Анализ точности

ливающие взаимосвязи между законами распределения, числовыми характе-

ристиками и практическими полями рассеивания входных (в примере ρ, l, b и h ) и выходных (в примере – R) параметров.

Ко второй группе относят задачи, при постановке которых зависимость между входными и выходными параметрами еще до конца не выяснена и ее требуется установить и исследовать. Такие задачи при формализации ТП производства ЭС встречаются наиболее часто.

2.2. Этапы и методы построения математических

моделей точности технологических процессов

Этапы:

1.Отбор факторов (входных переменных).

2.Установление типа зависимости между исходными факторами и по-

грешностями обработки.

3.Построение математической модели.

4.Проверка адекватности разработанной модели и реального техноло-

гического процесса.

2.2.1. Отбор факторов (входных переменных)

Успех исследования в значительной степени определяют отбор и опи-

сание исходных факторов. Входные переменные для включения их в матема-

тическую модель должны выбираться на основе предварительного теорети-

ческого анализа, исходя из целей и задач исследования. Как правило, на этом этапе анализируются и обобщаются результаты ранее проведенных исследо-

ваний таких же процессов или процессов-аналогов.

При отборе факторов к ним предъявляется ряд требований. Прежде всего, технологические факторы должны быть количественно измерены. Ес-

ли фактор характеризуется только качественными показателями, то учет его влияния, как правило, затруднен либо вообще невозможен.

11

Перечень входных переменных должен включать в себя важнейшие факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на точность обра-

ботки. Это требование вытекает из того, что при моделировании необходимо абстрагироваться от влияния несущественных факторов. Кроме того, модель должна быть простой и наглядной.

Исходные факторы не должны находиться между собой в точной

(функциональной) зависимости, так как существование функциональных и близких к ним связей показывает, что они характеризуют одну и ту же сто-

рону изучаемой первичной погрешности и, следовательно, в какой-то мере дублируют друг друга.

На начальной стадии исследования большое значение приобретает во-

прос о правильной классификации исходных факторов и выбора для них ма-

тематической модели. Обычно факторы классифицируют на систематиче-

ские (неслучайные) и случайные.

Систематические факторы, в свою очередь, делятся на постоянные,

принимающие вполне определенные числовые значения при обработке каж-

дого последующего элемента, и переменные, закономерно изменяющиеся при переходе от одного элемента к другому. Случайные факторы могут при-

нимать то или иное числовое значение, заранее не известно какое именно,

при повторном воспроизведении комплекса условий их возникновения. Эти факторы могут быть выражены случайными величинами или случайными функциями.

Иногда один и тот же фактор в разных задачах может рассматриваться неодинаково. Например, если для одной задачи разброс значений этого фак-

тора можно считать несущественным, то в модель его включают как кон-

станту, в противном случае – как переменную или случайную величину.

Операционные погрешности, в свою очередь, также относят либо к систематическим (постоянным или переменным), либо к случайным, в зави-

симости от того, влияние каких из перечисленных факторов является доми-

нирующим в их появлении.

12

На стадии отбора факторов требуется установить их области определе-

ния. Для случайных факторов это связано с установлением законов распре-

деления.

В качестве математических моделей для описания случайных факторов при решении задач анализа точности технологических процессов наиболее часто используются теоретические законы распределения, такие как закон равной вероятности, закон Гаусса и др.

Закон равной вероятности описывает распределение как непрерывной,

так и дискретной случайной величины, которая может принимать допусти-

мые значения с равной вероятностью.

Плотность вероятности распределения непрерывной случайной вели-

чины (например, X) может быть выражена:

а) аналитически

где b – a = 2l – область возможных значений случайной величины X;

математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

б) графически (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Плотность вероятности равномерного распределения непрерывной

случайной величины

13

Плотность вероятности распределения дискретной случайной величи-

ны (например, X) может быть выражена:

а) в виде таблицы

б) графически (например, в виде столбиковой диаграммы, рис. 2.2).

Рис. 2.2. Плотность вероятности равномерного распределения дискретной

случайной величины

Закон равной вероятности обычно рассматривается как исходный для получения некоторых других распределений аналитически или моделирова-

нием на ЭВМ (параграф 2.2.3).

Закон нормального распределения (закон Гаусса) описывает распреде-

ление непрерывной случайной величины, которая может принимать значения в диапазоне от до , причем ее отклонения от некоторого среднего значения (математического ожидания) подчиняются следующим правилам:

– отрицательные и положительные отклонения, равные по модулю,

равновероятны;

– чем больше (по модулю) отклонение, тем оно менее вероятно.

Плотность вероятности нормального распределения случайной вели-

чины (например, X) имеет вид:

14

а) аналитически

где m{X } и 2{X} соответственно математическое ожидание и дисперсия;

б) графически (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Плотность вероятности распределения Гаусса

В технических приложениях из теоретических законов распределения закон Гаусса является самым распространенным. Его обычно используют для описания разброса значений параметров изделий, изготовленных в условиях серийного и массового производства. Часто гауссов закон встречается при обработке результатов различного рода измерений [8].

Применяя закон Гаусса, исследователи часто совершают две основные ошибки:

1) не всегда достаточно обосновывают выбор формулы Гаусса в каче-

стве математической модели; 2) не учитывают, что формула Гаусса – это всего лишь математическая

модель.

Как правило, основным (а часто и единственным) доводом в пользу выбора нормального распределения является колоколообразная форма экспе-

риментальной гистограммы (например, рис. 1.1). При этом совершенно не учитывается тот факт, что погрешности изготовления или измерения не мо-

гут принимать сколь угодно большие (по модулю) значения. Формула Гаусса достаточно хорошо согласуется с экспериментом в диапазоне значений, не

15

няются» (выделено автором) тому или иному закону распределения (Гаусса,

Релея и т.д.). Погрешности (какими бы они ни были) подчиняются своим за-

конам (законам объективного мира)! А теоретические законы распределения

(в т.ч. и Гаусса) – это лишь применяемые нами математические модели, ко-

торые (в силу своего определения) не могут быть абсолютно точными (адек-

ватными).

Рис. 2.4. Сравнение распределения Гаусса (1) и распределения (2. 2) -2

2.2.2. Установление типа зависимости между исходными

факторами и погрешностями обработки

Реальные процессы, происходящие в объективном мире. Характеризу-

ются высокой сложностью, взаимосвязанностью и взаимообусловленностью.

В процессе построения математических моделей приходится абстрагировать-

ся от действительного положения вещей и учитывать только наиболее суще-

ственные стороны изучаемых явлений. Поэтому при анализе и формализа-

ции технологических процессов предполагается, что исследуемые величины либо независимы между собой, либо связаны одной из следующих зависимо-

стей:

–функциональной;

–вероятностной (стохастической).

Рассмотрим эти виды связей применительно к двум переменным: X

(или W), с одной стороны, и Y – с другой.

17

ления (аналитически и графически), так и его числовые характеристики: ма-

тематическое ожидание m i+1{y} и дисперсия ζ2 i+1{y}.

Некоторые частные случаи вероятностной зависимости

1. Регрессионная зависимость. Регрессионной называется зависимость между неслучайной величиной W (аргументом) и случайной величиной Y

(функцией), при которой при изменении аргумента изменяется только мате-

матическое ожидание функции, а условное распределение величины Y (т.е.

при любых значениях W) нормальное с постоянной дисперсией. Как и ранее представим регрессионную зависимость в виде таблицы (табл. 2.1) и графи-

чески (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Пример регрессионной линейной зависимости (может быть криволинейная)

20