Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПП_15_Неопр_инт_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

487 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

ПП 15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1.Непосредственное интегрирование.

2.Замена переменной.

3.Интегрирование по частям.

ОСНОВНЫЕОПРЕДЕЛЕНИЯИФОРМУЛЫ Свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1) F ′(x)= f (x) или dF (x)= f (x)dx ;

2)∫ dF (x)= F (x)+C ;

3)∫ Cf (x) dx =C ∫ f (x)dx ;

4)∫ f (x)± g (x) dx = ∫ f (x)dx ±∫ g (x)dx,

где F (x) - произвольная первообразная, а C - постоянная.

Поскольку F (x) имеет производную, она обязана быть непрерывной.

Таблица дифференциалов


№	f (x)			df (x)

1	0		0
2	С= const		0
3		x			dx
4	xα , x > 0, α ≠−1			αxα−1dx
4.1		1		−		dx
						x2
		x

4.2		x			dx
				2 x

5	ax , a >0,a ≠1			a x ln adx
5.1	ex			exdx
6	loga x ,			loga e			dx

	x >0,a >0,a ≠1			x

6.1	ln x				dx
					x
7	sin x			cos xdx
8	cos x		− sin xdx

9	tg x , x ≠ π +πn,n Z			dx		= (1 +tg 2 x)dx
9	tg x , x ≠ π +πn,n Z			cos2	x	= (1 +tg 2 x)dx
	2			cos2	x
10	ctg x , x ≠πn,n Z	−	dx		= −(1+ctg 2 x)dx
		−	sin2 x		= −(1+ctg 2 x)dx
11	arcsin x , x (−1;1)								dx
								1 − x 2
12	arccos x , x (−1;1)				−				dx
					−				1 − x2
									1 − x2
13	arctg x								dx
							1 + x2
14	arcctg x					−			dx
						−			1 + x2

Таблица неопределенных интегралов ∫ f (x)dx = F (x)+C

№

∫ f (x)dx

F (x)+C

∫0dx

∫dx

x +C

∫x α dx

xα+1

α +1

∫

∫a x dx

a x

ln a

5а

∫e x dx

e x +C

∫sin xdx

−cos x +C

∫cos xdx

sin x +C

∫

tgx +C

cos2 x

∫

- ctgx +C

sin 2 x

∫a2 + x2

a arctg a +C

x + a

∫a2 − x2

x −a

∫

− x

arcsin a +C

∫

ln x + x2 −a2 +C

x2 −a 2

∫

ln x + x2 + a2 +C

a2 + x2

∫sin x

∫

cos x

∫tgx dx

−ln

cos x

∫ctgx dx

sin x

∫shx dx

chx +C

∫chx dx

shx +C

thx +C

∫ch 2 x

−cthx +C

∫sh 2 x

∫

a2 − x2 dx

a2 − x2

arcsin

∫ a2 + x2 dx

x +

∫ x2 −a2 dx

−a

−

x +

−a

∫ln x dx

x(ln x −1)+C

∫arcsin x dx

x arcsin x +

1− x2

∫arccos x dx

x arccos x −

1 − x2

∫arctg x dx

x arctg x

−

ln 1 + x2

)

(

∫arcctg x dx

x arcctg x +

ln 1 + x

)

(

∫

arctg

(x2 +a2 )2

2a2

x2 + a2

2a3

∫eax sin bx dx

a sin bx −b cos bx

eax +C

a2 +b2

∫eax cos bx dx

b sin bx + a cos bx eax

a2 +b2

15.1. Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенных интегралов с помощью свойств интегралов, таблицы интегралов и алгебраических преобразований подынтегральной функции называется непосредственным интегрированием.

∫

f (ax )dx = t = ax, x =

, dx =

dt =

∫

f (t )dt =

F (t )

+C =

(ax)+C ,

= x +b,

=∫ f (t )dt = F (t )+C

= F (x +b)+C ,

∫ f (x +b)dx = x =t −b,

dx = dt

t = ax +b,

∫ f (ax +b)dx = x

−

= ∫ f (t )

F (t )+C =

F (ax +b)+C

dx =

ПП15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

15.1.Непосредственное интегрирование

№ п/п

Задание

Ответ

∫

dx .

Найдите

ПП 15.№1.

РЕШЕНИЕ:

x1/ 2

x−1/ 2dx = x1/ 2

1/ 2

∫

1 dx =

∫

+C .

1/ 2

Найдите ∫

2 dx

РЕШЕНИЕ:

ПП 15.№2.

∫

x2dx

= ∫

x2 +4 −4

x −2arctg

+C .

x2 +4

= ∫ dx −4∫

= x −4

arctg

= x −2arctg

+C.

Найдите ∫2x 32 x 53x dx .

РЕШЕНИЕ:

3 x

(2250)

ПП 15.№3.

∫2

dx =

= ∫(2 3

5 )

dx = ∫(2250)

ln 2250

(2250)x

+C.

ln 2250

Найдите ∫(x5 + x7 +8 x )dx .

РЕШЕНИЕ:

16x3/ 2

ПП 15.№4. ∫(x5 + x7 +8

x )dx =

8x3/ 2

+C =

3/ 2

=x6 + x8 +16x3 / 2 +C.

6 8 3

Найдите ∫ sin2 xdxcos2 x . РЕШЕНИЕ:

Вычислим интеграл двумя способами и дифференцированием полученной первообразной убедимся, что ответ может быть представлен в различном виде.

1) ∫

∫

sin2 x +cos2 x

sin

x cos

sin

x cos

= ∫

∫

= tg x −ctg x +C;

cos

sin

∫

= 4∫

sin

x cos

sin

tg x −ctg x +C

d (2x)

ПП 15.№5. = 2∫

=−2ctg2x +C.

или

(2x)

sin

−2 ctg 2x +C .

Вычислим:

(tg x −ctg x +C)′ =

cos2

sin2 x

;

cos2 x sin2 x

′

−

(−2 ctg 2x +C)

=−2

sin

cos2 x sin2 x

В правильности ответа всегда можно

убедиться.

Найдите ∫

sin x +cos x

РЕШЕНИЕ:

= x +

ПП 15.№6.

∫sin x +cos x

2 ∫

dt = dx

sin

x +

+C =

+C .

Найдите ∫

1+ x2 + 1−x2

dx .

1−x

РЕШЕНИЕ:

∫

1+ x2

+ 1−x2

dx =

arcsin x +

1−x4

ПП 15.№7.

+ln(x + 1+ x2 )+

= ∫

1+ x2

+ 1−x

1−x

1+ x

= ∫

+∫

1−x

+ x

=arcsin x +ln(x + 1+ x2 )+C.

Найдите ∫

)

(

1+ x

РЕШЕНИЕ:

+arctg x +C

ПП 15.№8.

∫

1+2x2

dx = ∫

1+x2 +x2

dx =

−

1+x2

)

1+x2

)

(

= ∫

∫

=−

+arctg x +C.

1+x

Найдите ∫

РЕШЕНИЕ:

ПП 15.№9.

∫

arctg

2x2 +3

x2 +3/ 2

arctg

+C.

3/ 2

	Найдите ∫								22x−1				−32x+3
																		dx
										6				2 x				dx
	РЕШЕНИЕ:									6
	РЕШЕНИЕ:
			22x−1 −32x+3													1				−2 x			−2 x
	∫										dx =								3			−27 2		dx =
						2 x					dx =								3			−27 2		dx =
						2 x									∫
						6										2										1
																										1		−2 x
ПП 15.																									−			3	−
ПП 15.		1				1		x											x						−		4ln 3	3	−
		1				1										1
№10.	=			∫					dx −27 ∫											dx =						27
№10.	=			∫					dx −27 ∫											dx =						27		−2 x	+C
		2				9			1							4					1				−	2ln 2		2	+C
		1 1				x			1						1		x				1
	=											−27											+C =
	=											−27											+C =
									1												1
			2 9						1						4						1
								ln													ln

				1					9					27							4
				1					−2 x					27			−2 x				+C.
	=−						3			−						2
	=−				4ln 3		3			−			2ln 2			2

15.2. Замена переменной в неопределенном интеграле (подстановка, подведение под знак дифференциала)

Замена переменной – один из самых эффективных приемов интегрирования. Этот прием основывается на следующей теореме.

Если

1)функция u =ϕ(x) определена и дифференцируема на некотором множестве {x}, а {u} – множество всех значений этой функции,

2)для функции f (u) существует на множестве {u} первообразная функции

F (u):

∫f (u)du = F (u)+C ,

то на множестве {x} для функции f ϕ(x) ϕ′(x) существует первообразная функция, равная F (ϕ(x)):

∫		( )
	f ϕ(x)	ϕ′(x)dx = F ϕ(x) +C	.

Множества {x} и {u} представляют собой отрезки, интервалы, полупрямые или прямые.

ПП15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

15.2.Замена переменной

№ п/п	Задание			Ответ
ПП 15.№11.	Найдите ∫ cos	x	dx .	7 sin	x	+C

	7			7

РЕШЕНИЕ:

t =

dt =

∫

cos

dx =

dx =7 dt

=7∫cost dt =7 sin t +C =7 sin

+C.

Найдите ∫sin (8x −2)dx .

1 cos (8x −2)+C

ПП 15.№12.

РЕШЕНИЕ:

−

∫sin (8x −2)dx = −

cos (8x −2)

+C .

Найдите ∫

dx .

+ x

РЕШЕНИЕ:

=3 + x

ПП 15.№13.

3 + x

∫

3 +x

dt = 5x dx,

x dx =

∫t−1 / 2 dt =

t1 / 2

+ C =

3 + x5 + C.

1/ 2

Найдите ∫

3 ln2 x

dx .

РЕШЕНИЕ:

t =ln x,

5/ 3

ПП 15.№14.

∫

2 / 3

dt =

t5 / 3

+C =

3 ln5 / 3

x +C.

5 / 3

Найдите ∫(2x +3)2 (1− x)8 dx .

РЕШЕНИЕ:

t =1 − x, x =1−t,

(1 − x)9 +

−

dx =

dx = −dt,

∫(2x +3)

(1 − x)

+2 1

− x

−

ПП 15.№15.

)

2x +3 = −2t +

(

−

(1 − x)11 + C

= −∫(5 −

2t )

=−∫(25t8 −20t9 +4t10 )dt =−

t9 +

t10

−

t11

= −259 (1− x)9 +2(1− x)10 −

(1− x)11 +C .

Найдите ∫

xdx

x2 +1

РЕШЕНИЕ:

ПП 15.№16.

xdx

12 d (x2 +1)

= t

= x2

12 ln (1+ x2 )+C

∫x2 +1

∫

x2 +1

{

}

∫

+C =

(1+ x2 )+C

Найдите ∫

1+cos x

РЕШЕНИЕ:

x = 2t,

ПП 15.№17.

∫

= t =

1+cos x

cos

= 2dt

= tg t +C = tg

Найдите ∫

5dxx −2 .

ПП 15.№18.

РЕШЕНИЕ:

5x −2 +C

∫

= ∫

(5x −2)−1/ 2 dx =

∫(5x −2)−1/ 2 d(5x −2)=

5x −2

{t = 5x −2}=

∫t−1 / 2 dt

t1 / 2

5x −2 +C .

5 1 / 2

Найдите ∫

sin x cos x dx .

РЕШЕНИЕ:

sin xd sin x = {t =sin x}

∫

sin x cos x dx =∫

ПП 15.№19.

(sin x)2 +C

+C = 2 (sin x)2

+C .

= ∫t 2 dt = 2 t 2

Найдите ∫tg x dx .

sin x

u =cos x

ПП 15.№20. ∫tg x dx = ∫

dx =

= −∫

−ln

cosx

cos x

du = −sin x dx

= −ln

+C = −ln

cosx

+C .

Найдите ∫x

x −1 dx .

РЕШЕНИЕ:

t =

x −1,

x =t2 +1,

=∫(t2

+1) t 2t dt =

∫x x −1 dx =

ПП 15.№21.

dx =

2t dt

= 2∫(t4 +t2 )dt =

t3 +C =

(x −1)5 +

(x −1)3 +C .

2		(x −1)5 +
5	2
+	2	(x −1)3 + C
	3

Найдите ∫1 −sin

x .

РЕШЕНИЕ:

∫1−sinx

x = ∫ 1x dx −∫sin x x dx .

ПП 15.№22.

∫ 1

dx = ∫x−1/ 2dx = x1/ 2 +C ;

2 x +2cos

x +C

1/ 2

sin

= t,

∫

dx =

∫sin t 2dt =

2 x

= −2 cos t + C = −2 cos

x + C .

∫

1 −sin

dx = 2

x + 2cos

x +C .

Найдите ∫

e x +e2 x

1 −ex

РЕШЕНИЕ:

(1+ex )ex

ПП 15.№23.

∫

ex +e2 x

dx = ∫

dx =

t =ex ,

−e

−2 ln

−1

dt =exdx

1−ex

1+t

= ∫

= −∫ 1+

dt = −{t +2ln

t −1

}+C =

1−t

−

= −ex −2 ln

ex −1

+C .

ln(arccos x)dx

−12 ln2 (arccos x)+C

ПП 15.№24.

Найдите

1 − x2

arccos x .

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.2019113 Кб7ПП Введение в специальность -УрФУ.doc
#
23.09.2019464 Кб6пп ответы.docx
#
08.11.20195 Мб3ПП_10_Непр_функ_РНМ.doc
#
08.11.2019846 Кб3ПП_12_Диф-л.Лоп.Тейлор.doc
#
01.05.20252 Мб0ПП_15_Неопр_инт_1.doc
#
23.02.2015487 Кб13ПП_15_Неопр_инт_1.pdf
#
22.02.20154 Мб38ПП_16_Иссл_функ.doc
#
23.02.2015272 Кб12ПП_16_Неопр_инт_2.pdf
#
22.02.20151 Мб13ПП_17_Компл_числа.doc
#
23.02.2015281 Кб10ПП_17_Неопр_инт_3.pdf
#
22.02.20152 Мб11ПП_18_Неопр_инт_1.doc