Chast_3_novyy

Общая схема исследования функции и построения графика

1. Найти область определения функции; найти область значений функции;

найти точки пересечения графика с осями координат, указать интервалы знакопостоянства функции.

2.Проверить функцию на периодичность; проверить функцию на четность и нечетность.

3.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках; определить наличие горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот.

4.Вычислив первую производную, найти критические точки и интервалы монотонности функции, выделить точки локальных экстремумов.

5.Вычислив вторую производную, найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

6.Построить график.

240

9.БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Вся высшая математика / М.Л. Краснов [и др.]. М.: Едиториал УРСС, 2003.

Т.1.

2.Ильин В.А. Курс математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк.

М.: Наука, 1998. Т.1.

3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл - Пресс, 2001. Т 1.

5.Игнатьева А.В. Курс высшей математики / А.В. Игнатьева,

Т.И. Краснощекова, В.Ф. Смирнов. М.: Высшая школа, 1968.

6.Мантуров О.В. Курс высшей математики / О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. М.: Высшая школа, 1986.

7.Сборник задач по математике для втузов / под ред. Ефимова А.Ф., Демидовича Б.П. М.: Наука, 1993. Т. 1.

8.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Л.А. Кузнецов. М.: Высшая школа, 1994.

241

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

I. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

1.ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1.1.Элементы математической логики

Высказывания и операции над высказываниями. Равносильные формулы.

Основным понятием в математической логике является понятие элементарного высказывания. Под высказыванием понимают связное утверждение, которому можно приписать значение «ложь» или «истина».

ПРИМЕРЫ элементарных высказываний:

1.2 3 - «ложь»

2.Екатеринбург находится в Свердловской области - «истина»

3.Ворона – птица - «истина».

Высказывания, получающиеся из элементарных с помощью связок «если…, то…», «и», «или», «не» и др. , называются сложными .

ПРИМЕРЫ сложных высказываний :

1.Если числа а и b чётные, то и их сумма есть чётное число. Использована связка «если…, то….».

2.Студенты любят учиться и студенты любят отдыхать. Использована связка «и».

Элементарные высказывания обозначают малыми буквами x, y, z,.. ,

азначения высказываний «ложь» и «истина» заменяют на 0 и 1 соответственно. Над высказываниями определены следующие логические операции:

1.Отрицание. Отрицанием высказывания х называется высказывание х , которое истинно, если х ложно, и ложно, если х истинно. Операция отрицания описывается с помощью таблицы истинности

х х

1 0

01

2.Конъюнкция (логическое умножение). Конъюнкция двух высказываний х и y x y определяется следующей таблицей истинности:

7

3.Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкция высказываний х и y

x y имеет таблицу истинности

4. Импликация (логическое следование). Импликация высказываний х и yx y описывается таблицей истинности

5.Эквиваленция (логическая тождественность). Эквиваленция высказываний

хи y x y имеет таблицу истинности

С помощью логических операций над высказываниями из данного набора высказываний можно строить сложные высказывания. При этом элементарные высказывания и промежуточные сложные высказывания заключают в скобки. Сложные высказывания будем обозначать большими буквами.

ПРИМЕР

1. А 3 2 5 2 3 5 2 . Высказывание А имеет значение 1.

Расставив скобки иначе, например, так В 3 2 5 2 3 5 2 ,

получим совершенно другую логическую формулу. В нашем случае данное сложное высказывание В также имеет значение 1.

Обобщим первую логическую формулу следующим образом

8

Обобщение второй формулы даёт х y x y . Приведём таблицу истинности этой формулы

Видно, что формулы А и В имеют разные таблицы истинности,

т.е. неравносильны.

Определение. Две логические формулы называются равносильными, если они принимают одинаковые значения на любом наборе значений входящих в них элементарных высказываний.

Если высказывание y тождественно истинное, то

6.x y х ,

7.x y y ,

8.x х y - закон исключённого третьего.

Если высказывание y тождественно ложное, то

9.x y y ,

10.x y х ,

11.x х y - закон противоречия.

Равносильности могут выражать одни логические операции через другие и свойства самих операций:

12.x y x y y x .

13.x y х y .

_____

14. х у х у .

_____

15.х у х у .

16.Коммутативность конъюнкции и дизъюнкции

17. Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции

9

18.Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции

ху z x y x z .

19.Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

ху z x y x z .

Структура высказываний. Предикаты и кванторы.

Ранее мы рассматривали высказывания как нераздельные целые. Однако высказывание, как и обычное повествовательное предложение, может иметь структуру – подлежащее, сказуемое, дополнение. В качестве «подлежащего» в высказывании выделяют субъект высказывания, т.е. то, о чём что-то утверждается, а в качестве «сказуемого» - предикат, т.е. то, что утверждается о субъекте. В качестве предикатов выступают высказывательные формы, зависящие от одной или нескольких переменных. Например, выражение 2 3 есть высказывание, имеющее значение 0. Если вместо 2 поставить х, т.е. записать х 3, то получим высказывательную форму, которая превращается в высказывание, имеющее конкретное значение, при подстановке вместо х конкретного числа. Таким образом, высказывательную форму можно рассматривать как функцию переменной х, принимающую значение 0 или 1. Высказывательная форма может зависеть от нескольких переменных. Например х y зависит от двух переменных х и у. Приведённые рассуждения поясняют приведённые ниже строгие определения предикатов.

принимающая значения из множества 0,1 .

Так как предикаты, как и высказывания, принимают значения 0 и 1, то к ним применимы все операции, определённые для высказываний. В частности:

10

значение 1.

Для описания субъекта используются кванторы существования и всеобщности. С помощью кванторов описывается область изменения свобод-

Для двухместных предикатов возможны следующие высказывания:

х у Р х, у , х у Р х, у , х у Р х, у , х у Р х, у .

При записи сложного высказывания предикат обычно заключают в скобки. Иногда поле действия кванторов отделяют от предиката двоеточием.

ПРИМЕРЫ

1. x х 1 x 0 . Истинное высказывание. Вариант записи

x : х 1 x 0 . Читается «для любого х из неравенства x 1 следует x 0. 2. x х R x Z . Ложное высказывание. Варианты записи

1) x : х R x Z ; 2) х R x Z . Читается « любое х одновременно

принадлежит множеству R и множеству Z».

3. x х R x Z . Истинное высказывание. Варианты записи

1) x : х R x Z ; 2) х R x Z . Читается « существует х, одновременно

принадлежащее множеству R и множеству Z» или «существует х принадлежащее множеству R, такое, что х принадлежит и множеству Z». 4. x y y x . Истинное высказывание. Вариант записи x y : y x .

Читается « для любого х существует у, такое, что у x ».

5. х y x y 1 xy 1 . Истинное высказывание. Вариант записи

x y : х y 1 xy 1 .Читается « существуют х и у, такие, что одновре-

ПРИМЕРЫ

11

С учётом равносильностей x y х y и х у х у эту формулу можно

______________ ______________

записать так: x х 1 x 0 x х 1 x 0 x х 1 x 0 . 2. Отрицанием высказывания x y y x будет высказывание

_____________ _______

x y y x х у y x х у y x .

1.2. Множества и операции над множествами

Под множеством понимают совокупность элементов, объединённых общим свойством. Элементы множества обозначаются малыми буквами a1,a2 ,... ,

b1,b2 ,... , а сами множества большими буквами А, В... . Если х есть элемент множества Х, то отношение принадлежности элемента множеству обозначается символом , т.е. х Х . Если х не принадлежит множеству Х, то это записывается в виде x X . Множества А и В равны, т.е. А В , если они состоят из одних и тех же элементов, и А В в противном случае. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называется подмножеством множества В и множества А и В связаны отношением включения, которое обозначается символом , т.е. А В . Если при этом А В , то А называется собственным подмножеством и в этом случае для отношения включения используется символ , т.е. записываем А В . Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .

Задать множество можно непосредственным перечислением его элементов,

есть описание свойства. Например, А x R| x 2 задаёт множество дейст-

вительных чисел, которые больше двух. Вместо вертикальной черты свойст-

во х иногда отделяют двоеточием, т.е. записывают в виде А x U : x .

саму операцию называют сложением множеств, т.е. вместо А B записывают А B . Такая запись более наглядна и удобна для описания свойств операций и сложных операций.

12

3.А A

4.Если A U , то А U U

5.А A B

6. А B C A B C, A B C A B C

Видно, что свойства 1 и 6 совпадают со свойствами коммутативности и ассоциативности операции сложения.

2). Пересечением множеств А и В называется множество

А B x| x A и x B .

Операцию пересечения иногда записывают без использования символа в виде произведения АВ, и саму операцию называют произведением множеств А

иВ.

Операция пересечения обладает следующими свойствами:

2.А A A

3.А

4.Если A U , то А U А

5.A B А

Операция пересечения дистрибутивна относительно операции объединения, т.е. 7. А B C A B А C , A B C АВ АC .

3). Разностью множеств А и В называется множество

А\ B x| x A и x B .

Разность А\ B записывают также в виде А B . Операция разности имеет следующие свойства:

1.А\ B C A\ B А\ C

2.А\ B C A\ B А\ C

Если А U , то разность U \ А называется дополнением множества А до

множества U и обозначается А. Операция дополнения рефлексивна, т.е.

___

А А. Если А U и В U , то операция дополнения имеет следующие свойства:

Свойства 1 и 2 называются законами двойственности.

13