
Chast_3_novyy
.pdfОбщая схема исследования функции и построения графика
1. Найти область определения функции; найти область значений функции;
найти точки пересечения графика с осями координат, указать интервалы знакопостоянства функции.
2.Проверить функцию на периодичность; проверить функцию на четность и нечетность.
3.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках; определить наличие горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот.
4.Вычислив первую производную, найти критические точки и интервалы монотонности функции, выделить точки локальных экстремумов.
5.Вычислив вторую производную, найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
6.Построить график.
240
9.БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Вся высшая математика / М.Л. Краснов [и др.]. М.: Едиториал УРСС, 2003.
Т.1.
2.Ильин В.А. Курс математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк.
М.: Наука, 1998. Т.1.
3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1.
4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл - Пресс, 2001. Т 1.
5.Игнатьева А.В. Курс высшей математики / А.В. Игнатьева,
Т.И. Краснощекова, В.Ф. Смирнов. М.: Высшая школа, 1968.
6.Мантуров О.В. Курс высшей математики / О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. М.: Высшая школа, 1986.
7.Сборник задач по математике для втузов / под ред. Ефимова А.Ф., Демидовича Б.П. М.: Наука, 1993. Т. 1.
8.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Л.А. Кузнецов. М.: Высшая школа, 1994.
241
Учебное пособие
Вигура Марина Александровна Кеда Ольга Анатольевна Мохрачева Людмила Павловна Рыбалко Александр Федорович Рыбалко Наталья Михайловна
МАТЕМАТИКА
Часть 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Редактор Н.П. Кубыщенко
Компьютерная вёрстка А.Ф. Рыбалко
____________________________________________________________________
Подписано в печать 15.05.2012 |
|
Формат 60x84 1/16 |
|
Бумага писчая |
Плоская печать |
Усл.печ.л. 12,8 |
|
Уч.-изд.л. 9,5 |
Тираж |
экз. |
Заказ |
____________________________________________________________________
Редакционно-издательский отдел УрФУ 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
ООО «Издательство УМЦ УПИ» 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 17

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
I. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
1.ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1.1.Элементы математической логики
Высказывания и операции над высказываниями. Равносильные формулы.
Основным понятием в математической логике является понятие элементарного высказывания. Под высказыванием понимают связное утверждение, которому можно приписать значение «ложь» или «истина».
ПРИМЕРЫ элементарных высказываний:
1.2 3 - «ложь»
2.Екатеринбург находится в Свердловской области - «истина»
3.Ворона – птица - «истина».
Высказывания, получающиеся из элементарных с помощью связок «если…, то…», «и», «или», «не» и др. , называются сложными .
ПРИМЕРЫ сложных высказываний :
1.Если числа а и b чётные, то и их сумма есть чётное число. Использована связка «если…, то….».
2.Студенты любят учиться и студенты любят отдыхать. Использована связка «и».
Элементарные высказывания обозначают малыми буквами x, y, z,.. ,
азначения высказываний «ложь» и «истина» заменяют на 0 и 1 соответственно. Над высказываниями определены следующие логические операции:
1.Отрицание. Отрицанием высказывания х называется высказывание х , которое истинно, если х ложно, и ложно, если х истинно. Операция отрицания описывается с помощью таблицы истинности
х х
1 0
01
2.Конъюнкция (логическое умножение). Конъюнкция двух высказываний х и y x y определяется следующей таблицей истинности:
x |
y |
x y |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7
3.Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкция высказываний х и y
x y имеет таблицу истинности
x |
y |
x y |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4. Импликация (логическое следование). Импликация высказываний х и yx y описывается таблицей истинности
x |
y |
x y |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
5.Эквиваленция (логическая тождественность). Эквиваленция высказываний
хи y x y имеет таблицу истинности
x |
y |
x y |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
С помощью логических операций над высказываниями из данного набора высказываний можно строить сложные высказывания. При этом элементарные высказывания и промежуточные сложные высказывания заключают в скобки. Сложные высказывания будем обозначать большими буквами.
ПРИМЕР
1. А 3 2 5 2 3 5 2 . Высказывание А имеет значение 1.
Расставив скобки иначе, например, так В 3 2 5 2 3 5 2 ,
получим совершенно другую логическую формулу. В нашем случае данное сложное высказывание В также имеет значение 1.
Обобщим первую логическую формулу следующим образом
х y x y , где х и y |
некоторые высказывания. Таблица истинности |
||||||||
этой формулы имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
y |
|
x y |
x y |
|
x y x y |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
1 |
|
т.е. формула х y x y |
тождественно истинна. |
|
|
8

Обобщение второй формулы даёт х y x y . Приведём таблицу истинности этой формулы
x |
y |
x y |
y x y |
x y x y |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Видно, что формулы А и В имеют разные таблицы истинности,
т.е. неравносильны.
Определение. Две логические формулы называются равносильными, если они принимают одинаковые значения на любом наборе значений входящих в них элементарных высказываний.
Равносильность формул будем обозначать символом , т.е. |
А В |
|||
означает равносильность формул А и В. |
|
|||
ПРИМЕРЫ основных равносильностей: |
|
|||
1. |
|
x х х . |
|
|
2. |
|
x х х . |
|
|
3. |
|
|
х . |
|
|
x |
|
||
4. |
x y х х . |
|
||
5. |
x y х х . |
|
Если высказывание y тождественно истинное, то
6.x y х ,
7.x y y ,
8.x х y - закон исключённого третьего.
Если высказывание y тождественно ложное, то
9.x y y ,
10.x y х ,
11.x х y - закон противоречия.
Равносильности могут выражать одни логические операции через другие и свойства самих операций:
12.x y x y y x .
13.x y х y .
_____
14. х у х у .
_____
15.х у х у .
16.Коммутативность конъюнкции и дизъюнкции
х у у х, |
х у у х . |
17. Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции
х у z x у z, |
х у z x у z . |
9
18.Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции
ху z x y x z .
19.Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции
ху z x y x z .
Структура высказываний. Предикаты и кванторы.
Ранее мы рассматривали высказывания как нераздельные целые. Однако высказывание, как и обычное повествовательное предложение, может иметь структуру – подлежащее, сказуемое, дополнение. В качестве «подлежащего» в высказывании выделяют субъект высказывания, т.е. то, о чём что-то утверждается, а в качестве «сказуемого» - предикат, т.е. то, что утверждается о субъекте. В качестве предикатов выступают высказывательные формы, зависящие от одной или нескольких переменных. Например, выражение 2 3 есть высказывание, имеющее значение 0. Если вместо 2 поставить х, т.е. записать х 3, то получим высказывательную форму, которая превращается в высказывание, имеющее конкретное значение, при подстановке вместо х конкретного числа. Таким образом, высказывательную форму можно рассматривать как функцию переменной х, принимающую значение 0 или 1. Высказывательная форма может зависеть от нескольких переменных. Например х y зависит от двух переменных х и у. Приведённые рассуждения поясняют приведённые ниже строгие определения предикатов.
Определение. Одноместным |
предикатом |
Р х |
называется |
произвольная |
||||
функция переменного |
х, |
определённая на |
множестве |
М |
и |
принимающая |
||
значения из множества |
0,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть х принимает значения из множества М1 , а |
у – |
из множества М 2 . |
||||||
Определение. Двухместным предикатом |
Р х, у |
называется произвольная |
||||||
функция переменных |
х |
и |
у, определённая на множестве |
М М1 М2 и |
принимающая значения из множества 0,1 .
Так как предикаты, как и высказывания, принимают значения 0 и 1, то к ним применимы все операции, определённые для высказываний. В частности:
1. Конъюнкцией предикатов |
Р х |
и Q х |
x M называется предикат |
|||
Р х Q х , который принимает значение 1 |
при тех и только тех значениях |
|||||
x M , при которых каждый из предикатов принимает значение 1. |
|
|||||
2. Дизъюнкцией предикатов |
Р х и Q х |
x M называется предикат |
||||
Р х Q х , который принимает значение 0 |
при тех и только тех значениях |
|||||
x M , при которых каждый из предикатов принимает значение 0. |
|
|||||
3. Импликацией предикатов |
Р х |
и |
Q х |
x M называется |
предикат |
|
Р х Q х , который принимает значение 0 при тех и только тех значениях |
||||||
x M , при которых одновременно |
Р х |
имеет значение 1, а |
Q х имеет |
|||
значение 0 и имеет значение 1 во всех остальных случаях. |
|
10
|
Р х называется |
_____ |
4. Отрицанием предиката |
предикат Р х , имеющий |
|
значение 1 при тех значениях |
x M , при которых |
Р х имеет значение 0 и |
имеющий значение 0 при тех значениях x M , |
при которых Р х имеет |
значение 1.
Для описания субъекта используются кванторы существования и всеобщности. С помощью кванторов описывается область изменения свобод-
ных переменных, входящих в предикат. |
|
|
|
Квантор существования обозначается символом |
. |
Выражение |
|
х М Р х читается как «существует x M , для которого Р х истинно». |
|||
Квантор всеобщности обозначается символом . Выражение |
х М Р х |
||
читается как «для любого x M |
Р х истинно». |
|
|
Для двухместных предикатов возможны следующие высказывания:
х у Р х, у , х у Р х, у , х у Р х, у , х у Р х, у .
При записи сложного высказывания предикат обычно заключают в скобки. Иногда поле действия кванторов отделяют от предиката двоеточием.
ПРИМЕРЫ
1. x х 1 x 0 . Истинное высказывание. Вариант записи
x : х 1 x 0 . Читается «для любого х из неравенства x 1 следует x 0. 2. x х R x Z . Ложное высказывание. Варианты записи
1) x : х R x Z ; 2) х R x Z . Читается « любое х одновременно
принадлежит множеству R и множеству Z».
3. x х R x Z . Истинное высказывание. Варианты записи
1) x : х R x Z ; 2) х R x Z . Читается « существует х, одновременно
принадлежащее множеству R и множеству Z» или «существует х принадлежащее множеству R, такое, что х принадлежит и множеству Z». 4. x y y x . Истинное высказывание. Вариант записи x y : y x .
Читается « для любого х существует у, такое, что у x ».
5. х y x y 1 xy 1 . Истинное высказывание. Вариант записи
x y : х y 1 xy 1 .Читается « существуют х и у, такие, что одновре-
менно выполнены неравенства |
х у 1 и ху 1 ». |
|
|
Отрицания сложных высказываний, записанных с помощью кванторов, |
|||
строятся по следующим правилам: |
|
||
_____________ |
_____ |
_____________ |
_____ |
x Х Р х х Х Р х , |
x Х Р х х Х Р х . |
ПРИМЕРЫ
11

1. Отрицанием высказывания x х 1 x 0 будет |
______________ |
x х 1 x 0 . |
|
_____ |
|
С учётом равносильностей x y х y и х у х у эту формулу можно
______________ ______________
записать так: x х 1 x 0 x х 1 x 0 x х 1 x 0 . 2. Отрицанием высказывания x y y x будет высказывание
_____________ _______
x y y x х у y x х у y x .
1.2. Множества и операции над множествами
Под множеством понимают совокупность элементов, объединённых общим свойством. Элементы множества обозначаются малыми буквами a1,a2 ,... ,
b1,b2 ,... , а сами множества большими буквами А, В... . Если х есть элемент множества Х, то отношение принадлежности элемента множеству обозначается символом , т.е. х Х . Если х не принадлежит множеству Х, то это записывается в виде x X . Множества А и В равны, т.е. А В , если они состоят из одних и тех же элементов, и А В в противном случае. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называется подмножеством множества В и множества А и В связаны отношением включения, которое обозначается символом , т.е. А В . Если при этом А В , то А называется собственным подмножеством и в этом случае для отношения включения используется символ , т.е. записываем А В . Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .
Задать множество можно непосредственным перечислением его элементов,
т.е. А |
|
1 |
2 |
|
|
а |
,а |
,... или путём описания общего свойства, которым обладают эле- |
|
менты некоторого основного множества U , т.е. А x U | x , где х |
есть описание свойства. Например, А x R| x 2 задаёт множество дейст-
вительных чисел, которые больше двух. Вместо вертикальной черты свойст-
во х иногда отделяют двоеточием, т.е. записывают в виде А x U : x .
Над множествами определены следующие операции: |
|
|
1). Объединением множеств А и В называется множество |
|
|
Ŕ B x| x A čëč |
x B . |
|
Иногда для операции объединения вместо символа используют знак |
и |
саму операцию называют сложением множеств, т.е. вместо А B записывают А B . Такая запись более наглядна и удобна для описания свойств операций и сложных операций.
|
Операция объединения обладает следующими свойствами: |
|
1. |
А B B A, |
A B B A |
2. |
А A A |
|
12

3.А A
4.Если A U , то А U U
5.А A B
6. А B C A B C, A B C A B C
Видно, что свойства 1 и 6 совпадают со свойствами коммутативности и ассоциативности операции сложения.
2). Пересечением множеств А и В называется множество
А B x| x A и x B .
Операцию пересечения иногда записывают без использования символа в виде произведения АВ, и саму операцию называют произведением множеств А
иВ.
Операция пересечения обладает следующими свойствами:
1. А B B A, |
AB BA |
2.А A A
3.А
4.Если A U , то А U А
5.A B А
6. А B C A B C, |
A BC AB C |
Операция пересечения дистрибутивна относительно операции объединения, т.е. 7. А B C A B А C , A B C АВ АC .
3). Разностью множеств А и В называется множество
А\ B x| x A и x B .
Разность А\ B записывают также в виде А B . Операция разности имеет следующие свойства:
1.А\ B C A\ B А\ C
2.А\ B C A\ B А\ C
Если А U , то разность U \ А называется дополнением множества А до
множества U и обозначается А. Операция дополнения рефлексивна, т.е.
___
А А. Если А U и В U , то операция дополнения имеет следующие свойства:
|
______ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
______ |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
А В |
|
|
|
|
|
, |
или |
А В |
|
|
|
|
|
||||
А |
В |
АВ |
|
|||||||||||||||
|
______ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_____ |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
А В |
|
|
|
, |
или |
АВ |
|
|
|
. |
|||||||
А |
В |
А |
В |
Свойства 1 и 2 называются законами двойственности.
13