Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПП_17_Неопр_инт_3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

281 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ПП 17. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1. Интегрирование тригонометрических функций

1) ∫ sin2m+1 x cosn x dx =−∫ sin2m x cosn x d (cos x)

∫ sinm x cos2n+1 x dx = ∫ sinm x cos2n x d (sin x),

хотя бы одно из чисел m или n - нечетное положительное целое число.


				sin2 x +cos2 x =1
Например, ∫	sin3 x	dx = ∫	sin2 x		sin xdx = ∫	1−		cos2 x	d (cos x)
Например, ∫	4	dx = ∫	4		sin xdx = ∫	4			d (cos x)
	cos x		cos x				cos x

2)∫ sinm x cosn xdx ,

m и n – четные неотрицательные числа, m =2k , n =2l ,

k, l N .

cos2 x =

1+cos 2x

;

sin2 x =

1−cos 2x ;

sin xcos x =

sin 2x

sin2

2x 1+cos 2x

Например, ∫ sin

xcos

cos

x dx = ∫

x dx = ∫(sin xcos x)

3)∫ cos αx cosβxdx , ∫ sin αx sin βxdx , ∫ sin αx cosβxdx

		cos α cos β =		1	cos (α − β)+ cos (α +		β)	;
				2
		sin α sin β =		1	cos (α	− β)− cos (α + β) ;
				2
		sin α cos β =		1	sin (α	− β)+ sin (α + β) .
				2
Например, ∫ cos 9x cos 5xdx =			1	∫(cos 4x +cos14x)dx
Например, ∫ cos 9x cos 5xdx =				∫(cos 4x +cos14x)dx
	2
4)	∫ sinm xcosn xdx ,

m +n является целым четным отрицательным числом m +n =−2k , k N ,

Например,

∫

sin

x cos−

x dx =

∫

x 1+tg2 x

)

cos

(

cos

∫ tgm xdx , ∫ ctgm xdx ,

∫sin2m xcos2n xdx

tg x

)

cos

Например, ∫

= ∫

∫

(

sin

+tg

−5sin

−5

x −5tg

cos2 x

Из тригонометрии известно:

1+tg2 x =

= sec2 x,

cos2 x

1+ctg2 x =

=cosec2 x.

sin2

Введем новую переменную, тогда:

t = tgx,

+t2

dt =

cos2 x =

cos2

1+t2

x =arctgt,

sin

2 x =

+t2

Аналогично:

t =ctgx,

dx dt =−sin2 x ,

x =arcctgt.

5)∫ sinm x cosn xdx ,

m, n Z , хотя бы одно из чисел m или n - отрицательное.

5.1) ∫ sin2 x dx cos3 x

(степень числителя на единицу меньше степени знаменателя) - по частям;

	sin	2			sin	2		dx
5.2) ∫			x	dx = ∫			x			= ∫ tg2 x d (tg x)
	cos		4		cos		2	2	x
			x				x cos

(степень числителя на две единицы меньше степени знаменателя) - сведение к tg x или ctg x ;

sin

x sin

x +cos

5.3) ∫

sin

dx = ∫

(

)

cos

6 x

cos6 x

(степень числителя более, чем на две единицы, меньше степени знаменате-

ля) - сведение к tg x или ctg x

домножением на

(

x +cos2

)

sin2

sin

x 1−cos

(

)

sin

5.4) ∫

sin

dx = ∫

dx −∫

sin

cos

(степень числителя больше или равна степени знаменателя) - сведение к tg x или ctg x

6)∫ R(sin x, cos x)dx ,

где R(sin x, cos x) – рациональная функция.

Универсальная тригонометрическая подстановка:

t = tg

x =2arctg t,

dx =

2dt

+t2

sin x

, cos x

1−t2

+t2

1+t2

ПП 17.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Интегрирование тригонометрических функций

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 17 №1

Вычислите ∫

sin x

dx .

Решение:

cos

sin2

∫

sin3 x

dx = ∫

x sin x

cos−7 x −

cos

)

t =cos x,

1−t

(−dt)

−5

(

∫

−

cos

=−sin x dx

−7

−5

+C.

=−∫t−8dt +∫t−6dt

+C =

−7

−5

= 71 cos−7 x − 15 cos−5 x +C.

ПП 17 №2

Вычислите ∫

sin x

sin

x +1

Решение:

t =cos x,

sin x

∫

dx =

sin

x +1

=−sin x dx

cos x + 2

=−∫

−

1−t2 +1

=−∫ 2 −t2 =

cos x − 2

t + 2

+C.

=−

+C =

t − 2

=−

cos x + 2

+C.

cos x − 2

ПП 17 №3 Вычислите ∫sin6 2x dx
Решение:			3
			3
	6	1−cos 4x
∫	sin 2x dx =	∫		dx =
	sin 2x dx =			dx =
		2

=18 ∫ 1−3cos 4x +3cos2 4x −cos3 4x dx =

=18 x − 83 ∫ cos 4x dx + 83 ∫ cos2 4x dx −

									I1								I2
−	1 ∫ cos3 4x dx .
	8						I3
							I3
I =− 3 sin 4x +C .
1				8				4					1							5		x −			1	sin 4x +
				8				4												5					1
I	=	3					1+cos8x dx = 3									1 x +1		sin8x	+C . 16						8

			∫
2			∫																2
		8						2						8		2	2	8	+			3		sin8x +
		8		1				2						8		2	2	8				3
I3	=−						∫	cos2				4x cos 4x dx =									128
I3	=−							cos2				4x cos 4x dx =									128
				8																		1			3		4x +C.
													t =sin 4x,						+				sin
																			+		96		sin
																					96


									dt				=cos 4x 4dx
		1	∫			(			2	)	dt			1			t3


=−		8					1−t				4		=−			t −	+C =
		8									4				32		3
		1										sin 4x
					sin 4x −
=−					sin 4x −									+C.
													3
		32											3

∫sin6 2x dx = I1 +I2 +I3 +18 x =

=18 x −834 sin 4x +163 x +1283 sin8x −

−321 sin 4x + 321 3 sin3 4x +C =

=165 x −18 sin 4x +1283 sin8x + 961 sin3 4x +C.

ПП 17 №4 Вычислите

∫

cos2

xsin4

x dx

sin 4x

x −

−

Решение:

∫ cos2 xsin4 x dx =

−

sin3 2x +

+C.

= ∫(sin x cos x)2 sin2 x dx =

	sin 2x 2		1−cos 2x
=				dx =
=				dx =
	∫		2
		2	2

=18 ∫(sin2 2x−sin2 2x cos2x)dx =

=1 ∫1−cos4x dx−1 sin3 2x = 8 2 8 6

sin 4x

x −

−

sin

+C.

ПП 17 №5

Вычислите ∫ sin x sin 2x sin 3x dx

Решение:

∫sin x sin 2x sin 3x dx =

sin αsin β=

cos(α−β)−cos(α+β) ,

−

cos 2x −

(α−β)+sin(α+β)

sin αcosβ= 1 sin

−

cos 4x +

∫

cos(−x)−cos3x sin 3xdx

cos 6x +C.

∫sin 3xcos xdx −

∫ cos3xsin 3xdx =

= 14 ∫(sin 2x +sin 4x)dx −14 ∫ sin 6xdx =

=−

1 cos 2x −

cos 4x +

cos6x +C.

ПП 17 №6

Вычислите ∫

cos x +sin x +1

Решение:

∫

cos x +sin x +1

2dt

1+tg

t = tg

, dx =

1 +t

−t

cos x =

1 +t

sin x =

+t2

2dt

= ∫

1 +t2

−t

1 +t

= ∫

2dt

=ln

1 +t

+C =ln

1 + tg

+C.

2 +2t

ПП 17 №7

Вычислите ∫

3cos x +2

Решение:

∫

3cos x +2

t = tg

−t

= cos x =

, =

1 +t

2dt

+ 5

dx =

1 +t

− 5

2dt

= ∫

1 +t2

= ∫

+C.

−t

1 +t

5 −t

+t2

t + 5

+C =

2 5

t − 5

+ 5

+C.

− 5

ПП 17 №8

Вычислите ∫

cos

Решение:

∫

(

)

tgx +

cos

1 + tg

cos

tg3 x +

t = tgx

+t2

dt =

)

∫

(

+C.

dt =

cos

=t +

+C = tgx +

tg3 x +C.

ПП 17 №9

Вычислите ∫

sin x

Решение:

cos

∫

sin

= ∫ tg2 x

x +

cos

t = tgx

d (tgx)=

= tg

+ tg

∫

(

)

dt =

cos

+C.

∫

(

)

∫

(

+t2

t2 +t4

)

dt =

+C =

x +

x +C.

2.Интегрирование иррациональных функций

2.1.Интегралы вида

			m1 / n1		m2 / n2		mk / nk
		ax +b		ax +b		ax +b		dx ,
∫	R x,			,		,…,		dx ,
∫
		cx +d		cx +d		cx +d

где R – рациональная функция указанных переменных, m1, n1, m2 , n2 ,…,							mk , nk
– целые числа, вычисляются с помощью подстановки					ax +b	=ts , где s	– об-
– целые числа, вычисляются с помощью подстановки					cx +d	=ts , где s	– об-
щий знаменатель дробей m1 ,	m2		mk		cx +d
	m2	,…,	mk	.
		,…,		.
n	n		n
1	2		k

2.2. Интегралы вида

∫ R(x, ax2 +bx + x )dx ,

где R(u,v) – рациональная функция, выделением полного квадрата под знаком

корня сводятся к одному из следующих типов и упрощаются с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок:

							u =m tht,
1) ∫ R(u, m				)du – подстановка	u = msin t,		u =m tht,
	2	−u	2		du = m cos tdt,	или	m dt
		−u			du = m cos tdt,	или	du = ch2t	,
					m2 −u2 = m cos t		m2 −u2	=	m	;
									m
									cht
									cht
∫ R(m sin t, m cos t)m cos tdt ;

2)∫ R(u, m2 +u2 )du – подстановка

∫ R m tgt, cosm t cosm dt2 t ;

u =m tgt,
du = m dt		,	или
cos2 t			m
m2 +u2	=		m
			cost

u =m sht, du =m chtdt,

m2 +u2 =m cht;

u =

cos t

u =m cht,

3) ∫ R(u,

u2 −m2 )du – подстановка

m sin t

du =

dt,

или

du =m shtdt,

cos2t

u2 −m2

= m tgt

u2 −m2 =m sht,

m sin t

∫

, m tgt

dt .

cos t

cos

Все интегралы принимают вид ∫ R(sin t, cost)dt

или ∫ R(sht, cht)dt .

2.3. Интегралы вида

∫

, где p =1, 2 ,

(mx +n)p

ax2 +bx +c

сводятся к рассмотренным выше подстановкой mx + n =

ПП17. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.Интегрирование иррациональных функций

№ п/п

Задача

Ответ

−3 x+1

Вычислите ∫ e

Решение:

1 / 3

(x +1)

−3 x+1

x+1

∫

−

−3e

−1,

dx =3t2 dt

+1)

ПП 17 №10

−t

dt =

= ∫ e

dt =3∫ t

x +1 +2

−t

+C.

u =t

dv = e

−t

du = 2t dt v =−e

=3(−t2 e−t + 2∫ te−t dt)=

−t

dv = e dt

−t

= dt v =−e

=−3t2 e−t +6(−te−t + ∫ e−t dt)=

=−3t2e−t −6te−t

(

)

−e−t

=−3e−

x+1

+2 3 x +1

+C.

3 (x +1)

Вычислите ∫

(x2 +

Решение:

x =3 tgt,

dx =

dt,

∫

cos t

3/ 2

(

3/ 2

(

)

))

(

)

9 1+tg t

3/ 2

cos t

cos

ПП 17 №11 =∫

cos2 t

∫ cos tdt =

9 x2 +9

+C.

cos3 t

=19sint +C =19sin arctg 3x +C =

=19 tg arctg 3x cos arctg 3x +C =

+C =

1+tg

arctg

+C =

+C.

x2 +9

Вычислите ∫

2x +1

Решение:

2x −3x −2

t =2x −3x−2,

2x +1

dt =(4x−3)dx

∫

dx =

−3x−2

2x +1≡

(4x−3)+

4x−3

∫

dx +

∫

2x −3x−2

−3x−2

= 1

t1 / 2

= 2x2 −3x −2 +C .

∫

2 1/ 2

I2 =

2 ∫

−3x −2

2 x2 −

−1

выделяемполныйквадрат

изподкоренноговыражения

ПП 17 №12

∫

x −

−

−1

= x −

∫

dt = dx

−

∫

−

t + t2 −

+ x2 −

x −

x −1

+C2 .

∫

2x +1

dx =

2x2 −3x −2

2x2 −3x−2 +

+	5	ln	x−	3	+
	2			4
2

+ x2 −23 x−1 +C.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20252 Мб0ПП_15_Неопр_инт_1.doc
#
23.02.2015487 Кб13ПП_15_Неопр_инт_1.pdf
#
22.02.20154 Мб38ПП_16_Иссл_функ.doc
#
23.02.2015272 Кб12ПП_16_Неопр_инт_2.pdf
#
22.02.20151 Мб13ПП_17_Компл_числа.doc
#
23.02.2015281 Кб10ПП_17_Неопр_инт_3.pdf
#
22.02.20152 Мб11ПП_18_Неопр_инт_1.doc
#
22.02.2015913 Кб16ПП_21_Опр_инт_1.doc
#
22.02.20152 Мб18ПП_22_Опр_инт_2.doc
#
22.02.2015714 Кб13ПП_24_Диф_Ур 1.doc
#
22.02.2015983 Кб32ПП_26_Диф_Ур 3.doc