15 Собств. знач. и собств. вектор ЛО

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Б.М.Верников

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики

Определение собственных чисел и собственных векторов

Определение

Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A, если существует действительное число t такое, что

Действительное число t называется собственным значением или собственным числом оператора A, если существует ненулевой вектор x такой, что выполнено равенство (1). При наличии равенства (1) мы будем называть x собственным вектором, относящимся к собственному значению t, а t собственным значением, относящимся к собственному вектору x.

Свойство собственных векторов, относящихся к одному и тому же собственному значению

Теорема 1

Совокупность всех собственных векторов, относящихся к одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образует подпространство.

Доказательство. Обозначим через M0 множество всех собственных векторов, относящихся к собственному значению t0 и положим

M = M0 [ f0g. Пусть x1; x2 2 M. Если x1 + x2 = 0, то x1 + x2 2 M. Пусть теперь x1 + x2 6= 0. Поскольку

A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) = t0x1 + t0x2 = t0(x1 + x2);

получаем, что x1 + x2 2 M0 M. Аналогично, для любого числа t имеем: если tx1 = 0, то tx1 2 M, а если tx1 6= 0, то

A(tx1) = tA(x1) = t(t0x1) = t0(tx1);

откуда tx1 2 M0 M.

Свойство собственных векторов, относящихся к различным собственным значениям (1)

Теорема 2

Если векторы x1; x2; : : : ; xk являются собственными и относятся к попарно различным собственным значениям t1; t2; : : : ; tk соответственно, то векторы x1; x2; : : : ; xk линейно независимы.

Доказательство будем вести индукцией по числу векторов.

База индукции. Пусть k = 1 и x1 собственный вектор. По определению собственного вектора, x1 6= 0. Поэтому если t1x1 = 0, то t1 = 0. Следовательно, система, состоящая из вектора x1, линейно независима.

Шаг индукции. Предположим, что k > 1 и доказываемое утверждение справедливо для любой системы из менее чем k векторов. Докажем его для произвольной системы из k векторов. Пусть x1; x2; : : : ; xk собственные векторы оператора A, относящиеся к попарно различным собственным значениям t1; t2; : : : ; tk . Пусть

для некоторых чисел s1; s2; : : : ; sk 1; sk .

Свойство собственных векторов, относящихся к различным собственным значениям (2)

Используя замечание 1 из лекции 14, имеем

0= A(0) = A(s1x1 + s2x2 + + sk 1xk 1 + sk xk ) =

=s1A(x1) + s2A(x2) + + sk 1A(xk 1) + sk A(xk ) =

=s1t1x1 + s2t2x2 + + sk 1tk 1xk 1 + sk tk xk :

Итак,

С другой стороны, умножая обе части равенства (2) на tk , получаем, что

Вычитая равенство (4) из (3), получаем, что

s1(t1 tk )x1 + s2(t2 tk )x2 + + sk 1(tk 1 tk )xk 1 = 0:

По предположению индукции векторы x1; x2; : : : ; xk 1 линейно независимы. Следовательно, s1(t1 tk ) = s2(t2 tk ) = = sk 1(tk 1 tk ) = 0. Поскольку числа t1; t2; : : : ; tk 1; tk попарно различны, получаем, что

s1 = s2 = = sk 1 = 0. Из равенства (2) вытекает теперь, что sk xk = 0. Учитывая, что xk 6= 0 (поскольку вектор xk собственный), получаем, что sk = 0. Итак, если выполнено равенство (2), то

s1 = s2 = = sk 1 = sk = 0. Следовательно, векторы x1; x2; : : : ; xk 1; xk линейно независимы. Теорема доказана.

Нахождение собственных значений и собственных векторов (1)

Пусть A линейный оператор, действующий в векторном пространстве V . Зафиксируем некоторый базис пространства V и обозначим через A матрицу оператора A в этом базисе. Для произвольного вектора x 2 V обозначим через X столбец его координат в выбранном базисе. В силу замечания 3 из лекции 14 равенство (1) равносильно матричному равенству AX = tX. Последнее равенство можно переписать в виде

AX = tEX, где E единичная матрица того же порядка, что и A. Следовательно, AX tEX = O, где O нулевой столбец. Последнее равенство можно переписать в виде

Мы получили матричную запись системы линейных уравнений, основная матрица которой содержит параметр t. Эта система крамеровская (так как ее основная матрица квадратная) и однородная. Очевидно, что

собственными значениями оператора A являются те значения параметра t, при которых система (5) имеет ненулевые решения, и только они; собственными векторами этого оператора являются ненулевые решения системы (5) и только они.

Нахождение собственных значений и собственных векторов (2)

В силу следствия 4 из лекции 6 справедливо следующее

Предложение 1

Пусть V векторное пространство, а A линейный оператор в пространстве V .

а) Число t является собственным значением линейного оператора A тогда и только тогда, когда t 2 R и

б) Собственными векторами линейного оператора A, относящимися к его собственному значению t0, являются ненулевые решения системы линейных уравнений (A t0E)X = 0 и только они.

Легко понять, что jA tEj многочлен n-й степени, где n = dim V .

Определение

Многочлен jA tEj называется характеристическим многочленом

линейного оператора A, а уравнение (6) характеристическим уравнением этого оператора.

Инвариантность характеристического многочлена относительно выбора базиса

В определении характеристического многочлена и характеристического уравнения линейного оператора фигурирует матрица этого оператора в некотором базисе. Следующее предложение показывает, что в действительности характеристический многочлен (а значит и характеристическое уравнение) не зависит от выбора базиса.

Предложение 2

Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V , F и G два базиса в V , а AF и AG матрицы оператора A в базисах F и G соответственно. Тогда jAF tEj = jAG tEj.

Доказательство. Обозначим через T матрицу перехода от базиса F к базису G. Используя формулу (2) из лекции 14 и лемму 1 из той же лекции, получаем, что AG = T 1AF T. Ясно, что T 1ET = T 1T = E. Используя свойства умножения матриц и свойства определителей, имеем jAG tEj = jT 1AF T tT 1ETj = jT 1AF T T 1(tE)Tj =

= jT 1(AF tE)Tj = jT 1j jAF tEj jTj =

1

= jTj jAF tEj jTj = jAF tEj:

Предложение доказано.

Нахождение собственных значений и собственных векторов: пример (1)

В качестве примера найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

Вычислим характеристический многочлен этого оператора. Разлагая соответствующий определитель сначала по четвертому столбцу, а затем по второй строке, имеем:

2 t 1 1 0

= t2( 2 + t 2t + t2 + 2) = t2(t2 t) = t3(t 1):

Характеристическое уравнение данного оператора, т. е. уравнение

t3(t 1) = 0, имеет два корня: t1 = 0 и t2 = 1. Мы нашли собственные значения оператора.

Нахождение собственных значений и собственных векторов: пример (2)

Найдем собственные векторы, отвечающие собственному значению t1. Для этого надо найти все ненулевые решения однородной системы с основной матрицей A t1E = A 0 E = A. Приведем эту матрицу к ступенчатому виду:

Система линейных уравнений, соответствующая последней матрице, имеет две свободных переменных: x3 и x4. Полагая сначала x3 = 1, x4 = 0, а затем x3 = 0, x4 = 1, находим два вектора, образующих фундаментальную систему решений нашей однородной системы: f1 = ( 12 ; 0; 1; 0) и

f2 = (0; 0; 0; 1). Они образуют базис пространства решений нашей системы. Совокупность всех ее решений это множество всех векторов вида c1f1 + c2f2, где c1; c2 2 R. Все эти векторы, кроме нулевого, и только они суть собственные векторы нашего оператора, отвечающие собственному значению t1. Будучи базисом, векторы f1 и f2 линейно независимы. Следовательно, c1f1 + c2f2 = 0 тогда и только тогда, когда c1 = c2 = 0. Таким образом, собственными векторами нашего оператора,

отвечающими собственному значению t1, являются векторы вида ( 12 ; 0; 1; 0)c1 + (0; 0; 0; 1)c2, где c12 + c22 6= 0, и только они.