Лекции Стечкина по матану
.pdfТогда существует такое число C > 0 , что x Φ(x) ≥ C |x|2 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно ограничиться случаем |x| = 1 , так как Φ(t x) = t2Φ(x) , |t x|2 = t2 |x|2 . Функция Φ(x) C(En) .
Множество |x| = 1 – сфера радиуса 1 – замкнутое ограниченное
и следовательно, компактное в евклидовом пространстве множество. По теореме о непрерывной на компактном множестве функции Φ(x) достигает на единичной сфере своего минимального значения. Значит, найдется точка x0 , |x0| = 1 , такая, что
min Φ(x) = Φ(x0) = C > 0 .
|x|=1
Тогда x , |x| = 1 , Φ(x) ≥ C .
58.5. Функциональная зависимость
Пусть
y1 = f1(x1, x2, x3) ,
y2 = f2(x1, x2, x3) ,
y3 = f3(x1, x2, x3)
– функции, заданные на некотором множестве D3 . Когда y3 – линейная функция y3 = Ay1 + By2 , мы имеем простейший вид
функциональной зависимости - линейную зависимость. Пусть
x0 = (x01, x02, x03) D3, y10 = f1(x0), y20 = f2(x0), y0 = ¡y10, y20¢ .
Если для какой-нибудь из функций yi , например, для y3 , существует функция Φ(y1, y2) , определенная в окрестности O2 ¡y0¢ такая, что для любого x из некоторой окрестности O3(x0)
y3 = f3(x1, x2, x3) = Φ (f1(x1, x2, x3), f2(x1, x2, x3)) ,
то будем говорить, что между функциями y1, y2, y3 существует
функциональная зависимость, именно, что f3 выражается через f1 и f2 .
Если функции f1, f2, f3 D |
O3(x0) |
и Φ(y1, y2) D O2 |
y0 |
, |
|
то будем говорить, что эта |
функциональная зависимость гладкая, |
||||
¡ |
¢ |
¡ |
¡ |
¢¢ |
именно, что f3 гладко выражается через f1 и f2 .
Теорема. Необходимое и достаточное условие гладкой функциональной зависимости. Пусть f1, f2, f3 D ¡O3(x0)¢ .
291
Тогда для того, чтобы между функциями f1, f2, f3 существовала гладкая функциональная зависимость, необходимо и достаточ-
но, чтобы якобиан J = D(f1,f2,f3) ≡ 0 в некоторой окрестности
D(x1,x2,x3)
O3(x0) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть существует функция Φ(y1, y2) , определенная в окрестности O2 ¡y0¢ такая, что для любого x из окрестности O3(x0)
y3 = f3(x1, x2, x3) = Φ (f1(x1, x2, x3), f2(x1, x2, x3)) = Φ(y1, y2) .
Тогда для i = 1, 2, 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f3 |
= |
∂Φ |
|
∂f1 |
+ |
∂Φ |
|
∂f2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∂xi |
∂y1 ∂xi |
|
∂y2 ∂xi |
|||||||||||||
Здесь коэффициенты |
|
∂Φ |
, |
|
∂Φ |
не зависят от i . Следовательно, |
|||||||||||
|
|
∂y2 |
|||||||||||||||
|
|
|
∂y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
третья строка якобиана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||||
|
|
¯ |
∂f2 |
∂f2 |
∂f2 |
|
|||||||||||
|
|
J = ¯ |
∂f1 |
∂f1 |
∂f1 |
¯ |
|
||||||||||
|
|
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
|
||||||||||
|
|
¯ |
∂x1 |
∂x2 |
∂x3 |
¯ |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||
|
|
¯ |
∂f3 |
∂f3 |
∂f3 |
¯ |
|
||||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||
|
|
¯ |
∂x1 |
∂x2 |
∂x3 |
¯ |
|
||||||||||
|
|
¯ |
¯ |
|
линейно выражается через две предыдущие строки с коэффициен-
тами |
∂Φ |
, |
|
∂Φ |
. По свойствам определителей отсюда следует, что |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
∂y1 |
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|||
J ≡ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т а т о ч н о с т ь. Пусть известно, что J |
≡ |
0 в окрестно- |
||||||||||
Д о с 3 |
(x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сти O |
|
) . Допустим, что ранг матрицы якобиана равен 2 и, для |
|||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
∂f1 |
∂f1 |
¯ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
¯ |
∂x1 |
∂x2 |
¯ |
3 |
|
0 |
||
определенности, пусть ¯¯ |
∂f2 |
∂f2 |
¯¯ 6= 0 x O |
|
(x ) . Тогда, по |
||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
∂x1 |
∂x2 |
¯ |
|
|
|
известной теореме о ранге матрицы из линейной алгебры, третья строка якобиана линейно выражается через первые две. Рассмотрим уравнения
½
f1(x1, x2, x3) − y1 = 0 . f2(x1, x2, x3) − y2 = 0
По теореме о неявной функции эта система эквивалентна системе
½
x1 |
= ϕ1 |
(x3 |
, y1 |
, y2) |
. |
|
x2 = ϕ2(x3, y1, y2) |
||||||
|
292
Продифференцируем тождества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
½ f2 |
(ϕ1 |
, ϕ2 |
, x3) = y2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f1 |
(ϕ1 |
, ϕ2 |
, x3) = y1 |
|
|||||||||||||
по x3 и получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂f1 |
|
· |
∂ϕ1 |
|
+ |
∂f1 |
|
· |
∂ϕ2 |
|
+ |
∂f1 |
|
= 0 , |
||||||||
|
∂x1 |
∂x3 |
∂x2 |
∂x3 |
∂x3 |
||||||||||||||||||
|
∂f2 |
|
· |
∂ϕ1 |
|
+ |
∂f2 |
|
· |
∂ϕ2 |
|
+ |
∂f2 |
|
= 0 . |
||||||||
|
∂x1 |
∂x3 |
∂x2 |
∂x3 |
∂x3 |
||||||||||||||||||
Тогда и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂f3 |
· |
|
∂ϕ1 |
|
+ |
|
∂f3 |
|
· |
|
∂ϕ2 |
+ |
|
∂f3 |
= 0 |
||||||
|
∂x1 |
|
∂x3 |
|
∂x2 |
|
|
∂x3 |
∂x3 |
как линейная комбинация двух предыдущих строк. Но
y3 = f3 (ϕ1(x3, y1, y2), ϕ2(x3, y1, y2), x3) = Φ(x3, y1, y2)
и
∂Φ = ∂f3 · ∂ϕ1 + ∂f3 · ∂ϕ2 + ∂f3 . ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ∂x3
Следовательно, ∂Φ = 0 . Тогда y3 – это функция лишь перемен-
∂x3
ных y1 , y2 , т. е. y3 = Φ(y1, y2) .
Если все миноры якобиана второго порядка равны нулю, то все его строки пропорциональны и функции yi выражаются через какую-нибудь одну из них, например, через y1 , с помощью выражения вида yi = aiy1 + ci . Это и будет искомая функциональная зависимость в данном случае.
293
Литература
[1]Валле-Пуссен де ла Ш.-Ж. 3) Курс анализа бесконечно ма-
лых. Т.I. – Петроград: Гостехиздат, 1922.
[2]Виноградова И. А. , Олехник С. Н. , Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. – М. : Издательство Московского Университета, 1988.
[3]Гелбаум Б. , Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – М. : Мир, 1967 .
[4]Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. : Наука, 1989.
[5]Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 2 т. – М. : Высшая школа, 1981.
[6]Ландау Э. Основы анализа. – М. : Государственное издатель-
ство иностранной литературы, 1947.
[7]Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М. : Наука, 1971.
[8]Погорелов А. В. Лекции по дифференциальной геометрии. –
Харьков: Наука, 1956.
[9]Рудин У. Основы математического анализа. – М. : Мир, 1957.
[10] Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. В 2 т.
–М. : Наука, 1964.
3)Знаком " " отмечена литература, рекомендованная С. Б. С. на лекциях. (Ред.)
294
[11]Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрально-
го исчисления. В 3 т. – М. : Наука, 1969.
[12]Хинчин А. Я. Краткий курс математического анализа. – М. :
Гостехиздат, 1957.
[13]Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. – М. : Высшая школа, 2007.
295