ПП _07 _Законы распр и числ хар

На графике приведен полигон распре-

деления. Мода распределения X =10 .

Математическое ожидание

M (X )= np =15

2 =10 ,

3

Дисперсия D(X )= npq =15 2

1 =

10 ,

3

3

3

СКО σ (X )= 10

≈1,826 .

3

Промежуток

[8,174;11,826]

[M −σ; M +σ ]=

содер-

жит три значения X : 9,10,11.

P(M (X )−σ (X )≤ X ≤ M (X )+σ (X )) =

11

= ∑Pk = 0,5877.

k =9

.

Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых 10

дефектных, выбраны случайным образом 5 изделий для

проверки их качества. Постройте ряд распределения слу-

чайного числа дефектных изделий среди пяти выбран-

ных.

РЕШЕНИЕ:

ПП

Так как число дефектных изделий в выборке может быть

7.№2.

любым целым числом от 0 до 5

включительно, то воз-

можные значения случайной величины равны:0,1,2,3,4,5.

Вероятность того, что в выборке окажется ровно k ( k =

0,1,2,3,4,5) дефектных изделий равна:

P ( X = k) =

Ck C5−k

10

90 .

k

C5

100

xi

0

1

2

3

4

5

pi

0,584

0,339

0,07

6,384 10−3

2,51 10−4

3,347 10−6

4

изделия

испытываются при перегрузочных режимах.

Вероятности для каждого изделия пройти испытание

равны 0,8. Испытания заканчиваются после первого же

изделия, не выдержавшего испытания. Постройте ряд

распределения числа испытаний.

ПП

РЕШЕНИЕ:

P (x

= k )

1

4

k −1

7.№3.

=

.

5

5

X i

1

2

3

..….

k

pi

1

4

42

…...

4k −1

5

52

53

5k

В денежной

лотерее разыгрывается 1 выигрыш по 1000

руб., 10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1

руб. при общем числе билетов, равном 10000. Найдите

закон распределения случайного выигрыша X для вла-

дельца одного лотерейного билета и математическое

ожидание выигрыша.

РЕШЕНИЕ:

ПП

Запишем закон распределения случайного выигрыша X.

0,21 руб.

7.№4.

X i

1000 руб.

100 руб.

1 руб.

0 руб.

pi

0,0001

0,001

0,01

0,9889

Найдем математическое ожидание выигрыша

M (X )

N

= ∑Xi pi ,

i=1

M (X )=1000 0,0001+100 0,001+

+1 0,01+0 0,9889 = 0, 21(руб.)

Найдите математическое ожидание и дисперсию числа

очков, выпавших при бросании игральной кости.

РЕШЕНИЕ:

выигрыша X

ПП

Запишем закон

распределения случайного

3,5;

7.№5.

Xi

1

2

3

4

5

6

2,92

pi

1

1

1

1

1

1

Математическое

6

6

6

6

6

6

ожидание

N

Дисперсия

D (X )= ∑(Xi −M (X ))2 pi

D(X ) = ∑(Xi −3,5)2 1

i=1

(1−3.5)2 +(2 −3.5)2 +(3 −3.5)2 +

= 1

N

i =1

6

6

X , Y и Х −Y .

РЕШЕНИЕ:

X

0

1

2

p

1

1

1

1 .

4

2

4

M (X )=1, D (X )=

2

Y

1

2

3

4

5

6

p

1

1

1

1

1

1

6

6

6

6

6

6

M (Y )= 3,5; D (Y )

=

35

≈ 2,91667 .

ПП

12

На рисунке приведено пространство исходов для с.в.

7.№6.

Х −Y :

Ряд распределения

Х −Y

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

p

1

1

1

1

1

1

1

1

18

18

9

6

6

6

6

9

При каком значении a функция f (x)=

a

(−∞ < x < ∞)

1+ x2

является плотностью вероятности случайной величины

Х? Найдите функцию распределения и вероятность попа-

дания случайной величины в интервал [−1,1].

ПП

РЕШЕНИЕ:

7.№7.

∞

1

−∞∫

a

dx =1 a =

.

1+ x2

π

F (x)

1 ∞

dx

1

1

arctg x .

=

−∞∫

=

+

π

1+ x2

2

π

P (−1 ≤ x ≤1)= F (−1)

− F (1)

=

1 .

2

Найдите математическое ожидание, моду, медиану и дис-

персию случайной величины X с плотностью распреде-

ления

0, x < 0,

2

f (x)

=

2

x −

x2

, 0 ≤ x ≤ 3,

3

9

0, x > 3.

РЕШЕНИЕ:

3

M (X )=

3

2

2

2

2x3

x4

9

3

.

∫0

x

x −

x

dx =

−

= 6 −

=

ПП

3

9

9

18

2

2

3

0

7.№8.

Моду определим из условия f ′(x)= 0 . Тогда

2

2 −

4 x = 0 , откуда Мо(X )= x = 3 .

3

9

2

Медиану находим из условия

Me

2

2

2

x

2

2x3

Me

(Me)2

2

(Me)3

1

, откуда

x −

x

dx =

−

=

−

=

∫0

3

9

3

27

0

3

27

2

(Me)1 = 23 , (Me)2 = 23 (1 + 3 ), (Me)3 = 23 (1 − 3 ).

Из трех полученных значений в интервал [0,3] попадает

только.

D (X )=

3

2

2

2

2

− M (X )

2

∫0

x

x −

x

dx

=

3

9

4

2x

5

3

27

9

9

=

x

−

=

−

=

.

6

45

0

10

4

20

ПП

25

7.№9.

18

M (X )= ∫5

x

2

xdx =

2

x3

5

=

10

.

25

25

3

0

3

0

M (X 2 )= ∫5

x2 f (x)dx = ∫5

x2

2

xdx =

2 x4

5

=

25

.

25 4

2

0

0

25

0

D (X )= M (X

2

)− M

(X ), D(X )=

25

10

2

25

.

2

−

=

18

Медиана

3

Me

2

x

2

Me

(

Me

2

1

5

2

xdx =

=

)

=

, Me =

.

∫0 25

25

25

2

2

0

Xi

2

4

7

Найдите

pi

0.5

0.2

0.3

функцию

распределения F (x) и начертите ее график.

РЕШЕНИЕ:

Если x ≤ 2 , то F (x)= 0 .

Если 2 < x ≤ 4 , то F (x)= 0.5 .

Если 4 < x ≤ 7 , то F (x)= 0.7 .

0,

x ≤ 2,

Если x > 7 , то F (x)=1.

F (x)=

ПП

0,5, 2< x ≤ 4,

0,

x ≤ 2,

0,7, 4< x ≤ 7,

7.№10.

x > 0,7.

1,

2< x ≤ 4,

0,5,

F (x)=

4< x ≤ 7,

0,7,

1,

x > 0,7.

3,9,

ПП

Дискретная случайная величина X задана законом рас-

пределения

16,5,

7.№11.

74,1

Xi

2

3

5

Xi

1

2

4

pi

0,1

0,3

0,6

Найдите центральные моменты первого, второго, третье-

го и четвертого порядков.

РЕШЕНИЕ:

0,

Начальные моменты

1,29,

ПП

α1 =1 0,1+2 0,3 +4 0,6 = 3,1,

-0,89,

7.№12. α2

=12 0,1+ 22 0,3 + 42 0, 6 =10,9,

α3

=13 0,1+ 23 0,3 + 43 0, 6 = 40,9,

2,78

α4

=14 0,1+ 24 0,3 + 44 0, 6 =158,5 .

Центральный момент первого порядка µ1 = 0 .

Центральные моменты

µ2

=α2 −α12 =10,9 −3,12

=1, 29,

µ3

=α3 −3α1α2 − 2α13 = 40,9 −3 3,1 10,9 + 2 3,13 = −0,888 ,

Случайная величина X задана плотностью распределения

f (x)= 0,5x в интервале (0; 2);

вне этого

интервала

0,

f (x) = 0. Найдите начальные и

центральные

моменты

первого, второго, третьего и четвертого порядков.

2

,

ПП

РЕШЕНИЕ:

9

8

7.№13.

Начальные моменты для непрерывной случайной вели-

−

,

135

чины вычисляются по формуле

16

αk = +∞∫ xk f (x)dx .

135

−∞

Найдем начальные моменты

α1 = ∫2

x

1

xdx =

4

,

α2 = ∫2

x2

1

xdx = 2,

2

3

2

0

0

α3 = ∫2

x3

1

xdx = 3.2,

α4 = ∫2

x4

1

xdx =

16

.

2

3

0

2

0

Центральные моменты

2 ,

µ1 = 0 ,

µ2 =α2 −α12 =

9

дите математическое ожидание, дисперсию, среднее

квадратическое отклонение.