4сем / Лекции _4_сем pdf / ТВ_и_МС
.pdfСлучайные величины |
43 |
Найдем математическое ожидание с.в., распределенной по закону Пуассона.
∞ |
λ |
k |
∞ |
λ |
k |
|
|
∞ |
λ |
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M (X ) = ∑k |
|
e−λ = e−λ ∑ |
|
|
|
|
= e−λλ∑ |
|
|
= |
|
|
|
k −1 = m |
|
|
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
k =0 |
k! |
k =1 (k −1)! |
k =1 |
(k −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∞ |
λ |
m |
= λe−λeλ = λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= λe−λ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
m=0 |
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, параметр распределения Пуассона λ – среднее количество событий за определенный промежуток времени (средняя интенсивность потока). Найдем дисперсию:
D (X ) = M (X 2 )−(M (X ))2 = ∑k2 λ |
|
e−λ −λ2 = e−λ ∑(k −1 +1)λ |
−λ2 |
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
k |
|
|
|
∞ |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
k! |
|
|
|
k =1 |
(k −1)! |
|
|
|
||
|
|
∞ (k −1)λk |
∞ |
λk |
|
|
|
|
|
|
∞ |
λk |
∞ |
λk |
|
|
|
||||||||
= e−λ |
|
∑k =1 (k −1)! + ∑k =1 |
|
|
−λ2 |
= e− |
λ |
∑k =2 |
|
+ ∑k =1 |
|
−λ2 |
= |
|
|||||||||||
(k −1)! |
(k − 2)! |
(k −1)! |
|
||||||||||||||||||||||
= |
|
k −1 = m |
|
|
|
= e−λ |
|
∞ |
λn |
|
|
∞ |
λm |
−λ2 = e−λ (λ2 + λ)eλ −λ2 = λ , |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
k − 2 = n |
|
|
|
λ2 |
∑ |
n! |
+ λ∑ |
m! |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дисперсия также равна параметру распределения. Этим свойством пользуются при проверке гипотезы, что неизвестная с.в. распределена по закону Пуассона: если оценки математического ожидания и дисперсии, полученные на основании опытных данных, близки между собой, то есть основания считать, что исследуемая с.в. распределена по закону Пуассона.
Значения вероятностей обычно находятся по таблицам.
Пример:
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того, что после 200 выстрелов цель будет поражена?
Решение:
Воспользуемся формулой Пуассона. Событие А = {цель поражена} является сложным (цель поражена одним выстрелом, цель поражена двумя выстрела-
ми, и т.д.). Рассмотрим противоположное событие A = {цель не поражена}, его вероятность легко находится: параметр λ = np = 2 ,
P (A)= P200 (0)≈ 200! e−2 ≈ 0,135 . P (A)=1− P (A)≈ 0,865 .
4.1.3. Равномерное распределение
Случайная величина Х имеет равномерное распределение на участке от а до b, если ее плотность ƒ(х) на этом участке постоянна
|
0, |
при x < a, и x > b, |
||
f (x) = |
|
1 |
|
|
|
|
, при a < x < b. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b - a |
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции 3-5 |
|
Вероятность попадания случайной величины Х на любую часть участка, |
||||||||||||||||||||||
например, участка (α,β) |
P{α < X < β } = |
β −α |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим функцию распределения F(x): F( x ) = P{ X < x } = ∫x |
f ( x )dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
x<a, |
ƒ(x)=0, F(x)=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a<x<b, |
f ( x ) = |
|
|
1 |
|
, F( x ) = ∫x |
1 |
|
dx = ∫a |
0 dx + ∫x |
|
1 |
|
dx = |
x − a |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
b |
− a |
|
−∞ b − a |
|
|
−∞ |
|
a b − a |
|
|
|
b − a |
|||||||
x>b, |
F(x) = ∫a |
f (x)dx + ∫b |
f (x)dx + ∫x |
f (x)dx = ∫b |
dx |
= b − a |
=1. |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
a b − a |
|
b − a |
|
|
|
График функции распределения:
0, при x < a,
F(x) = x - a , при a < x < b,b - a
1, при x>b.
Вычислим математическое ожидание случайной величины Х:
|
|
mx = |
|
∞ |
xf ( x )dx = |
b xdx |
|
|
= |
|
|
x2 |
|
|
|
b |
= |
b2 − a2 |
|
= |
b + a |
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∫ |
∫b |
− a |
2( b − a ) |
|
2( b − a ) |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
дисперсию |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b + a |
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
b + a |
2 |
dx |
|
|
|
|
x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
(b − a) |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Dx = ∫(x − mx ) f (x)dx = = ∫ x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
b − a |
|
3(b − a) |
|
|
|
|
|
|
12 |
|||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
среднеквадратическое |
отклонение |
|
|
σ |
x |
= D |
x |
|
= b − a . Мода y |
|
равномерного |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
распределения отсутствует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Медиана (из соображений симметрии) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
mx = a +b |
= Mex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из соображений симметрии µ3 = 0, |
коэффициент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
асимметрии Sk=0, |
|
|
a +b 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
|
( b − a )4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
µ4 |
= |
|
|
|
|
|
∫a |
x − |
|
dx = |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
b |
− a |
2 |
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайные величины |
45 |
эксцесс εx = µ4 −3 = −1,2 ; эксцесс отрицателен.
σx4
Пример:
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Найти плотность распределения случайной величины Т – времени, в течение которого ему придется ждать поезда, ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Решение:
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f ( x ) = |
= 1 |
(0<x<2); |
m |
x |
= |
∫ |
x 1 dx = |
|
|
|
=1 , |
D = |
( 2 −0 ) |
= |
4 |
= |
1 |
, |
||
|
2 −0 |
2 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
x |
12 |
12 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σx = 33 .
4.1.4.Показательное распределение
Случайная величина Х имеет показательное
(экспоненциальное) распределение, если
λe−λx , x ≥ 0, f (x) =
0, x < 0.
λ>0 называется параметром распределе-
ниОшибка! Закладка не определена.я.
Функция распределения F(x): F( x ) = ∫x |
f ( x )dx . |
||
|
|
−∞ |
|
|
x<0, F(x)=0. |
|
|
x>0, F(x) = ∫x |
f (x)dx = ∫0 |
f (x)dx +∫x |
f (x)dx = |
−∞ |
−∞ |
0 |
|
λ∫x e−λxdx = − |
λλ ∫x e−λxd(−λ |
||
0 |
0 |
|
|
|
|
−λx |
|
Таким образом, F(x) = 1 − e |
|
, x > |
|
|
0, x < 0. |
x) = −e−λx |
|
x |
= −e−λx + e0 =1 − e−λx . |
|
|||
0, |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
Числовые характеристики показательного распределения
Математическое ожидание показательного распределения
|
∞ |
|
∞ |
|
∞ |
|
λ |
|
|
∫ |
|
∫ |
|
∫ |
|
||
mx = |
|
xf (x)dx = |
|
xλe−λxdx = λ |
|
xe−λxdx = |
1 |
; |
−∞ |
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(для вычисления интеграла интегрируем по частям). Дисперсия
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции 3-5 |
|
|
|
∞ |
(x − m )2 |
f ( x )dx = ∞ |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
D |
= |
( x − |
|
) λe−λxdx = |
||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
2 |
|
−λx |
|
∞ |
|
x |
|
|
−λx |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
−λx |
|
|
|
1 |
|
|
||||
= ∫ |
λx |
e |
|
dx − ∫ |
2 |
|
λe |
|
|
dx + ∫ |
|
λe |
|
|
= |
|
|
|
. |
|||||||||||
|
λ |
|
|
λ2 |
|
|
λ2 |
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Среднеквадратическое отклонение: |
σ |
x |
= |
, т.е. m |
x |
=σ |
x |
= |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
Вычислим асимметрию показательного распределения, для этого:
|
|
∞ |
|
1 |
3 |
−λx |
|
2 |
|
||
µ3 |
= |
∫0 |
x − |
|
|
λe |
|
dx = |
|
|
. |
λ |
|
λ |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент асимметрии Sk = µ3 = 2 > 0 , что и следовало ожидать.
σx3
Показательное распределение связано с простейшим потоком событий. Покажем, что интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока.
f ( t ) = λe−λt , t ≥ 0 . |
|
|
|
t |
Найдем функцию распределения F (t)= P (T < t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
Чтобы выполнялось неравенство T < t , нужно, |
0 |
T |
чтобы хотя бы одно событие потока попало на
участок длины t. Вероятность этого события описывает пуассоновское рас-
пределение: Pm = (λt)m e−λt . Вычислим вероятность противоположного собы- m!
тия T ≥ t : (m=0) P0 = e−λt ; P(T < t )=1 − P0 =1−e−λt , откуда F( t ) =1 −e−λt .
Дифференцируя, получаем: f ( t ) = F′( t ) = λe−λt - показательное распределение.
4.1.5. Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Нормальное распределение занимает в математике особое положение в силу своей важности.
|
|
|
1 |
e− |
(x−m)2 |
|
Плотность распределения: |
f ( x ) = |
|
2σ 2 , |
|||
σ |
2π |
|||||
|
|
|
|
где m,σ - параметры распределения.
Кривая распределения: максимум достигается при x=m.Мода Mox=m.
Математическое ожидание:
∞ |
1 |
∞ |
(x−m)2 |
|
mx = ∫ xf (x)dx = |
∫ xe− |
2σ 2 dx =... |
||
σ 2π |
||||
−∞ |
−∞ |
|
Случайные величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
||||||
замена переменной t = |
|
(x − m) |
, x = tσ |
|
2 + m , dx = |
2σdt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
σ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞∫ (σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ∞∫te−t2 dt |
|
|
|
|
∞∫ e−t2 dt =... |
|
|
|
|
|||||||||||||||
... = |
1 |
|
2t + m)e−t2 dt = σ |
+ |
m |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π −∞ |
|
|
|
|
|
|
π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞∫te−t2 dt равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пределах; |
∞∫ e−t2 dt = 2∞∫e−t2 dt = |
π - интеграл Пуассона, тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
−∞ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx = |
|
π = m - центр рассеивания случайной величины Х. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
∞ |
1 |
|
( x − m )2 e− |
(x−m)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Дисперсия Dx |
= ∫( x − mx ) f ( x )dx = ∫ |
|
|
|
|
2σ 2 dx =… заме- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2π |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
на переменной …= |
1 |
|
|
|
∞∫t2σ 2 2e−t2 |
2σdt = |
|
σ 2 |
∞∫ 2t2e−t2 dt =... вычислим ин- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σ |
2π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
теграл по частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
σ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
σ 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
−t2 |
|
|
|
|
|
|
|
−t 2 |
|
|
|
|
|
−t2 |
|
|
|
∫ e |
−t2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
t = u,te |
|
dt = du |
,ϑ = − |
2 |
e |
|
, |
... = |
|
|
|
−te |
|
|
|
|
−∞ |
+ |
|
dt = |
π |
|
|
|
=σ |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e−t2 приt → ∞ убывает быстрее, чем любая степень t −te−t2 |
→ 0 ; D |
x |
=σ 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, параметр m для нормального распределения случайной величины Х является ее математическим ожиданием, а параметр σ – среднеквадратическим отклонением.
Рассмотрим изменение кривой распределения, в зависимости от параметров распределения. При изменении m кривая смещается вдоль оси абсцисс. При увеличении σ кривая распределения становится более плоской, растягивается вдоль оси абсцисс, при уменьшении σ – вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (площадь под кривой всегда равна 1).
На рисунке кривая I имеет σ=2/3, II - σ=1, III -
σ=3/2. ε |
x |
= |
µ4 |
|
−3 = 0 , т.к. для нормального рас- |
||
|
|
||||||
|
|
σ |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
пределения |
|
µ4 |
|
= 3 . |
|||
|
|
||||||
|
|
|
σ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Вычислим вероятность попадания случайной величины Х на участок от α до β:
β |
1 |
β |
( x−m)2 |
||
P(α < X < β) = ∫ f (x)dx = |
∫e− |
|
dx =... |
||
2σ 2 |
|||||
|
|||||
α |
σ 2π α |
|
|
48 |
Лекции 3-5 |
|
|
|
|
β−m |
|
t2 |
|
|
x − m |
|
1 |
σ |
e− |
||
Замена t = |
, x=tσ+m, dx=σdt, ... = |
∫ |
2 σdt = |
||||
σ |
|
||||||
|
|
σ 2π α−m |
|
|
σ
1
2π
β−m σ∫
α−m
σ
−t2
e 2 dt =...
Последний интеграл не выражается через элементарные функции, но его
|
1 |
x |
t2 |
|
можно выразить через специальную функцию Ф(x) = |
∫e− |
2 dt - функцию |
||
2π |
||||
|
0 |
|
Лапласа, для которой существуют специальные таблицы. Таким образом,
P{α < X < β} =Ф( β σ− m) −Ф(α σ− m) .
Свойства функции Лапласа:
1)Ф(0)= 0 ,
2)Ф(−x) = −Ф(x) (нечетная),
3)Ф(∞) = 0,5.
Рассмотрим функцию распределения F(x): |
1 |
|
х−m |
||||
F (x)= P(X < x)= P(−∞ < X < x)= |
|
|
|
||||
|
|
||||||
α = −∞,β = х,Ф( −∞) = −0,5 |
= |
|
+Ф |
|
|
||
2 |
σ |
||||||
|
|
|
|
|
.
!В связи с широкой распространенностью нормального распределения для него часто используется специальное обозначение: нормальный за-
кон с математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением σ обозначается N (m,σ ).
!Закон нормального распределения очень широко распространен в случайных явлениях природы. Он возникает в тех случаях, когда складываются много независимых случайных величин Х1 ,Х2 ,...,Хn .Какими бы ни были законы распределения величин Х1 ,Х2 ,...,Хn , закон распределения их суммы будет близок к нормальному.
Примеры нормальных распределений: ошибки «точных измерений», ошибки стрельбы, вызывающие отклонение снарядов от точки прицеливания, ошибки вывода космического корабля в заданную точку пространства и т.п.
5.1. Функции от случайной величины
ОСлучайная величина Y называется функцией от случайной величины X, Y =ϕ(X ), если задан закон, по которому каждому значению X постав-
лено в соответствие только одно значение Y.
В более сложных случаях Yi =ϕi (X1, X2 , X3,..., Xn ) при i=1, 2, …, k, k ≠ n .
Случайные величины |
49 |
Сформулируем задачу для случая непрерывной с.в.: зная плотность распределения случайной величины X f (x) и связь Y =ϕ(X ), найти плотность распределения g(y) cлучайной величины Y. Вначале рассмотрим случай, когда Y =ϕ(X )- строго монотонна (возрастает или убывает).
ТПусть: 1) задана f (x) и 2) Y =ϕ(X ) строго монотонна и дифференцируема на интервале (a,b), который может быть и бесконечным.
Тогда g |
( |
y |
) |
( |
|
( |
y |
)) |
|
ψ′ |
( |
y |
) |
, где x =ψ |
( |
y |
) |
– обратная к y =ϕ |
( |
x |
) |
функ- |
|
|
= f ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. y =ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть Y =ϕ(X ) |
возрастает, |
|
возрастает, тогда существует |
|||||||||||||||||||
x =ψ (y) |
– |
функция, |
обратная функции |
y =ϕ(x) и функция |
|
x =ψ (y) |
является возрастающей.
Вычислим вероятность попадания случайной величины Y в промежуток
[y; y + ∆y):
P(y ≤Y ≤ y + ∆y) = P(ψ (y)≤ X ≤ψ (y + ∆y))=
=F (ψ (y + ∆y))− F (ψ (y))= F′(ψ (y)) (ψ (y + ∆y)−ψ (y))+ O1 (∆y) =
=F′(ψ (y)) ψ′(y) ∆y +O1 (∆y)+O2 (∆y) = f (ψ (y)) ψ′(y) ∆ + O(∆y).
Сдругой стороны,
P(y ≤Y ≤ y + ∆y) = G(y + ∆y)−G(y) = = G′(y) ∆ + O(∆y) = g (y) ∆y + O(∆y).
Следовательно, g( y) = f (ψ (y)) ψ′(y), если y =ϕ(x)возрастает.
Если y =ϕ(x) убывает,
g( y) = − f (ψ (y)) ψ′(y).
Объединяя, получаем
g (y) = f (ψ (y)) ψ′(y) .
В случае, если y =ϕ(x) немонотонна, для нахождения g (y) интервал (a,b) нужно разбить на промежутки монотонности y =ϕ(x), на каждом
участке найти обратную функцию, найти вклад в плотность вероятно-
50 |
Лекции 3-5 |
сти g (y) от каждого участка и результаты сложить:
n
g (y)= ∑f (ψi (y)) ψi′(y) .
i=1
Пример:
Случайная величина Х равномерно распределена на промежутке [0;2]; Y=X2. Определим закон распреде-
ления g(y). Решение:
0, x [0;2], f (x) =
1 , x [0;2].
2
По теореме g( y) = |
|
|
′ |
|
2 |
, |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
f (x( y)) | x ( y) | , Y=X |
|
|||||||||
следовательно, у=х2, x= |
|
y ; x′ = |
1 |
|
, |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||
0, y [0;4]; |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
g (y)= |
|
|
, y [0;4]. |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
y |
|
|
|
|
|
Пример:
Случайная величина Х равномерно распределена на промежутке [-1;1]; Y=X2 Определить g (y).
Решение: y=x2.
Имеем 2 участка монотонности: [-1;0] и [0;1]
для 1-го x1 = − |
y ; для 2-го x2 = |
y . |
|||||||||||
g (y)= |
1 |
|
|
1 |
+ |
1 |
|
|
1 |
= |
|
1 |
, y [0;1]. |
2 |
|
y |
2 |
|
y |
|
y |
||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
Для дискретной случайной величины вычисление ряда распределения для функции также может измениться в зависимости от того, будут ли повторяться значения функции.
Пример:
Случайная величина Х задана рядом распределения
|
X |
1 |
2 |
3 |
|
p |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Y=X2. Найти ряд распределения Y. |
|
|
||
Решение: |
|
|
|
|
|
Y |
1 |
4 |
9 |
|
p |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Пример:
Случайная величина Х задана рядом распределения
Случайные величины |
|
|
|
|
|
51 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
-1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
p |
0,3 |
0,5 |
|
0,2 |
|
||||
|
Y=X2. Найти ряд распределения Y. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение: так как с.в. Y принимает значение y =1 при x =1 и при x = −1, |
||||||||||
|
соответствующие вероятности суммируются: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Y |
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
0,8 |
|
0,2 |
|
|
5.2.Числовые характеристики функции случайной величины Математическое ожидание
Если Y =ϕ(X ) и случайная величина Х имеет плотность распределения f (x), то M (Y )= mY = ∞∫ϕ(x)f (x)dx . (следствие теоремы).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: |
(приведено |
для случая |
|
|
монотонно |
возрастающей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y =ϕ(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( ) |
|
|
|
∞ |
|
|
|
( ) |
|
∞ |
|
|
( |
|
( )) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
∞ |
( ) ( ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
M Y = y g y dy = y f ψ |
y ψ |
|
y dy = ϕ x f x dx , ч.т.д. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если Y =ϕ(X ) |
и случайная величина Х имеет плотность распределения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x), то D(Y )= ∞∫(ϕ(x))2 f (x)dx − ∞∫ϕ(x)f (x)dx 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: (приведено для случая монотонно возрастающей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y =ϕ(x)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D(Y )= M ((Y − M (Y ))2 )= M (Y 2 )−(M (Y ))2 = ∞∫ y2 g (y)dy − ∞∫ |
yg (y)dy = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
( ( )) |
|
|
( ) |
|
∞ |
( ( )) |
|
|
|
( ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∫ |
|
2 |
|
|
|
|
|
′ |
|
∫ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= |
|
y |
|
f |
|
|
ψ y ψ |
|
y dy |
− |
|
|
|
y f ψ y ψ |
|
y dy |
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= ∞∫(ϕ(x))2 f (x)dx − ∞∫ϕ(x)f (x)dx 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Моменты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Начальный момент порядка k случайной величины Y: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
( |
|
) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
α |
|
= M Y |
k |
|
|
= |
|
y |
k |
g (y)dy = y |
k |
f ψ (y) |
|
ψ |
|
(y)dy = |
|
|
|
ϕ(x) f (x)dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
52 |
Лекции 3-5 |
Центральный момент порядка k случайной величины Y: |
|
µk = M ((Y − M (Y ))k )= ∞∫(y − M (Y ))k g (y)dy = |
|
−∞ |
|
= ∞∫(y − mY )k f (ψ (y)) ψ′(y)dy = ∞∫(ϕ(x)− mY )k f (x)dx.
−∞ |
−∞ |
5.3. Распределения, связанные с нормальным
Рассмотрим некоторые распределения, функционально связанные с нормальным, которые далее будут широко использоваться в задачах математической статистики.
5.3.1. Распределение χ2 (Пирсона) |
|
Рассмотрим совокупность независимых случайных |
величин |
Х1 ,Х2 ,...,Хn , у которых математическое ожидание равно нулю, |
а среднее |
квадратическое отклонение – единице. Сумма квадратов этих величин распределена по закону, называемому «хи – квадрат с n степенями свободы»:
χ2 = ∑Xi2 . i=1n
Если эти величины связаны одним линейным соотношением, например,
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑Xi = n |
|
, число степеней свободы уменьшается, k = n −1. |
||||||||
X |
||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Плотность этого распределения |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0, |
|
|
|
|
|
x ≤ 0, |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= |
|
|
|
−x 2 |
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
x2 |
|
, x > 0, |
|
|
2 |
n 2 |
Γ(n 2) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распределение Пирсона зависит от одного параметра – числа степеней свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение приближается к нормальному, что можно наблюдать на приведенных ниже графиках.