Chast_3_novyy

1.3.Числовые множества. Верхние и нижние грани

1.Множество натуральных чисел N. Множество натуральных чисел образуют числа 1,2,3,… .

2.Множество целых чисел Z. Множество целых чисел образуют числа

0, 1, 2,... .

3. Множество рациональных чисел Q. Множество рациональных чисел

являются рациональными, называются иррациональными. Множество иррациональных чисел обозначается I.

Далее будут использоваться следующие подмножества множества действительных чисел:

1). Интервал a,b x R|a x b . Если одно или оба значения a и b

бесконечны, то получаем следующие интервалы: a, , ,b , , .

выполняется неравенство х М . Наименьшее из всех чисел М (конечных или

x X

inf X .

1.4. Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу n по определенному закону поставлено в соответствие некоторое число xn , то множество xn x1, x2 , x3 ,....xn ,...

14

тим, что членами последовательности могут быть не только действительные, но и комплексные числа.

Так как последовательности являются числовыми множествами, то они могут быть ограниченными сверху, снизу и просто ограниченными.

Определение. Последовательность xn называется неограниченной сверху

(снизу), если для любого сколь угодно большого М (малого m) найдётся такой номер n, что xn М

С помощью логической символики эти определения можно записать так:

Последовательность xn n 1, 2, 3,... n,... - неограниченная снизу

и ограниченная сверху, поскольку все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству xn 1.

Последовательность xn n2 1,4,9,16,..... - неограниченная сверху и ог-

раниченная снизу, т.к. xn n2 1 .

15

1.5. Свойства ограниченных последовательностей

Сумма, разность и произведение двух ограниченных последовательностей дают ограниченную последовательность.

Частное двух ограниченных последовательностей может быть как ограниченной, так и неограниченной последовательностью.

1.6. Предел числовой последовательности

Конечное число a называется пределом числовой последовательности

xn , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число N (вообще говоря, зависящее от ), что при всех n N выполняется неравенство xn a .

lim xn a 0 N n N : xn a .

n

Последовательность xn сходится к a , если общий член последовательно-

сти xn a стремится к a , т.е., начиная с некоторого номера, все члены по-

n

следовательности попадают в сколь угодно малую -окрестность числа a .

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.

n 1

Докажем по определению, что lim 1.

n n

16

Последовательность 1 n не имеет предела, так как нельзя указать но-

мер, после которого все члены последовательности окажутся в сколь угодно малой окрестности какого-либо числа.

Последовательности, не имеющие предела, называются расходящимися.

1.7. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Последовательность xn называется бесконечно большой, если для лю-

бого положительного числа M можно указать такое натуральное число N (зависящее от M ), что при всех n N выполняется неравенство xn M.

M 0 N M n N M : xn M .

Бесконечно большая последовательность является неограниченной последовательностью. Обратное утверждение неверно. Например, неограниченная последовательность 0, 4, 0, 8, 0, 12,…не является бесконечно большой, т.к. не все члены последовательности после некоторого n становятся больше произвольного M.

Последовательность xn называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное чис-

1.8. Свойства бесконечно малых последовательностей

1.Бесконечно малая последовательность ограничена.

2.Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей дает бесконечно малую последовательность.

3.Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

17

4.Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

5.Если элементы бесконечно малой последовательности xn не равны нулю,

1

то последовательность будет бесконечно большой.

xn

6. Если xn бесконечно большая последовательность и xn 0 , то последова-

1

тельность – бесконечно малая.

xn

ПРИМЕРЫ бесконечно малых последовательностей:

1. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия xn = qn при |q| <1является бесконечно малой последовательностью, т.к. для любого > 0 из неравенства qn следует, что при n logq неравенство выполняется, начиная с номера

N loqq 1.

sin n

2. Последовательность – бесконечно малая, т.к. ее элементы являются

n

произведением элементов ограниченной последовательности sin n и бесконеч-

e n

4. Последовательность – бесконечно малая, т.к. является произведением

n

ПРИМЕР. При каких значениях последовательности {n } являются бесконечно большими или бесконечно малыми?

1). Последовательности {n } при 0 являются бесконечно большими, так как для любого M >0, если n M , выполняется неравенство n M ;

18

2). Последовательности {n } при <0 являются бесконечно малыми, так как

ВЫВОД. Последовательности {n } при 0 являются бесконечно большими, а при <0 - бесконечно малыми последовательностями.

1.9. Свойства сходящихся последовательностей

1. Элементы сходящейся последовательности имеют вид: xn a n ,

является ограниченной, но предела не имеет.

4. Сумма, разность, произведение и также частное (при условии, что

есть сходящаяся последовательность, и ее предел равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов исходных последовательностей.

вательность xn yn a b – бесконечно малая, и поэтому xn yn сходится и имеет своим пределом a b .

19

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами.

5.Если элементы сходящейся последовательности xn , начиная с некото-

рого номера, удовлетворяют неравенству xn b ( xn b ), то и предел этой по-

следовательности lim xn a удовлетворяет неравенству a b ( a b ).

n

Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей xn и yn , на-

чиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn yn , то их пределы

удовлетворяют такому же неравенству: lim xn lim yn .

n n

Если все элементы сходящейся последовательности xn находятся на от-

резке a,b , то и ее предел также находится на этом отрезке.

Пусть, начиная с некоторого номера, элементы последовательности yn удов-

летворяют неравенствам xn yn zn . Тогда последовательность yn сходится,

и lim yn a .

n

7.Последовательность xn1 , xn2 , , xnk , , извлечённая из элементов данной

последовательности x1, x1, , xn , с сохранением порядка, называется её подпоследовательностью.

Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

1.10. Монотонные последовательности

Последовательность xn называется неубывающей (невозрастающей),

если каждый последующий член этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего, т.е. если для всех номеров n справедливо неравенство xn xn 1 ( xn xn 1 ).

Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными последовательностями.

Если вместо нестрогих неравенств xn xn 1 и xn xn 1 имеют место строгие неравенства xn xn 1 или xn xn 1 , то последовательности называются возрас-

тающей и убывающей соответственно.

20

ПРИМЕРЫ

1). Последовательность 1,1,2,2,3,3,4,4,...,n,n,... - неубывающая.

n2

2). Последовательность – возрастающая, так как xn 1 xn .

n2 1

2n 1

n 1 2 1 n2 1 0 .

1

3). Последовательность – убывающая, так как

n

1.11. Признак сходимости монотонной последовательности

Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность xn ог-

раничена сверху (снизу), то она сходится.

Любая неубывающая последовательность всегда ограничена снизу первым элементом. Любая невозрастающая последовательность всегда ограничена сверху первым элементом.

Не всякая сходящаяся последовательность является монотонной.

Неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.

21

1.12. Число е как предел монотонной последовательности

Доказательство заключается в установлении следующего неравенства:

раниченной сверху. По признаку сходимости монотонной последовательности из этого делается вывод о существовании ее предела e 2,7 1828 1828 459045....

Эта формула допускает обобщение на произвольную бесконечно малую последовательность n с ненулевыми элементами

1

lim 1 n n e .

n

2.ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

2.1.Понятие функции. График функции. Способы задания функции

Если задано правило f , по которому каждому элементу x из множества

Множество изменения функции Y называется областью значений функции

(ОЗФ) и обозначается E f .

В этом случае переменная величина x называется независимой перемен-

ной или аргументом, величина y - функцией (от x ).

Множество точек x, f x плоскости Oxy называется графиком функции y f x .

Функция может быть задана: 1) аналитически; 2) графически; 3) с помощью таблицы.

22