Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика производные и пределы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

7. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Вычислите предел

lim ln cos 2x .

РЕШЕНИЕ:

x→0

sin 2x

(− sin 2x) 2

ln cos 2x

− sin 2x

lim

= lim

cos 2x

= lim

= 0 .

sin 2x

cos 2x 2

x→0

x→0 cos

Вычислите предел функции

lim

x3 −4x2 −3x +18

x3 −5x2 +3x +9

РЕШЕНИЕ:

x→3

x3 − 4x2 −3x +18

27 −8 9 −9 +18 =

lim

= lim

x→3 x

−5x

+3x

x→3

−5 9 +9 + 9

= lim

3x2 −8x −3

27 − 24 −3

= lim

6x −8

−10x + 3

27 −30 + 3

−10

x→3

18 −8

= 10

5 .

18 −10

Вычислите предел функции

lim

x +13 −2

x +1

x2 −9

РЕШЕНИЕ:

x→3

−

x +13 −2 x +1

lim

= lim

x +13

x +1

3 x2

−9

x→3

−9)

−2 / 3

−

−9)3

= lim

= 0.

2 3

x→3

sin

Вычислите предел функции

lim

x→π

2 sin x+1 −

РЕШЕНИЕ:

sin

lim

sin x

x→π

− 2

121

cos

= lim

x→π

2 sin x+1 ln 2

cos x

ln 2

sin x +

Вычислите предел функции

lim

23x −35 x

sin 7x − 2x

РЕШЕНИЕ:

x→0

lim

23x

−35 x

= lim 23x ln 2 3 −35 x ln 3 5 =

x→0 sin 7x − 2x

x→0

7 cos 7x −2

3 ln 2 −5 ln 3

Вычислите предел функции

lim

ex −e

(

)

x→1 sin

−1

РЕШЕНИЕ:

lim

ex − e

= lim

sin (x

−

cos(x

−1) 2x

x→1

Вычислите предел lim

ln2 x

РЕШЕНИЕ:

x→+∞

ln 2 x =

2 ln x

2 9

lim

= 0.

3x 2

3x 3

lim

x 3

x→+∞

x 3

x→+∞

9x 2

x→+∞

(Здесь правило Лопиталя применялось дважды).

Раскройте неопределенность типа 0 ∞

lim sin(x −1) tg

πx

= lim

sin(x −1)

= lim

cos(x −1)

π 1

x→1

ctg

πx

x→1

−

sin

2 πx

lim cos(x −1) sin2 πx

= −

π x→1

Вычислите предел lim (x − ln x) .

x→+∞

РЕШЕНИЕ:

Имеем неопределенность типа ∞ −∞.

ln x

lim (x −ln x) = lim x 1 −

x→+∞

→+∞

ln x

Исследуем

lim

= lim

= 0

x→+∞

x→+∞ x

122

Таким образом, исходный предел xlim→+∞(x −ln x) = +∞.

Вычислите предел: lim

−

ex −1

РЕШЕНИЕ:

x→0

Предел является неопределенностью типа ∞ −∞.

Преобразуем:

e x −1 − x

lim

−

= lim

1 −

= lim

x(e x −1)

x→0 x

ex −1

x→0

e x −1

x→0

Дважды применяем правило Лопиталя.

lim

e x −1 − x

= lim

e x

−1

= lim

e x

x(e x −1)

e x

+ e x + x e x

x→0

x→0 e x −1 + x e x

x→0

Вычислите lim x

x→+∞

РЕШЕНИЕ:

Имеем неопределенность типа ∞0 .

x x = y (x); ln y (x)= 1x ln x;

lim ln x =

lim ln y (x )=

lim

= 0 .

x → +∞

= e0 =1.

Тогда lim x x

x→+∞

Вычислите предел lim (tgx)2 cos x .

x→π

−0

РЕШЕНИЕ:

Это неопределенность вида ∞0 . Положим (tgx)2 cos x = y ; логарифмируем:

ln y = 2cos x ln tgx = 2 ln tgx

cos x

Применяя правило Лопиталя, получим:

lim ln y = 2

lim

tgx

cos2 x

= 2

lim cos x = 0 .

sin x

x→2 −0

x→2

−0

x→2 −0

cos2

Таким образом,

lim y = e0 =1.

x→π −0

123

			8. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

	Представьте функцию					f (x)= ax (a > 0,a ≠1) в виде
	могочлена третьей степени относительно х.
	РЕШЕНИЕ:
	f (x)= ax ;					f (0)=1;
	f ′(x)= ax ln a;					f ′(0)= ln a ;
	f ′′(x)= ax ln2 a;					f ′′(0)= ln2 a ;
44	f ′′′(x)= ax ln3 a;					f ′′′(0)= ln3 a ;
	f (4) (x)= ax ln4 a;					f (4) (θх) = aθx ln4 a .
	По формуле Маклорена получаем:
	ax =1+ x ln a + ln2 a x2 + ln3 a x3 + R ,
			2!			3!	3
			2!			3!
	где R	=	aθx ln4 a	4	; 0	<θ <1.
	где R	=		x	; 0	<θ <1.
	3		4!
			4!

Выясните происхождение приближенных равенств а) 1+ x ≈1+ 12 x − 81 x2 , x <1;

б) 3 1+ x ≈1+ 13 x − 19 x2 , x <1.

РЕШЕНИЕ:

Равенства получаются из разложения функции (1+ x)α по формуле Маклорена с точностью до

45	слагаемых второго порядка:
	(1 + x)α =1 +		α x +	α(α −1) x2	+..
			1!	2!
	.. + α(α −1) ... (α − (n −1)) xn +
			n!
	+	α(α −1) ... (α − n)(1 +θx)α−n−1				n+1	,
	+		(n +1)!		x		,
			(n +1)!
	(1 + x)α =1 +		α x +	α(α −1) x2	+ o(x2 ).
			1!	2!

124

Многочлен 2x3 −3x2

+5x +1 разложите по степеням

(x +1) .

РЕШЕНИЕ:

f (x) = 2x3 −3x2 +5x +1; x0 = −1 ; f (−1) = −9 .

Найдем коэффициенты многочлена Тейлора:

′

= 6x

− 6x +

5 → f

′

=17;

(x)

(−1)

′′

=12x

− 6

→ f

′′

= −18;

(x)

(−1)

′′′

→ f

′′′

=12;

(x) =12

(−1)

f IV (x) = 0

f (n) (x) = 0;

f (x) = −9 +

17 (x +1) −18

(x +1)2 + 12 (x +1)3 .

Учитывая, что 1!=1;

2!=1 2 ; 3!=1 2 3, получим

2x3 −3x2 +5x +1 = −9 +17(x +1) −9(x +1)2 +2(x +1)3 .

Запишите формулу Маклорена n–го порядка для

функции f (x) = (1 + x)α .

РЕШЕНИЕ:

f (x) = (1 + x)α ; f (0) =1;

x > −1.

′

α−1

;

′

(x) =α(1 + x)

(0) =α;

′′

=α(α −1)(1 + x)

−2

;

′′

=α(α -1);

(x)

(0)

′′′

=α(α −1)(α − 2)(1 + x)

α−3

;

′′′

α(α −1)(α − 2);

(x)

(0) =

f (n) (x) =α(α −1) ... (α − n +1)(1 + x)α−n ;

f (n) (0) =α (α −1)(α − 2) ... (α −(n −1)),

тогда

(1 + x)α =1 + α x + α(α −1) x2

+..

.. + α(α −1) ... (α −(n −1)) xn +

+ α(α −1) ... (α − n)(1 +θx)α−n−1

xn+1.

(n +1)!

Используя формулы Маклорена для элементарных

функций, напишите первые n членов формулы

Маклорена для функции y = ln(4 + x2 ).

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем исходную функцию:

125

ln 4(1 +					x2				= ln 4			+ ln(1+							x2		) =
							)
					4		)												4
					4					2							3		4						4
	x		2					2		2						2	3					x		2	4	1
= ln 4 +	x			−		x					1	+			x				1		−	x				1	+.....
= ln 4 +				−							1	+							1		−	4				4	+.....
		4					4				2		4						3			4				4
				n−1			x2				n	1	.
....... +(−1)												n
....... +(−1)									4
									4
Окончательно:																												n−1 x2n
		2									x2				x 4						x6							n−1 x2n
ln(4 + x			)	= ln 4 +								−						+					−... + (−1)							.
ln(4 + x			)	= ln 4 +							4	−		42 2				+		43 3			−... + (−1)						4n n	.

Вычислите число e с точностью до 0,001. РЕШЕНИЕ:

Запишем формулу Маклорена для ex:

e x =1 + x +

+... +

xn+1

eθx .

(n +1)!

При x =1:

eθ

;0 <θ <1.

2, 718

e =1 +1 + 2

+ 6 +

24 + 120 +... + n! +

(n +1)!

Наименьшее значение n , удовлетворяющее условию

eθ

< 0,001

, равно 6,

(n +

1)!

тогда e =1+1+ 12 + 16 + 241 +1201 = 2,718.

Вычислите с точностью до 10 – 3 приближенное значение 3 29 .

РЕШЕНИЕ:

Представим заданный корень так:

3 29 = 3

27 + 2

. Воспользуемся формулой

= 3 1

Маклорена:

α(α −1)

α(α −1)(α −n +1)

(1+ x)

=1 + 1!

x +

... +

α −n−1

3, 072

+ α(α −1) ... (α −n)(1+θx)

xn+1

(n +1)!

где последнее слагаемое представляет собой

погрешность вычисления.

Полагая

α =

получим

2 2

2 2 2 5 +.... + Rn ) .

3 29 = 3(1 + 2 −

Оценивая величины последовательных ошибок в

126

вычислении 3 Rn , находим:

3	R	<		3 2 2		< 0,002;
				3 2 2

	1			812
				812
3	R2		<		3 2 2 2 5		< 0,0003.
					3 2 2 2 5
				813
				813

Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку R2, т.е.

3 29 ≈ 3(1 + 0,024 − 0,0006) = 3,072 .

Используя разложение по формуле Маклорена,

вычислите предел lim1 −cos3 x .

x→0 5x2 +7x3

РЕШЕНИЕ:

1−cos3 x = (1−cos x)(1+cos x + cos2 x);

C точностью до бесконечно малых о(x2 ) получаем:

lim	1 −cos3 x	= lim	3(1 −cos x)	.
	5x2 +7x3
x→0		x→0	5x2

Заменим cos x его разложением по формуле Маклорена:

0,3

cos x =1 −

+ о(x

), тогда

lim

1 −cos3 x = lim

3(1 −cos x)

x→0

5x2 +7x3

→0

5x2

= 3 lim

+ o(x

)

3 lim

5 x→0

Поскольку

+o (x2 ) ~

при x →0 .

Окончательно lim

1 −cos3 x

5x2 +7x3

x→0

127

5. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

ДЗ № 1. Пределы числовых последовательностей

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№	№ по						Задание								Ответ
п/п	Еф.						Задание								Ответ
п/п	Еф.
	5.214	Написать первые пять членов												2,0,6,0,10,…
1		последовательности
1		xn = n(1 −(−1)n )
		xn = n(1 −(−1)n )
	5.216	Написать первые пять членов										2π		7π	8π	13π		14π
2		последовательности										3	,	3	, 3	, 3	,	3	,…
2		x	= (−1)n arcsin					3	+πn
								3

		n						2
								2
	5.217	Написать формулу общего члена														(−1)	n
																	n
3								1 1 1 1							xn =
		последовательности − 2 ,								3 ,− 4 , 5 ,...						n +1
	5.222	Написать формулу общего члена												x	=sin (n −1)π
4		последовательности												n		4
			2		2			2		2						4
		0,		,1,			,0, −		,−1,−		,0,...

			2		2					2
			2		2			2		2
	5.223	Найти наибольший (наименьший)										Наибольший член x3 = 4
5		член ограниченной сверху (снизу)
5		последовательности (xn )n N :
		x	= 6n − n2 −5
		n
	5.227	Найти наибольший (наименьший)										Наименьший член x8 = 24
		член ограниченной сверху (снизу)
6		последовательности (xn )n N :
		x	= 2n +		512
		n			n2
	5.253	Найти все предельные точки												π / 6 , −π / 6
7		последовательности
7		x	= arcsin			(−1)n
		x	= arcsin
		n					2
							2

128

5.229

Используя логическую символику,

а) A > 0

(

≤ A);

записать следующие высказывания,

(

A > 0 n

> A);

а также их отрицания:

б)

(xn < xn+1 );

а) последовательность ограничена;

б) последовательность монотонно

(xn ≥ xn+1 );

возрастает;

в) ε > 0

в) число а есть предел

(n > N

xn − a

<ε );

последовательности;

ε > 0

г) последовательность (xn ) n N

(n > N

xn − a

≥ε );

г) E > 0

бесконечно большая;

(n > N

> E );

д) число а есть предельная точка

E > 0

последовательности.

(n > N

≤ E ) ;

д) ε > 0

(

xn − a

<ε ); ε > 0

(

xn − a

≤ε )

5.230а

Найти a = lim x

и определить

а = 1/3, N = 3

n→∞

номер N (ε ) такой, что xn − a <ε

10при всех n > N (ε ), если: xn = 0,33...,ε = 0,001.

5.235

Вычислить предел

lim

(n + 2)3 −(n − 2)3

95n3

+39n

n→∞

5.237

Вычислить предел lim

+3n +1

+∞

n −1

n→∞

5.238

Вычислить предел limn→∞(

n + 2 − n )

5.240

Вычислить предел lim

2n +3n

-1

n→∞

2n −3n

5.241

Вычислить предел

lim

+... +

n −1

n→∞

5.243

Вычислить предел lim

3 n2 sin (n2 )

n −1

n→∞

129

5.245

Вычислить предел

1/6

lim

−

+... +(−1)

n−1

n→∞

Вычислить предел

lim

(3n −1)!+(3n +1)!

(3n)!(n −1)

n→∞

Вычислить предел

∞

lim

(n + 4)!−(n + 2)!

(n +3)!

n→∞

n −1 n+2

e−4

Вычислить предел lim

n→∞ n +

+ 2

Вычислить предел lim

2n 2

n→∞

ДЗ № 2. Пределы функций

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№	№ по	Задание	Ответ
п/п	Еф.

5.262

Пользуясь только определением

предела функции, доказать, что

lim f (x) = a , и заполнить

x→∞

следующую таблицу

0,1

0,01

0,001

δ (ε )

f (x) =1/ x , x0 =1, a =1.

5.264

Используя логическую символику,

E > 0 δ > 0

записать следующее утверждение

(0 <

<δ

f (x)

> E )

lim f (x) = ∞

x→0

5.265

Используя логическую символику,

E > 0 δ > 0

записать следующее утверждение

(−δ < x −1 < 0

f (x)

< −E )

lim f

(x)= −∞

x→1−0

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025613 Кб1Математика заочники.doc
#
23.02.201522 Кб13Математика и Физика экзамен.docx
#
01.07.20252 Мб1математика Матвеева Любовь.docx
#
23.02.20158 Мб13Математика методичка №2.pdf
#
01.05.20251 Мб1математика надо делать с 1-10[1].doc
#
23.02.20155 Мб54Математика производные и пределы.pdf
#
23.02.2015245 Кб15МАТЕМАТИКА Ч1.3 Практ.pdf
#
23.02.2015289 Кб13МАТЕМАТИКА Ч1.7,8 ФормулыБибл.pdf
#
30.04.2019249 Кб7математика экзамен.docx
#
13.03.20165 Мб44Математика_2_2015.pdf
#
22.02.20152 Мб17Математика.doc