4сем / Лекции _4_сем pdf / 15_16 _Дисп_анализ
.pdfОсновы дисперсионного анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
161 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
|
|
Оценка |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Сумма квадратов |
степеней |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
вариации |
|
дисперсии |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободы |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Систематическая |
Q3 = n∑( |
|
|
|
j |
− |
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
Q3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
X |
X |
p −1 |
|
s32 |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(межгрупповая) |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p −1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 = p∑( |
|
|
i |
− |
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Между блоками |
B |
X |
n −1 |
|
s22 |
= |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Остаточная |
Q =Q −(Q +Q ) |
(n −1)(p −1) |
s12 = |
|
|
|
Q1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
(n −1)(p −1) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q0 = ∑∑(xij − |
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Итого: |
X |
N −1 |
|
|
|
–– |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Для проверки значимости влияния фактора используем критерий Фишера |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
s2 |
|
|
p −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
= |
|
3 |
; |
|
|
|
, в качестве нулевой гипотезы предполагая, что рас- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
s2 |
(p −1)(n −1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сматриваемый |
фактор не |
влияет |
на значения |
признака. Как |
обычно, при |
|||||||||||||||||||||||||||||
F |
≤ F |
нулевая гипотеза не отклоняется, при F |
> F – отклоняется, т.е. влия- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние фактора считается статистически значимым.
Как видно из таблицы дисперсионного анализа, введение блоков уменьшает долю остаточной вариации, так как часть этой вариации теперь объясняется различием в блоках.
Пример:
Рассмотрим классическую ситуацию, для которой применяется метод случайных блоков. Проверяется урожайность четырех сортов пшеницы.
Для эксперимента выделено пять участков земли, на каждом из которых высеяны все четыре сорта пшеницы (делянки по 1 га).
Результаты эксперимента приведены в таблице.
|
Урожайность (ц/га) по блокам |
Сумма |
Среднее |
||||||
Уровень |
|
|
|
|
|
по |
|
по |
|
|
|
|
|
|
|
||||
фактора |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
блокам |
факторам |
||
|
Tj |
|
X j |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
28,7 |
26,7 |
21,6 |
25,0 |
28,2 |
130,2 |
26,04 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
24,5 |
28,5 |
27,7 |
28,7 |
32,5 |
141,8 |
28,38 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
23,2 |
24,7 |
20,0 |
24,0 |
24,0 |
115,9 |
23,18 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
29,0 |
28,7 |
22,5 |
28,0 |
27,0 |
135,2 |
27,04 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Суммы по |
105,4 |
108,6 |
91,8 |
105,7 |
111,7 |
523,2 |
26,16 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
162 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции 15–16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сортам ( Bi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Среднее по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
блокам |
26,35 |
|
27,15 |
22,95 |
26,42 |
27,92 |
|
–– |
–– |
|
|||
|
( |
B |
i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По данным таблицы находим G = 523,2 , |
G2 |
=13692,14 , |
|
|
|
|||||||||
N |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xij2 =13867,38 , |
∑Bi2 = 54979,74 , |
∑Tj2 = 67771,1, |
|
|
|||||||||
|
ij |
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
соответствующие суммы квадратов отклонений приведены в таблице.
Источник |
Сумма квадратов |
Число степеней |
Оценка |
|||
вариации |
|
|
свободы |
дисперсии |
||
Между сортами |
Q3 = 62,08 |
|
|
3 |
s32 = 20,69 |
|
Между блоками |
Q2 = 52,80 |
|
|
4 |
s22 |
=13,20 |
Остаточная |
Q1 = 60,36 |
|
12 |
s12 |
= 5,03 |
|
Итого |
Q0 =175,24 |
|
19 |
|
–– |
|
Экспериментальное значение критерия F = |
20,69 |
= 4,11 . Для уровня значи- |
||||
|
|
|
5,03 |
|
|
|
мости α = 0,05 и числах степеней свободы 3 и 12 |
табличное значение крите- |
рия Fα =3,49 . Так как F > Fα , нулевая гипотеза об отсутствии влияния сорта
на урожайность с вероятностью 0,95 отклоняется, т.е. различные сорта имеют различную урожайность.
Заметим, что если бы данный эксперимент проводился по схеме случайного плана, то изменения урожайности, определяемые различием в плодородии отдельных блоков, относились бы к случайным. В этом случае Q1 =175,24 −62,08 =113,16 и остаточная дисперсия (уже при 16 степенях сво-
боды) составит 113,16 :16 = 7,07 .
Экспериментальное значение критерия в этом случае F = 207,,0769 = 2,93 и ну-
левая гипотеза не отклонялась бы, т.е. при более высоком уровне шума влияние сорта на урожайность не заметно.
16.2.Двухфакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента
Рассмотрим простейший план, позволяющий проверить не только влияние ряда факторов порознь, но и их взаимодействие. Пусть необходимо выявить влияние на некий признак X двух факторов A и B и их взаимодействий
Основы дисперсионного анализа |
163 |
(обозначим A×B ). Модель эксперимента имеет вид:
xijk = X +αi + βj +γij +εijk .
Опыт проводится при фиксированных значениях факторов A и B , причем у фактора A различаются p уровней, у фактора B – q уровней, что дает pq различных сочетаний значений факторов. Для каждого сочетания опыт повторяется n раз, общее число наблюдений N = npq .
Результаты наблюдений представим в виде таблицы, где xijk – результат, полученный в эксперименте с порядковым номером k ( k =1, ..., n ), проведен-
ном при i -м уровне |
фактора |
A |
(i =1, ..., p ) и |
j -м |
уровне фактора B |
||||||||||||
( j =1, ..., q ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Уровень |
|
|
Уровень фактора |
A |
|
Сумма |
|
|||||||||
|
фактора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
A2 |
|
|
… |
|
|
Ap |
|
||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
x |
,x |
, |
|
x |
211 |
,x |
212 |
, |
|
|
xp11 ,xp12 , |
∑xi1k |
|
|
|
|
111 |
112 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
..., x11n |
|
|
|
..., x21n |
|
|
..., xp1n |
ik |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
x |
,x |
, |
|
x |
221 |
,x |
222 |
, |
|
|
xp21 ,xp22 , |
∑xi2k |
|
|
|
|
121 |
122 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
..., x12n |
|
|
..., x22n |
|
|
..., |
xp2n |
ik |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
… |
|
… |
|
|
|
… |
|
|
… |
|
… |
… |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
B |
|
x1q1 ,x1q2 , |
|
x2q1 ,x2q2 |
, |
… |
|
xpq1 ,xpq2 , |
∑xiqk |
|
||||||
|
q |
|
..., x1qn |
|
|
..., x2qn |
|
|
..., xpqn |
ik |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Сумма |
|
∑x1 jk |
|
|
∑x2 jk |
|
… |
|
∑xpjk |
∑xijk |
|
|||||
|
|
|
jk |
|
|
|
|
jk |
|
|
|
|
|
jk |
|
ijk |
|
По данным |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
таблицы вычислим следующие величины. |
|
|
|||||||||||||||
Суммы: |
Q = ∑xijk ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
общая сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ijk |
|
|
|
Q(B)j = ∑xijk |
|
|
|
|
|||||
суммы по строкам таблицы |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
||
(вычислены для каждого значения фактора B , изменяются вдоль столбца); |
|||||||||||||||||
суммы по столбцам таблицы Q(A)i = ∑xijk |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jk |
|
|
|
|
||
(вычислены для каждого значения фактора A, изменяются вдоль строки); |
|||||||||||||||||
суммы по клеткам таблицы |
|
Qij = ∑xijk |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
(вычислены для каждого сочетания факторовA и B ) . Средние:
164 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции 15–16 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xijk |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
общее среднее |
X |
= |
|
|
|
ijk |
|
= |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
pqn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pqn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xijk |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
средние по строкам таблицы |
X (B)j = |
|
|
ik |
|
= |
|
|
(B)j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
pn |
|
pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(для каждого значения фактора B ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xijk |
Q |
||||||||||||||||||||||
средние по столбцам таблицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
X (A)i = |
|
jk |
|
|
|
|
|
= |
(A)i |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qn |
|
|
|
qn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(для каждого значения фактора A ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
средние по клеткам таблицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij = |
∑xijk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(для каждого сочетания факторов) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отклонение результата отдельного измерения xijk |
от общего среднего |
|
|
|
|
мож- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
но представить в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
xijk − |
|
= (xijk |
− |
|
|
|
ij )+( |
|
|
|
ij − |
|
|
)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
X |
X |
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (xijk |
− |
|
|
ij )+( |
|
|
ij − |
|
(A)i − |
|
|
(B)j + |
|
|
)+( |
|
|
(A)i − |
|
|
)+( |
|
(B)j − |
|
|
)= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= ( |
|
(A)i − |
|
)+( |
|
(B)j |
− |
|
)+( |
|
ij − |
|
(A)i − |
|
(B)j + |
|
)+(xijk − |
|
ij ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
Первое слагаемое зависит только от фактора A , второе – только от фактора B , третье слагаемое описывает эффекты взаимодействия факторов A и B , а последнее – влияние неучтенных случайных факторов.
Разложим сумму квадратов отклонений значений признака X от общего среднего на составляющие. С учетом того, что суммы перекрестных произведений равны нулю, получаем
∑(xijk − X )2 = ∑(X (A)i − X )2 +∑(X (B)j − X )2 +
ijk |
|
|
|
|
ijk |
|
|
|
|
ijk |
||
|
+∑( |
|
ij − |
|
(A)i |
− |
|
(B)j + |
|
)2 + ∑(xijk − |
|
ij )2 . |
|
X |
X |
X |
X |
X |
|||||||
|
ijk |
|
|
|
|
ijk |
Найдем число степеней свободы, соответствующее каждому источнику вариации. Общее число степеней свободы равно N −1 ( N – общее число наблюдений, N = npq ). Число степеней свободы между столбцами равно p −1, между
строками – q −1, для взаимодействия – (p −1)(q −1), внутри ячеек – (n −1)pq = N − pq . Проверка:
(N − pq)+(p −1)+(q −1)+((p −1)(q −1))=
Основы дисперсионного анализа |
165 |
= N − pq + p −1+q −1+ pq − p −q +1 = N −1.
Результаты оформим в виде таблицы:
Характер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
|
|
Оценка |
|||||||
Сумма квадратов |
|
степеней |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
вариации |
|
|
дисперсии |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободы |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фактор |
Q4 = nq∑p ( |
|
|
|
(A)i − |
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
p −1 |
|
s42 |
= |
Q4 |
|
|
|
|||||||||||||
X |
|
X |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q3 |
|
|
|
|
|||||
Фактор |
Q3 = np∑( |
|
|
(B)j − |
|
|
)2 |
|
|
|
q −1 |
|
s32 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||
X |
X |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
q −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
B |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Взаимо- |
pq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
Q2 |
|||||||||||
|
Q2 = n∑( |
|
ij − |
|
(A)i − |
|
|
|
(B)j + |
|
) |
|
(p −1)(q −1) |
s2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
действие |
X |
X |
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(p −1)(q −1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
A×B |
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаточ- |
|
|
pqn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Q1 |
|||||||||||
|
Q1 = ∑(xijk |
− X ij ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ная |
|
|
|
|
|
|
N − pq |
|
s1 |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N − pq |
|||||||||||||||||||||||||||
вариация |
|
|
ijk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q0 = ∑(xijk − |
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Итого |
X |
|
N −1 |
|
|
|
|
–– |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ijk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем влияние каждого фактора в отдельности и влияние их взаимо-
действия, для чего вычислим три соответствующие значения критерия: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
* |
|
s2 |
|
p −1 |
|
* |
|
|
s2 |
q −1 |
* |
|
|
|
s2 |
|
(p −1)(q −1) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
FA |
= |
4 |
; |
|
|
|
|
|
, FB |
= |
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
, FAB |
= |
|
2 |
; |
|
|
N − pq |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
s12 |
N − pq |
|
|
|
|
|
s12 |
N |
− pq |
|
|
|
|
|
s12 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Проверяются основные гипотезы о несущественности влияния фактора A , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
фактора |
B |
и |
|
их |
взаимодействия |
|
A×B : |
|
(A)1 = |
|
(A)2 = ... = |
|
(A)p = |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||
X |
X |
X |
X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(B)1 = |
|
(B)2 = ... = |
|
(B)q = |
|
, |
|
ij = |
|
(A)i + |
|
(B)j − |
|
. По заданному уровню зна- |
||||||||||||||||||||||||
|
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
чимости α и известным числам степеней свободы находятся табличные (критические) значения критерия FA(α) , FB(α), FAB(α) и сравниваются с эксперимен-
тальными FA* , FB* , FAB* . Если F ≤ Fα , нет оснований отвергнуть соответствующую основную гипотезу (влиянии фактора несущественно); если F > Fα , ос-
новная гипотеза отвергается (влияние фактора считается статистически значимым).
Для вычисления сумм квадратов удобно воспользоваться формулами:
Q4 |
p |
(Q(A)i )2 |
− |
Q2 |
, |
|
|
|
|
|||
= ∑ |
nq |
|
N |
|
|
|
|
|||||
Q2 |
i |
|
|
|
−∑Q(B)j + Q |
|
, |
|||||
= ∑Qij − |
∑Q(A)i |
2 |
||||||||||
|
pq |
2 |
|
p |
|
|
2 |
q |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|||
|
ij |
nq |
|
i |
|
nq |
j |
np |
|
q |
(Q(B)j )2 |
− |
Q2 |
|||
Q3 = ∑ |
np |
N |
, |
|||
j |
|
|
|
|||
pq |
n |
|
|
2 |
|
|
Q1 = ∑ ∑xijk2 − |
Qij |
|
. |
|||
|
||||||
ij |
k |
|
|
n |
|
166 |
Лекции 15–16 |
Пример:
Пусть экспериментально проверяется влияние на сроки работы детали двух факторов: технология изготовления (три метода, фактор A ) и материал (два вида, фактор B ). Данные (число месяцев работы детали) собраны в таблице.
|
Материал |
|
Технология (фактор A ) |
|
Сред- |
||
|
(фактор |
|
Сумма по |
||||
|
|
нее |
|||||
|
B ) |
|
|
|
|
строке |
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
10; 8; 7; |
8; 12; 14; 12 |
15; 8; 10; 10 |
124 |
10,33 |
|
|
10 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
12; 8; 8; 7 |
12; 13; 11; |
13; 15; 12; |
135 |
11,25 |
|
|
14 |
10 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
Сумма по |
70 |
|
96 |
93 |
259 |
–– |
|
столбцу |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
8,75 |
|
12,00 |
11,63 |
–– |
–– |
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты вычислений сумм квадратов и дисперсий дают:
Источник |
|
Сумма квадратов |
|
|
Число степеней |
|
Оценка |
|
|||||||||||||||||||||
вариации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободы |
|
|
дисперсии |
|
|||||||||||
Фактор A |
|
|
|
|
50,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
s42 = 25,3 |
|
||||||||||
Фактор B |
|
|
|
|
|
5,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
s32 |
= 5,0 |
|
||||||||
Взаимодействие |
|
|
|
2,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
s22 |
=1,4 |
|
||||||||||
A×B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Остаточная |
|
|
|
|
85,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
s12 |
= 4,8 |
|
|||||||||
вариация |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Итого: |
|
|
|
|
|
143,8 |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
–– |
|
|
|||||||||
Экспериментальные значения критерия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
* |
|
25,3 |
|
2 |
|
* |
|
5,0 |
|
|
|
1 |
|
* |
|
1,4 |
|
|
2 |
|
|||||||||
FA |
= |
4,8 |
= 5,3; |
|
, |
FB = |
4,8 |
=1,1; |
|
|
|
, |
FAB = |
4,8 |
= 0,28; |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
18 |
|
||||||||||
При α = 0,05 критические значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
FA(α) |
|
2 |
|
|
= 3,555 ; FB(α) |
1 |
|
= 4,414 |
, |
FAB(α) |
|
2 |
= 3,555 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
18 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сравнивая, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F* |
= 5,3 > F |
= 3,555 , F* =1,1 < F |
|
= 4,414 , F* |
= 0,28 < F |
|
|
= 3,555 . |
|||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
A(α) |
|
|
|
|
B |
|
B(α) |
|
|
|
|
|
AB |
|
AB(α) |
|
|
Так как в качестве нулевых гипотез выдвигались предположения об отсутствии влияния факторов, то гипотезу об отсутствии влияния фактора А следует откло-
нить, фактор А оказывает значимое влияние, для отклонения гипотез об от-
сутствии влияния фактора В и взаимодействия факторов оснований нет, их влияние незначимо.
Вывод: срок службы детали зависит от метода изготовления и не зависит от вида материала (в рамках исследованных методов и материалов!).