пар различных вершин.

Множество E - это множество ребер графа. Обычно в графе всегда можно определить количество вершин |V| и ребер |E|.

Граф G определяет нерефлексивное, симметричное отношение на множестве V. Обратное утверждение тоже верно: нерефлексивное, симметричное отношение на множестве V определяет граф.

Изображение графа G = (V, E) получается путем расположения различных точек на R² для каждой вершины v V . Причем, если [v, w] E, проводим линию, соединяющую вершины v и w.

Графы в значительной мере выражают отношения между вершинами, а не их расположение в пространстве. То есть один и тот же граф может быть изображен разными способами (рис. 1).

v1 v2 v3 v2

v1

v3

Рис. 1. Примеры изображения графа

Приведем пример построения графа (рис. 2).

Пусть V={1, 2, 3, 4, 5}.

Тогда I_V = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}.

V² = V V = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}

= {[(v₁, v₂)], [(v₁, v₃)], [(v₁, v₄)], [(v₁, v₅)],

[(v₂, v₁)], [(v₂, v₃)], [(v₂, v₄)], [(v₂, v₅)],

[(v₃, v₁)], [(v₃, v₂)], [(v₃, v₄)], [(v₃, v₅)],

[(v₄, v₁)], [(v₄, v₂)], [(v₄, v₃)], [(v₄, v₅)],

[(v₅, v₁)], [(v₅, v₂)], [(v₅, v₃)], [(v₅, v₄)]}.

По определению . Следовательно, может быть, что. В результате получили графG = (V, E), причем такой, что |V| = 5, |E| = 20.

Рис. 2 . Полный граф

Граф H = (V₁, E₁) является подграфом графа G = (V, E), если V₁ V и E₁ E.

Если V₁ = V, то граф H является остовным подграфом графа G. Если V₁ – непустое подмножество вершин графа (V, E), то подграф (V₁, E₁), порожденный V₁, определяется как

[v, w] E₁ v, w V₁ и [v, w] E.

Граф G = (V, E) называется полным, если для всех v₁, v₂ V имеем [v₁, v₂] E. Полный граф с n вершинами обозначается K_n.

Граф G = (V, E) называется двудольным, если существует разбиение множества его вершин V = {V₁, V₂} такое, что никакие две вершины из V₁ или из V₂ не являются смежными. Двудольный граф называется полным, если для любой пары v₁ V, v₂ V имеем [v₁, v₂] E. Если |V₁| = m и |V₂| = n, то полный двудольный граф G = (V, E) обозначается K_m,_n.