4сем / Лекции _4_сем pdf / Теор_Вер

элементных выборок равно Anm . С другой стороны, среди всех упорядо-

ченных m –элементных выборок существуют такие, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Одному набору из m элементов соответствует Pm = m! способов упорядочения, поэтому одной не-

упорядоченной выборке соответствует Pm упорядоченных выборок, сле-

довательно, число различных неупорядоченных m –элементных выборок из n –элементного множества в Pm раз меньше, чем число упорядочен-

ных. Всего различных неупорядоченных выборок

ОНеупорядоченная m –элементная выборка из n –элементного множества называется сочетанием из n по m . Число сочетаний из n по m :

! Числа Cnm называются также биномиальными коэффициентами. Если рассмотреть коэффициенты при различных степенях x в разложении

n

бинома (1+ x)n = ∑am xm , то окажется, что am = Cnm .

m=0

Выборки с возвращением

Если после выбора элемента он возвращается в основную совокупность, назовем выборку повторной. При этом возникают следующие возможности:

ОУпорядоченная повторная m –элементная выборка из n –элементного множества называется размещением с повторениями. Число размещений с повторениями из n по m

Anm = nm .

( m производится выбор из n элементов).

ОНеупорядоченная повторная m –элементная выборка из n –элементного множества называется сочетанием с повторениями. Число сочетаний с повторениями из n по m :

Cm = Cm+ − .

n n m 1

Эту формулу можно интерпретировать следующим образом. При повторной m –элементной выборке к исходному n –элементному множеству добавляется (при возвращении) m −1 элемент. Из результирующего

элементная выборка, что и дает написанную выше формулу.

Пусть n –элементное множество состоит из k различных элементов, причем 1–й элемент повторяется n1 раз, 2–й элемент – n2 раз,…, k –й –

nk раз и n1 +n2 + ...+ nk = n .

ОПерестановки n элементов данного множества называются перестанов-

ками с повторениями. Число перестановок из n элементов с повторениями по n1 , n2 , …, nk равно

1.3.3. Геометрическое определение вероятности

Если число равновозможных исходов бесконечно и несчетно, то исполь-

зуется геометрическое определение вероятности.

ОПусть каждый результат испытаний определяется случайным положением точки в некоторой области Ω (отрезок линии, фигура на плоскости, тело в пространстве), мера которой µ(Ω) (под мерой области будем по-

нимать длину, площадь, объем). Наступлению события А благоприятствует попадание точки в область A Ω. Вероятность события А:

P(A)= µµ((ΩA)), где µ(A) - мера области А. Таким образом, по геометри-

ческому определению вероятность находится как отношение мер областей µ(A) и µ(Ω).

!Свойства 1 – 4, рассмотренные для статистической вероятности, справедливы и для геометрической вероятности.

Пример:

(Задача о встрече) Двое договариваются встретиться в определенном месте. Встреча должна произойти в течение 1 часа (скажем, с 1200 до 1300). Пришедший первым ждет не более 15 минут, после чего уходит. Какова вероятность встречи?

Элементарный исход состоит в том, что один участник появляется в момент t1 , второй – в

момент t2 , причем t1 [12,13], t2 [12,13], т.е.,

исход характеризуется парой действительных чисел (t1 ,t2 ) и может быть изображен точкой

квадрата со стороной 1 на плоскости (выбор начала координат не влияет на результат). Собы-

тие {t1 = t2} благоприятствует встрече и изображается диагональю квадрата. Точки над диа-

P (A)= SS ((ΩA)) = 167 .

1.3.4. Аксиоматическое определение вероятности

Существует огромный класс событий, не обладающих симметрией возможных исходов, вероятности которых нельзя вычислить по классической формуле. В этом случае используется аксиоматический теоретикомножественный подход: рассматривается пространство исходов Ω; каждому исходу или множеству исходов A Ω, соответствующему некоторому событию А, ставится в соответствие вероятность события P (A) – число, удовле-

творяющее следующим условиям:

1)Вероятность любого события заключена между 0 и 1: 0 ≤ P(A) ≤1.

2)Вероятность достоверного события P (Ω)=1.

вместных событий равна сумме вероятностей этих событий. A1, A2 ,…, An , или,

Следствия:

1.Вероятность невозможного события P ( ) = 0 .

2.Если A B (событие А влечет за собой событие В), то P( A) ≤ P(B) .

3.Если события A и A противоположны, P(A) + P(A) =1.

4.Если события A1, A2 ,…, An образуют полную группу несовместных собы-

16 Лекции 1-2

2.1. Теорема сложения вероятностей

Для несовместных событий А и В вероятность суммы событий определяется аксиоматически: P( A + B) = P( A) + P(B) . Рассмотрим случай совмест-

ных событий.

ТТеорема сложения вероятностей для совместных событий. Если события А и В совместны, A B ≠ , то P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) .

Разобьем событие A + B на несовместные слагаемые:

A + B = A Ω+ B Ω = A (B + B)+ B (A + A)=

=A B + A B + A B + A B = A B + A B + A B. P(A + B)= P(AB + AB + AB)=

=P(AB)+ P(AB)+ P(AB),

A = AB + AB, P(A)= P(AB)+ P(AB),

P(AB)= P(A)− P(AB),

аналогично, P (AB)= P (B)− P (AB),

откуда P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB) .

Вероятность суммы трех совместных событий А, В и С:

P(A + B +C )=

=P(A)+ P(B)+ P(C )− P(AB)− P(AC )− P(BC )+ P(ABC ).

2.2.Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей

P (B A) - это вероятность события В, вычисленная при условии, что со-

бытие А произошло.

На практике формулу читают так: P (AB)= P (A) P (B A), т.е. вероят-

ность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого. Это правило называется теоремой умножения вероятностей (для классической схемы оно легко доказывается).

Пример:

Из урны, содержащей 4 белых и 3 черных шара, вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Событие С={ оба шара белые}; представим С как произведение 2-х событий С = A B , где А={первый шар белый}, В={второй шар белый}.

P (AB)= P (A) P (B A); Р(А) = 74 .

Предположим , что событие А произошло, т.е. в урне осталось 6 шаров, 3 из

ОСобытие А называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от того, произошло событие В или нет, т.е. P (A B)= P (A). В

противоположном случае, если P (A B)≠ P (A), событие А зависит от В.

Пример:

В урне 5 белых и 2 черных шара. Из нее вынимают один за другим 2 шара. Найти вероятность того, что они будут разных цветов.

Решение: Событие С ={шары разных цветов} распадается на сумму 2-х несовместных событий: С1={белый, черный}, С2{черный, белый}; С=С1+С2. Вычислим вероятность события С1:

Р(С1) - вероятность того, что 1-й шар белый, умноженная на условную вероятность того, что второй черный, при условии, что первый белый:

P (C1 )= 75 62 = 215 .

Вычислим вероятность события С2: P (C2 )= 72 56 = 215 .

По правилу сложения вероятностейP (C )= P (C1 )+ P (C2 )= 1021 .

Для произвольного числа событий вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

P (A1 A2 ... An )= P (A1 ) P (A2 A1 ) P (A3 A1 A2 ) ... P ( An A1 A2 ... An−1 )

Пример:

В ящике 6 белых, 8 красных и 4 синих шара. На удачу извлекают 1 шар без возвращения. Чему равна вероятность того, что на первом шаге появится белый, на 2-м – красный и на 3-м – синий шар?

Решение: Событие А ={на первом шаге появится белый шар}, событие В={на втором шаге появится красный шар}, событие С={на третьем шаге появится синий шар}.

Пример:

Среди продаваемых телевизоров 95% стандартных, из них 86% высшего качества. Чему равна вероятность покупки телевизора высшего качества? Решение: А={телевизор стандартный} Р(А)=0,95; В={телевизор высшего качества, при условии, что он стандартный} Р(В/А)=0,86; Р(А·В)=Р(А) ·Р(В/А)=0,95·0,86=0,82.

Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает простой вид: Р(А·В)=Р(А)·Р(В), т.е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Для нескольких независимых событий Р(А1·А2·…·Аn)=Р(А1)·Р(А2)·…·Р(Аn)

симых событий равна произведению вероятностей этих событий.

2.3. Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате опыта могут появиться n независимых в совокупности событий А1,А2 ,…,Аn , вероятности которых Р(А1), Р(А2),…,Р(Аn) – известны.

А - событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из событий

А1, А2,…, Аn, А=А1+А2 + …+Аn .

A - событие, заключающееся в том, что ни одно из событий A1, A2 ,..., An

не наступило: A = A1 A2 … An .

A + A = Ω, P(A + A)= P(Ω)=1, P(A)+ P(A)=1 P(A)=1− P(A),

P(A)=1− P(A1 A2 … An ), P(A)=1− P(A1 ) P(A2 ) … P(An ),

P(A1 )=1− P(A1 )= q1 ; P(A2 )=1− P(A2 )= q2 ; P(An )=1− P(An )= qn ;

P(A) =1−q1q2...qn .

Пример:

Вероятность поражения цели 1-м стрелком равна 0,9; 2-м - 0,8; 3-м - 0,6; 4-м - 0,7. Какова вероятность попадания при залпе?

Решение: Проще всего решить задачу через вероятность, противоположного события. Найдём q1, q2 , q3 , q4 – вероятности промахов 1, 2, 3, 4-го стрелка со-

ответственно.

q1=0,1; q2=0,2; q3=0,4; q4=0,3; P=1- q1q2q3q4 ; P=1-0,1·0,2·0,4·0,3=0,9976.

2.4. Формула полной вероятности

Следствием правил сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности.

Пусть проведен опыт, об условиях которого можно сделать n взаимоисключающих предположений (гипотез) H1 ,H2 ,...,Hn , образующих полную

группу:

H1 + H2 + ...+ Hn = Ω, Hi H j = (i ≠ j).

Каждая гипотеза представляет собой некоторое событие. Вероятности реализации гипотез известны: Р(H1), Р(H2),…,Р(Hn).

Результат опыта – событие А, которое может появиться только вместе с одной из гипотез, условные вероятности события А при каждой из гипотез заданы: P(A/H1), P(A/H2),…,P(A/Hn). Найдем вероятность события А, для чего представим А как сумму n несовместных событий:

i

Таким образом, вероятность события А в опыте с гипотетическими условиями равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при условии гипотезе.

Пример:

имеются три одинаковые на вид урны; в первой 2 белых шара и 3 черных, во второй – 4 белых и 1 черный, в третьей – 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение: А={появление белого шара}.

Выдвигаем 3 гипотезы: Н1={выбрана первая урна}; Н2={выбрана вторая урна}; Н3={выбрана третья урна}.

Пример:

Партия деталей на 20% изготовлена на заводе №1, на 30% - на заводе №2, на 50% - на заводе №3. Вероятности выпуска нестандартных деталей:

Завод №1 – 0,01, завод №2 – 0,005, завод №3 – 0,006.

Какова вероятность, что взятая наугад деталь нестандартная? Решение:

Гипотезы:Н1={деталь изготовлена на заводе №1}; Н2={деталь изготовлена на заводе №2}; Н3={деталь изготовлена на заводе №3 }

Р(Н1)=0,2; Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,5; Р(А/Н1)=0,01; Р(А/Н2)=0,005; Р(А/Н3)=0,006; Р(А)=0,2·0,01+0,3·0,005+0,5·0,006=0,0065.

2.5. Формула Бейеса (теорема гипотез)

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез на основании результатов опыта. Пусть до опыта об его условиях сделан ряд предположений (гипотез) H1,H2,…,Hn, гипотезы образуют полную группу:

n

∑Hi = Ω, Hi H j = ,i ≠ j , и известны «априорные» (доопытные, от латин-

i=1

n

ского «a priori») вероятности: P(H1), P(H2 ),..., P(Hn ) , ∑P(Hi ) =1. В резуль-

i=1

тате проведения опыта произошло событие А. Найдем «апостериорные» (послеопытные, от латинского «a posteriori») вероятности гипотез: Р(Н1/А),

Р(Н2/А),…, Р(Нn/А).

Решение: т.к. событие А может появиться только вместе с одной из гипотез, то:

P(Hi A) = P(Hi )P(A Hi )= P(A)P(Hi A), P (Hi )P (A Hi )= P (A)P (Hi A).

i=1

Спомощью этой формулы возможен пересчет вероятностей гипотез после получения дополнительной информации, что опыт дал результат A.

Пример:

Среди людей 5% мужчин и 0,25% женщин дальтоники. Наугад избранное лицо из группы, состоящей из 100 мужчин и 100 женщин, оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина?

Решение: Гипотезы: Н1={выбран мужчина}; Н2={выбрана женщина} Априорные вероятности гипотез:

Пример:

имеются три урны; в первой 1 черный и 3 белых шара, во второй – 2 белых и 3 черных, в третьей – 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Этот шар оказался белым. Найти апостериорные («послеопытные») вероятности того, что шар вынут из 1-й, 2-й, 3-й урны.

Решение: Н1={выбрана 1-я урна}; Н2={выбрана 2-я урна}; Н3={выбрана 3-я

урна}. Априорные вероятности гипотез: Р(H1) = Р(H2) = Р(H3) = 13 .

В результате опыта появляется событие А={вынут белый шар}. Условные вероятности события А при гипотезах Н1, Н2, Н3

Таким образом, после свершения опыта и появления события А вероятности гипотез изменились. Самой вероятной оказалась гипотеза H3, наименее вероятной гипотеза H2.