Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Chast_3_novyy

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Расписываем факториалы по формуле n! 1 2 3 ... n

	(n 1)! n!
lim

n (n 2)! (n 3)!

lim	1 2 3 ... n (n 1) 1 2 3 ... n
		2) 1 2 3 ... (n 2) (n 3)
n 1 2 3 ... (n 1) (n
lim	1 2 3 ... n (n 1 1)			lim	n! (n 2)

n 1 2 3 ... (n 2) (1 n 3)				n (n 2)! (n 4)
lim	n 2		0.

n (n 1) (n 2) (n 4)

Вычислите предел числовой последовательности

lim

n! n 2 !

n 1 ! n 2

РЕШЕНИЕ:

n! n

2 !

n 2

lim

n! 1

n 2

! n

1 !

1 n

n 1

lim

n 1 n2 3n 2

lim

n3 3n2

n 1 n3 3n2 2n

n n3 3n2 2n 1

Вычислите предел числовой последовательности

2 4 ... 2n

lim

n .

n 3

РЕШЕНИЕ:

Числитель дроби представляет собой сумму n

первых членов арифметической прогрессии, которая

равна

-2

a1 an

2 2n

n 1 n n, поэтому

2 4 ... 2n

(1 n)n

lim

n 3

lim

n n 3

Вычислите предел lim

РЕШЕНИЕ:

n n

n 1 1

n 1

Тогда

1 n 1

e .

lim

n 1

Вычислите предел числовой последовательности

4n2 4n 1 1 2n

lim

n 4n

РЕШЕНИЕ:

4n2 4n 1 1 2n

выделим единицу

lim

в основании степени

n 4n

2n 4

1 2n

lim

2n 3

2n 4

4n2 2n 3

2n 4

1 2n

2n 4

4n2 2n 3

lim

4n2 2n 3

2n 4

1 2n

2n 4

4n2 2n 3

lim

2n 4

2n 3

по известному пределу последовательности

основание степени равно числу e

2n 4

1 2n

lime4n2 2n 3

ниже будет доказано, что в силу свойств

функции ex (непрерывность функции)

это выражение можно записать в виде

lim

2n 4

1 2n

n 4n2 2n 3

n 1 n 2

Вычислите предел lim

РЕШЕНИЕ:

n n 2

n 2

n 1

( n 2 )

n 2

lim

n 2

(n 2)

lim

e .

n 2

Таким образом, в последовательности

( n 2 )

n 2

основание стремится к e, а

n 2

последовательность

расходится и

n 2

при n . Таким образом, получаем

n 2

n 1

n 2

0 .

lim

n n 2

4.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

№

Задание

Ответ

Докажите, что

lim

15x2 2x 1

(найдите ).

РЕШЕНИЕ:

x 1/ 3

По определению предела функции:

А lim f x

0 x

x a

f x А

15x2 2x 1

15x 3 8

x 1/ 3

15x 5

x 1/ 3

1). Возьмем произвольное 0.

2). Положим = . 15

3). Возьмем x X . Тогда если 0 x a , то

0 x a f x À , что и требовалось

доказать.

x 2

Вычислите предел lim

x 0

РЕШЕНИЕ:

x 2

lim

x 0 x

x3 4x2 3x 18

Вычислите предел lim

x3 5x2

x 3

3x 9

РЕШЕНИЕ:

4x2 3x 18

lim

5x2

3x 9

x 3 x3

Так как число 3 является корнем числителя и

знаменателя, поделим числитель и знаменатель на

x 3.

x3 4x2 3x 18

x 3

x3 3x2

x2 x 6

x2 3x

6x 18

x3 5x2 3x 9

x 3

x3 3x2

x2 2x 3

2x2 3x

2x2 6x

3x 9

x3 4x2 3x 18

lim

x3 5x2

3x 9

x 3

x2 x 6

lim

;

x 3

найдем корни квадратных трехчленов

lim

x 3 x 2

lim

x 2

x 3

x 1

x 3

x 1

3 4

Вычислите предел lim

x 81 9

РЕШЕНИЕ:

Пусть t 4

. Тогда

3 t

lim

x 81 9 x

t 3 9 t2

t 3 3 t

Вычислите предел

lim

1 x .

РЕШЕНИЕ:

Домножим и поделим на сопряженную величину:

x lim

x2 1

x 2

lim

x2 1 x

lim

x2 1 x2

lim

1 x

x2 1 x

Вычислите предел lim

x 13

x 1

x 3

x2 9

РЕШЕНИЕ:

Домножим числитель и знаменатель на величину,

сопряженную числителю:

x 13

x 1

lim

x 3

x 13 4

lim

x 1

x 3

x 13

x 1

3 x2

x 3

lim

8 x 3

x 3

Определите порядок малости x

3 x3

1 x

x x при x 0 .

относительно

РЕШЕНИЕ:

3 x3

1 x

lim

3 const , откуда

x 0

x 0 1 x

x 2

x 3 x

, т.е. порядок малости x

относительно x x при x 0 равен

Докажите,

что

x x

имеет

второй

порядок малости относительно x при x 0 ,

если x 1/ 1 x ,

x 1 x .

РЕШЕНИЕ:

1 1 x2

x x

1 x

1, x

x x2

lim

x 0

x 0 1 x

при x 0 .

Вычислите предел lim

tg x

x 0

Применим первый замечательный предел:

tgx

sin x

lim

cos x

x 0

lim

sin x

lim

x 0

cos x

cos0

loga 1 x

Докажите соотношение: lim

, где

ln a

x 0

a 0, a 1.

РЕШЕНИЕ:

loga 1 x

ln 1 x

lim

x 0

x ln a

lim

ln 1 x

lim ln

1 x x

ln a x 0 x

ln a x 0

1			1	1			1

		ln lim 1 x x				ln e		.
	ln a				ln a
		x 0					ln a

Докажите соотношение: lim ax 1 ln a .

x 0 x

РЕШЕНИЕ:

Заменим переменную:

ax 1 y,

ax 1 y, x loga 1 y ,

lim y lim ax 1 0, (см. предыдущее упр.)

x 0

ax 1

ln a .

lim

loga

x 0

y 0

1 y

Докажите соотношение: lim

1 x a 1

a .

РЕШЕНИЕ:

x 0

Сделаем замену переменных 1 x a

et . Тогда .

1 x a 1

et 1

a .

lim

x 0

t 0

ea 1

Докажите соотношение: lim

1 x

РЕШЕНИЕ:

x 0

lim

1 x

lim

1 x

x 0

1 x 1

lim

1 x 1

lim

x 0 x

1 x 1

x 0

1 x 1 2

arcsin x /

Вычислите предел lim

1 x2

ln 1 x

x 0

РЕШЕНИЕ:

Используя ряд эквивалентных бесконечно-малых

при x 0 , можно записать:

arcsin

x , ln 1 x x ;

1 x2

arcsin x /

1 x2

lim

ln 1 x

x 0

x 0 x

Вычислите предел lim

xsin 2x

1 cos x 3

x 0

100

РЕШЕНИЕ:

lim

xsin 2x

lim

xsin 2x

lim

xsin 2x

1 cos x 3

x 0

1 cos x

x 0

2sin

2 x

x 2x

lim

x 0

Вычислите предел lim

cos3x cos x

РЕШЕНИЕ:

x p

tg2 2x

x t p

lim

cos3x cos x

x p

tg2 2x

t 0

lim

cos 3t 3p cos t p

x p

tg 2t

1 cos3t

cost 1

lim cos3t cost lim

t 0

tg2 2t

t 0

tg2 2t

2sin

2 3t

2sin

lim

tg2 2t

t 0

4t2

Вычислите предел lim

23x

35x

РЕШЕНИЕ:

x 0 sin 7x 2x

3ln 2 5ln 3

lim

sin 7x 2x

x 0

lim

3x ln 2 5x ln 3

3ln 2 5ln 3

x 0

7x 2x

sin

Вычислите предел

lim

РЕШЕНИЕ:

x 2

sin x 1

sin t 2

sin

x t

ln 2

lim

t x

lim

sin x 1 2

t 0

sin t 1

101

sin 2t

sin

lim

t 0

sin x 1 1 2 ln 2

t 0

sint

2ln 2

lim

t ln 2

ln 2

t 0

Вычислите предел lim

ex e

x 1 sin

РЕШЕНИЕ:

x t 1

lim

et 1 e

x 1

sin

t 0

sin t 1

lim

sin t

t 2

t 0

t 0 t

sin2 x

Вычислите предел lim

x 0

РЕШЕНИЕ:

sin

1 x 2

lim

x 0

1 x 5

sin2 x

lim 1

x 0

1 x

1 x2 5

x2 2x 5x

2x 5x

1 x2

sin2 x

lim 1

x 0

1 x

x2 2x 5x

lim

lime

1 x2

sin2 x

ex 0

1 x2 5x

sin2 x

x 0

lim 2x 5x

lim

x ln 2 ln5

e0 1.

ex 01 x2 5x

ex 0

1 x2 5x

2x 1

ln 3 2 x

ln 2 x

Вычислите предел lim

x 1

102


РЕШЕНИЕ:
2x 1		ln 3 2x		x t 1

		ln 2 x
lim			1
lim			1
x 1
x 1				t 0
	x			t 0

ln 3 2 t 1

2 t 1 1

2 t 1

lim

t 0

t 1

1 2t

ln 2t 5

ln 1 t

lim

lim 1

t 0

t 1 t

ln 2t 5

2t 5

t 1

ln 1 t

t 1

ln 1 t

lim 1

lime

t 0

ln 2t 5

ln 5 ln 1

lim

e t 0

t 1

ln 1 t

lim

e ln5

2 x

x 1

Вычислите предел lim

x 1

РЕШЕНИЕ:

2 x

x 1

t 1

2 2t

2 t

lim

x 1

t 0

x 1

2 t

4e .

lim

t 0

4.3. ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

№		Задание			Ответ
	Найдите область определения и множество
		f x
	значений функции	f x	4x x2 .
43	ООФ находим из условия 4x x2 0			,	x 0, 4 ,
	ООФ находим из условия 4x x2 0			,
	x x 4 0 x 0, 4 .
	x x 4 0 x 0, 4 .				y 0, 2

103

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.11.2018523.26 Кб18chast2.doc
#
06.11.2018662.53 Кб16chast3.doc
#
06.11.2018832 Кб10Chast5.doc
#
29.03.20154.38 Mб170Chast_10_TV.pdf
#
23.02.20154.6 Mб27Chast_2_VA_i_AG.pdf
#
23.02.20154.66 Mб30Chast_3_novyy.pdf
#
23.02.2015220.05 Кб13Chast_7_4_RR.pdf
#
23.02.20152.2 Mб32Chast_8_Teoria_polya.pdf
#
01.05.20252.76 Mб1Chemical engineering.doc
#
01.03.2025457.22 Кб0chertov9-46.doc
#
22.02.20151.39 Mб28chistovik.docx