ПП_15_Неопр_инт_1
.pdfПП 15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1.Непосредственное интегрирование.
2.Замена переменной.
3.Интегрирование по частям.
ОСНОВНЫЕОПРЕДЕЛЕНИЯИФОРМУЛЫ Свойства неопределенного интеграла
Из определения неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1) F ′(x)= f (x) или dF (x)= f (x)dx ;
2)∫ dF (x)= F (x)+C ;
3)∫ Cf (x) dx =C ∫ f (x)dx ;
4)∫ f (x)± g (x) dx = ∫ f (x)dx ±∫ g (x)dx,
где F (x) - произвольная первообразная, а C - постоянная.
Поскольку F (x) имеет производную, она обязана быть непрерывной.
Таблица дифференциалов
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№ |
f (x) |
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df (x) |
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1 |
0 |
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0 |
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||||
2 |
С= const |
0 |
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|||||
3 |
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x |
|
|
dx |
|||||
4 |
xα , x > 0, α ≠−1 |
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αxα−1dx |
|||||||
4.1 |
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1 |
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− |
dx |
||||
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|
x2 |
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||||||
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|
x |
||||||||
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4.2 |
|
x |
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|
dx |
|||||
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|
2 x |
|||||||
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||||||
5 |
ax , a >0,a ≠1 |
|
a x ln adx |
|||||||
5.1 |
ex |
|
exdx |
|||||||
6 |
loga x , |
|
loga e |
dx |
||||||
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|||||||
|
x >0,a >0,a ≠1 |
|
x |
|||||||
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||||||
6.1 |
ln x |
|
|
dx |
|
|||||
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|
x |
||||
7 |
sin x |
|
cos xdx |
|||||||
8 |
cos x |
− sin xdx |
1
9 |
tg x , x ≠ π +πn,n Z |
|
|
dx |
|
= (1 +tg 2 x)dx |
|||||
|
|
cos2 |
x |
||||||||
|
2 |
|
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|
||
10 |
ctg x , x ≠πn,n Z |
− |
dx |
= −(1+ctg 2 x)dx |
|||||||
|
|
sin2 x |
|||||||||
11 |
arcsin x , x (−1;1) |
|
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|
dx |
||
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|
1 − x 2 |
|||
12 |
arccos x , x (−1;1) |
|
|
|
− |
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|||||
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13 |
arctg x |
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|
dx |
||
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|
1 + x2 |
|
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||
14 |
arcctg x |
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|
− |
|
dx |
|||
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1 + x2 |
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Таблица неопределенных интегралов ∫ f (x)dx = F (x)+C
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№ |
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∫ f (x)dx |
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F (x)+C |
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1 |
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∫0dx |
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C |
||||||||||||||
2 |
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∫dx |
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x +C |
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|||||||
3 |
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∫x α dx |
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xα+1 |
|||||||||||||||||||||
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|
+C |
|||||
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|
α +1 |
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4 |
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∫ |
|
dx |
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|
|
ln |
|
|
x |
|
|
+C |
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|
||||||||||||||||||
|
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|
x |
|
|
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|
|
|
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5 |
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∫a x dx |
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a x |
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+C |
||||||||
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|
ln a |
||||||||||||
5а |
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|
∫e x dx |
|
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|
e x +C |
|||||||||||||||||||
6 |
|
∫sin xdx |
|
|
|
|
−cos x +C |
|||||||||||||||||||||||
7 |
|
∫cos xdx |
|
|
|
|
sin x +C |
|||||||||||||||||||||||
8 |
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
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|
|
|
tgx +C |
||||||||||||||||
|
|
|
cos2 x |
|
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|
|
|
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|||||||
9 |
|
∫ |
|
|
dx |
|
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|
- ctgx +C |
||||||||||||||||||
|
|
sin 2 x |
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|||||||
10 |
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|
dx |
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1 |
|
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|
|
x |
|
|||||||||
|
∫a2 + x2 |
|
|
a arctg a +C |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
11 |
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|
dx |
|
|
1 |
|
|
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|
x + a |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∫a2 − x2 |
|
|
|
ln |
|
|
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|
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|
|
+C |
|||||||||||||
|
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|
2a |
|
|
x −a |
|
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||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|||||||||
12 |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||
|
|
|
a |
2 |
− x |
2 |
|
|
arcsin a +C |
|||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
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||||
13 |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
ln x + x2 −a2 +C |
||||||||||||||||||||
|
|
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|
x2 −a 2 |
|
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|
|
|
|
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|
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|
2
14 |
∫ |
|
|
|
dx |
|
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|
ln x + x2 + a2 +C |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a2 + x2 |
|
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|||||||
15 |
|
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|
dx |
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||
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||||||||||
|
|
|
∫sin x |
|
|
|
|
|
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|
ln |
tg |
2 |
|
|
|
|
+C |
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|||||||||||||||||||||||
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|||
16 |
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|
∫ |
|
|
dx |
|
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|
ln |
|
|
tg |
x |
+ |
π |
|
+C |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
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4 |
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||||||||||||||||
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|
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|||||||||||||
17 |
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|
∫tgx dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−ln |
|
cos x |
|
+C |
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
||||||||
18 |
|
|
∫ctgx dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
sin x |
|
+C |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
18 |
|
|
∫shx dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
chx +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
19 |
|
|
∫chx dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
shx +C |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
20 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
thx +C |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||
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|
∫ch 2 x |
|
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|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||
21 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−cthx +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫sh 2 x |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
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|
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|||||||
22 |
∫ |
a2 − x2 dx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
a2 − x2 |
+ |
|
a2 |
|
arcsin |
x |
|
+C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
2 |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
23 |
∫ a2 + x2 dx |
|
|
x |
|
a |
2 |
|
+x |
2 |
+ |
|
a2 |
ln |
|
x + |
x |
2 |
+a |
2 |
|
+C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
2 |
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|
|
|
|
|
|
2 |
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||
24 |
∫ x2 −a2 dx |
|
x |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
2 |
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|
2 |
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|
|||||||||||||||||
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|
x |
|
|
−a |
|
|
− |
|
|
|
|
ln |
x + |
x |
|
|
−a |
|
|
+C |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2 |
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||
25 |
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∫ln x dx |
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x(ln x −1)+C |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
26 |
∫arcsin x dx |
|
|
|
|
|
x arcsin x + |
|
1− x2 |
|
+C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 |
∫arccos x dx |
|
|
|
|
|
x arccos x − |
|
1 − x2 |
|
+C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 |
∫arctg x dx |
|
|
|
|
x arctg x |
− |
|
|
1 |
ln 1 + x2 |
) |
+C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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( |
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|
|
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|
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|||||||||||
29 |
∫arcctg x dx |
|
|
|
|
x arcctg x + |
1 |
ln 1 + x |
2 |
) |
+C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
( |
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|
|
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|||||||||||||
30 |
∫ |
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
arctg |
|
x |
+C |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
(x2 +a2 )2 |
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2a2 |
|
x2 + a2 |
|
|
|
2a3 |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
∫eax sin bx dx |
|
|
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|
a sin bx −b cos bx |
eax +C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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a2 +b2 |
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|
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||||||||||||||||
32 |
∫eax cos bx dx |
|
|
|
|
|
|
b sin bx + a cos bx eax |
+C |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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a2 +b2 |
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3
15.1. Непосредственное интегрирование
Отыскание неопределенных интегралов с помощью свойств интегралов, таблицы интегралов и алгебраических преобразований подынтегральной функции называется непосредственным интегрированием.
∫ |
f (ax )dx = t = ax, x = |
|
t |
|
, dx = |
|
1 |
|
dt = |
1 |
∫ |
f (t )dt = |
1 |
F (t ) |
+C = |
1 |
F |
(ax)+C , |
|||||||||
|
a |
|
|
a |
a |
a |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
a |
|
|||||||
|
t |
|
= x +b, |
|
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|
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|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
=∫ f (t )dt = F (t )+C |
= F (x +b)+C , |
|
|||||||||||||
|
∫ f (x +b)dx = x =t −b, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
|
dx = dt |
|
|
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||||||||||||
|
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|
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|
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|
t = ax +b, |
|
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|
|
|
dt |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫ f (ax +b)dx = x |
= |
|
|
|
− |
|
, |
= ∫ f (t ) |
|
= |
|
F (t )+C = |
|
F (ax +b)+C |
||||||||||||
|
a |
a |
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx = |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
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|
ПП15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
15.1.Непосредственное интегрирование
№ п/п |
Задание |
Ответ |
|
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|
|
∫ |
|
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|
x |
|
dx . |
|
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|||
|
Найдите |
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1 |
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||
ПП 15.№1. |
РЕШЕНИЕ: |
|
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|
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|
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|
|
|
x1/ 2 |
+C |
|
|||||||||||
x−1/ 2dx = x1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
1 dx = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||
|
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Найдите ∫ |
|
|
x |
2 dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||
ПП 15.№2. |
∫ |
|
x2dx |
= ∫ |
|
|
x2 +4 −4 |
dx |
= |
|
|
|
|
x −2arctg |
x |
|
+C . |
||||||||||||||||
x2 +4 |
|
|
|
|
|
x2 +4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= ∫ dx −4∫ |
|
|
|
|
dx |
|
= x −4 |
|
1 |
arctg |
x |
+C |
= |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
+ |
4 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||
|
= x −2arctg |
x |
|
+C. |
|
|
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||||||||||||
|
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||||||||||||||
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|
2 |
|
|
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|
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|
Найдите ∫2x 32 x 53x dx . |
|
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||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
(2250) |
x |
|
|
|
|||||||||||
ПП 15.№3. |
∫2 |
x |
2x |
|
|
3x |
dx |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
dx = |
|
+C |
|||||||||||
|
3 |
5 |
|
= ∫(2 3 |
5 ) |
|
dx = ∫(2250) |
ln 2250 |
|||||||||||||||||||||||||
|
= |
(2250)x |
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ln 2250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
Найдите ∫(x5 + x7 +8 x )dx . |
|
|
|
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|
||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
x6 |
x8 |
16x3/ 2 |
||||
ПП 15.№4. ∫(x5 + x7 +8 |
x )dx = |
x6 |
+ |
x8 |
|
+ |
8x3/ 2 |
+C = |
|
+ |
|
+ |
|
+C |
|
|
6 |
8 |
3 |
||||||||||||
|
|
3/ 2 |
|||||||||||||
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=x6 + x8 +16x3 / 2 +C.
6 8 3
Найдите ∫ sin2 xdxcos2 x . РЕШЕНИЕ:
Вычислим интеграл двумя способами и дифференцированием полученной первообразной убедимся, что ответ может быть представлен в различном виде.
1) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
sin2 x +cos2 x |
dx |
= |
|
|||||||||||||||||||||
|
sin |
2 |
x cos |
2 |
x |
|
|
|
sin |
2 |
x cos |
2 |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= ∫ |
|
dx |
|
+ |
∫ |
|
|
dx |
|
|
= tg x −ctg x +C; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
x |
|
|
2 |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= 4∫ |
|
|
|
dx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
sin |
2 |
x cos |
2 |
x |
|
|
sin |
2 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x −ctg x +C |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
d (2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ПП 15.№5. = 2∫ |
|
|
|
|
|
|
=−2ctg2x +C. |
|
|
|
|
|
|
или |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
(2x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 ctg 2x +C . |
||||||||
Вычислим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(tg x −ctg x +C)′ = |
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||
1) |
cos2 |
|
x |
|
sin2 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos2 x sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(−2 ctg 2x +C) |
|
=−2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
sin |
2x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos2 x sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В правильности ответа всегда можно |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
убедиться. |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
Найдите ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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sin x +cos x |
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РЕШЕНИЕ: |
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dx |
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= x + |
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x |
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π |
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ПП 15.№6. |
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t |
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, |
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+ |
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+C |
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= |
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= |
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4 |
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= |
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ln |
tg |
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∫sin x +cos x |
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2 ∫ |
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π |
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dt = dx |
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2 |
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2 |
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8 |
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sin |
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x + |
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4 |
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||||
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= |
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1 |
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ln |
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tg |
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t |
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+C = |
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1 |
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ln |
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tg |
x |
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π |
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+C . |
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2 |
2 |
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2 |
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8 |
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2 |
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Найдите ∫ |
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1+ x2 + 1−x2 |
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dx . |
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1−x |
4 |
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РЕШЕНИЕ: |
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∫ |
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1+ x2 |
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+ 1−x2 |
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dx = |
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arcsin x + |
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1−x4 |
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ПП 15.№7. |
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+ln(x + 1+ x2 )+ |
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= ∫ |
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1+ x2 |
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+ 1−x |
2 |
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dx |
= |
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1−x |
2 |
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1+ x |
2 |
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+C |
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= ∫ |
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dx |
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+∫ |
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dx |
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= |
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1−x |
2 |
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1 |
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+ x |
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=arcsin x +ln(x + 1+ x2 )+C. |
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1 |
+ |
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2 |
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Найдите ∫ |
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2x |
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dx |
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2 |
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2 |
) |
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x |
( |
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1+ x |
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РЕШЕНИЕ: |
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1 |
+arctg x +C |
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ПП 15.№8. |
∫ |
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1+2x2 |
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dx = ∫ |
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1+x2 +x2 |
dx = |
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− |
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x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x2 |
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1+x2 |
) |
|
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|
x |
2 |
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1+x2 |
) |
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( |
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( |
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|||||||||
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= ∫ |
dx |
+ |
∫ |
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dx |
|
|
|
=− |
1 |
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+arctg x +C. |
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2 |
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1+x |
2 |
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x |
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|
x |
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Найдите ∫ |
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dx |
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2x |
2 |
+3 |
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РЕШЕНИЕ: |
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1 |
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2x |
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ПП 15.№9. |
∫ |
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dx |
= |
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1 |
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∫ |
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dx |
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= |
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arctg |
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+C |
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2 |
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6 |
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3 |
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2x2 +3 |
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x2 +3/ 2 |
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= |
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arctg |
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x |
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+C |
= |
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arctg |
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2x |
+C. |
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2 |
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3/ 2 |
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3/ 2 |
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6 |
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3 |
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6
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Найдите ∫ |
22x−1 |
−32x+3 |
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dx |
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2 x |
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РЕШЕНИЕ: |
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22x−1 −32x+3 |
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−2 x |
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−2 x |
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∫ |
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3 |
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−27 2 |
dx = |
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2 x |
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6 |
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−2 x |
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ПП 15. |
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3 |
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1 |
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1 |
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x |
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x |
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4ln 3 |
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№10. |
= |
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∫ |
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dx −27 ∫ |
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dx = |
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−2 x |
+C |
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2 |
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4 |
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1 |
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− |
2ln 2 |
2 |
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1 1 |
x |
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1 |
x |
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= |
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−27 |
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+C = |
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1 |
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2 9 |
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ln |
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−2 x |
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−2 x |
+C. |
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=− |
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4ln 3 |
2ln 2 |
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15.2. Замена переменной в неопределенном интеграле (подстановка, подведение под знак дифференциала)
Замена переменной – один из самых эффективных приемов интегрирования. Этот прием основывается на следующей теореме.
Если
1)функция u =ϕ(x) определена и дифференцируема на некотором множестве {x}, а {u} – множество всех значений этой функции,
2)для функции f (u) существует на множестве {u} первообразная функции
F (u):
∫f (u)du = F (u)+C ,
то на множестве {x} для функции f ϕ(x) ϕ′(x) существует первообразная функция, равная F (ϕ(x)):
∫ |
|
( ) |
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|
f ϕ(x) |
ϕ′(x)dx = F ϕ(x) +C |
. |
|
|
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|
Множества {x} и {u} представляют собой отрезки, интервалы, полупрямые или прямые.
ПП15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
15.2.Замена переменной
№ п/п |
Задание |
Ответ |
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ПП 15.№11. |
Найдите ∫ cos |
x |
dx . |
7 sin |
x |
+C |
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7
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РЕШЕНИЕ: |
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x |
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dx |
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x |
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t = |
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dt = |
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∫ |
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cos |
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dx = |
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7 |
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7 |
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= |
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dx =7 dt |
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=7∫cost dt =7 sin t +C =7 sin |
x |
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+C. |
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7 |
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Найдите ∫sin (8x −2)dx . |
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1 cos (8x −2)+C |
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ПП 15.№12. |
РЕШЕНИЕ: |
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− |
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∫sin (8x −2)dx = − |
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1 |
cos (8x −2) |
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+C . |
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8 |
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8 |
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Найдите ∫ |
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x4 |
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dx . |
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+ x |
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РЕШЕНИЕ: |
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dt |
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t |
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= |
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dt = 5x dx, |
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t |
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∫t−1 / 2 dt = |
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t1 / 2 |
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2 |
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3 + x5 + C. |
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Найдите ∫ |
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3 ln2 x |
dx . |
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РЕШЕНИЕ: |
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x |
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3 |
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t =ln x, |
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x |
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+C |
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∫ |
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dx |
= |
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dx |
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= |
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∫ |
t |
2 / 3 |
dt = |
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x |
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x |
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t5 / 3 |
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= |
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+C = |
3 ln5 / 3 |
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x +C. |
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5 / 3 |
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Найдите ∫(2x +3)2 (1− x)8 dx . |
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РЕШЕНИЕ: |
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t =1 − x, x =1−t, |
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25 |
(1 − x)9 + |
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2 |
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dx = |
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dx = −dt, |
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9 |
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∫(2x +3) |
(1 − x) |
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= |
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+2 1 |
− x |
10 |
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− |
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ПП 15.№15. |
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) |
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2x +3 = −2t + |
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(1 − x)11 + C |
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= −∫(5 − |
2t ) |
dt |
= |
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t |
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25 |
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=−∫(25t8 −20t9 +4t10 )dt =− |
t9 + |
t10 |
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t11 |
= |
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9 |
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10 |
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= −259 (1− x)9 +2(1− x)10 − |
4 |
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(1− x)11 +C . |
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11 |
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Найдите ∫ |
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xdx |
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x2 +1 |
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РЕШЕНИЕ: |
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ПП 15.№16. |
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xdx |
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= |
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12 d (x2 +1) |
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= t |
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= x2 |
+1 |
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= |
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12 ln (1+ x2 )+C |
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∫x2 +1 |
∫ |
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x2 +1 |
{ |
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} |
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= |
1 |
∫ |
dt |
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= |
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1 |
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ln |
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t |
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+C = |
1 |
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ln |
(1+ x2 )+C |
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|
t |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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2 |
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2 |
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Найдите ∫ |
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dx |
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1+cos x |
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РЕШЕНИЕ: |
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x = 2t, |
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x |
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dx |
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1 |
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dx |
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x |
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dt |
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+C |
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ПП 15.№17. |
∫ |
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∫ |
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∫ |
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tg |
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= |
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= t = |
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, |
= |
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= |
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2 |
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||||||||||||||||||||
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1+cos x |
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2 |
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2 |
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x |
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2 |
cos |
2 |
t |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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cos |
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2 |
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dx |
= 2dt |
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|||||||||||
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= tg t +C = tg |
x |
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+C |
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2 |
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Найдите ∫ |
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5dxx −2 . |
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ПП 15.№18. |
РЕШЕНИЕ: |
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2 |
5x −2 +C |
||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
= ∫ |
(5x −2)−1/ 2 dx = |
1 |
∫(5x −2)−1/ 2 d(5x −2)= |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5x −2 |
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5 |
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|||||||||||||
|
{t = 5x −2}= |
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1 |
|
|
∫t−1 / 2 dt |
= |
1 |
|
t1 / 2 |
|
+C |
= |
2 |
|
|
5x −2 +C . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5 |
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5 1 / 2 |
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5 |
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|
Найдите ∫ |
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sin x cos x dx . |
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РЕШЕНИЕ: |
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sin xd sin x = {t =sin x} |
32 |
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3 |
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∫ |
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|
sin x cos x dx =∫ |
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ПП 15.№19. |
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(sin x)2 +C |
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1 |
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3 |
+C = 2 (sin x)2 |
+C . |
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= ∫t 2 dt = 2 t 2 |
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3 |
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|
3 |
|
|
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|
|
3 |
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Найдите ∫tg x dx .
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sin x |
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u =cos x |
|
du |
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||
|
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|
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||||||
ПП 15.№20. ∫tg x dx = ∫ |
|
dx = |
= −∫ |
|
= |
−ln |
cosx |
+C |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
du = −sin x dx |
u |
|
|
|
|
|||
= −ln |
|
u |
|
+C = −ln |
|
cosx |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
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9
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Найдите ∫x |
x −1 dx . |
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РЕШЕНИЕ: |
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t = |
x −1, |
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|||||||
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|
x =t2 +1, |
|
=∫(t2 |
+1) t 2t dt = |
||||||
|
∫x x −1 dx = |
|
||||||||||||
ПП 15.№21. |
|
|
|
|
dx = |
2t dt |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= 2∫(t4 +t2 )dt = |
2 |
t5 |
+ |
2 |
t3 +C = |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
= |
2 |
(x −1)5 + |
2 |
(x −1)3 +C . |
|
||||||||
5 |
3 |
|
2 |
|
(x −1)5 + |
5 |
2 |
|
+ |
(x −1)3 + C |
|
|
3 |
|
|
Найдите ∫1 −sin |
|
x . |
|
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|||||||||||||
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|
x |
|
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РЕШЕНИЕ: |
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||||||||||||
|
∫1−sinx |
x = ∫ 1x dx −∫sin x x dx . |
|
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|||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
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1) |
|
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|
2) |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
||
ПП 15.№22. |
1) |
|
∫ 1 |
dx = ∫x−1/ 2dx = x1/ 2 +C ; |
|
|
2 x +2cos |
x +C |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
1/ 2 |
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|||||||||||||||
|
|
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|
sin |
x |
|
|
|
|
|
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|
x |
|
= t, |
|
|
|
|
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|||||||
|
2) |
|
∫ |
|
dx = |
|
|
|
|
|
dx |
|
= |
∫sin t 2dt = |
|
|
|
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||||||||||||||
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
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x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
= |
|
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|
|
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||||
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||||||||
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2 x |
|
|
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||||
|
|
|
= −2 cos t + C = −2 cos |
x + C . |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
∫ |
1 −sin |
|
|
x |
dx = 2 |
|
x + 2cos |
x +C . |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||
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|
Найдите ∫ |
e x +e2 x |
dx |
|
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|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 −ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
(1+ex )ex |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||
ПП 15.№23. |
∫ |
ex +e2 x |
dx = ∫ |
|
dx = |
t =ex , |
|
= |
−e |
x |
−2 ln |
|
e |
x |
−1 |
|
+C |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt =exdx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1−ex |
|
|
|
1−ex |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1+t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= ∫ |
|
|
dt |
= −∫ 1+ |
|
|
|
dt = −{t +2ln |
t −1 |
}+C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1−t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= −ex −2 ln |
|
ex −1 |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(arccos x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
−12 ln2 (arccos x)+C |
||||||||||||||||||||||
ПП 15.№24. |
Найдите |
|
|
1 − x2 |
|
arccos x . |
|
|
|
|
|
10