Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПП _08 _Предельные теоремы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

262 Кб

Скачать

☆

ПП 8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Предельные теоремы теории вероятностей – группа утверждений, устанавливающих связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний над ними. Различают две группы теорем.

Первая, называемая законом больших чисел (ЗБЧ), устанавливает устойчивость средних значений: при большом числе испытаний среднее значение случайной величины практически перестает быть случайным и может быть предсказано с большой степенью определенности.

Вторая группа теорем, называемая центральной предельной теоремой

(ЦПТ), устанавливает условия, при которых закон распределения суммы случайных величин приближается к нормальному.

При доказательстве предельных теорем часто используются вспомогательные утверждения: неравенство Маркова и неравенство Чебышева.

Неравенство Маркова

Для любой неотрицательной с.в. X ≥0 с математическим ожиданием M ( X )

и для любого ε > 0 справедливо неравенство:

P(X ≥ε) ≤ Mε(X) .

Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение с.в. X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε , не меньше, чем

1− Dε(X2 ) :

X −mx

<ε)≥1−

D(X

)

D(X

)

или

P (

X −mx

≥ε)≤

ПП 8.1. Закон больших чисел

Суть закона больших чисел заключается в том, что при большом числе независимых опытов частота появления какого-то события близка к его вероятности.

Теорема Чебышева (ЗБЧ в форме Чебышева)

Если случайные величины X1 ,X 2 ,...,X n ,...

1) попарно независимы и 2) их дисперсии ограничены, D (X i )≤ C ,

среднее арифметическое наблюдаемых значений независимых случайных величин X1 ,X 2 ,...,X n ,... по мере роста числа слагаемых все меньше отклоняется

от среднего арифметического их математических ожиданий:

	1	n	1	n
		n		n
		∑Xi −		∑M (Xi )		=1,
lim P		∑Xi −		∑M (Xi )	<ε	=1,
n→∞	n i=1		n i=1

как бы мало ни было положительное число ε .

В частности, если X1, X2, …, Xn – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание a, и дисперсии этих вели-

чин ограничены, то
	1	n	X		−a		=1.
		n
lim		∑i=1		i		<ε
n→∞	n	∑i=1		i

Таким образом, сущностью теоремы Чебышева является тот факт, что хотя отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс относительно своих математических ожиданий, их среднее арифметическое рассеяно мало.

Теорема Бернулли (ЗБЧ в форме Бернулли)

Теорема Бернулли – исторически первая формулировка ЗБЧ (1713 г.). Пусть m – число появлений события А в n независимых испытаниях; p = P (A)

– вероятность появления события А в однократном испытании, тогда при стремлении числа испытаний n→∞ частота события А сходится по вероятности к вероятности события А,

	m	− p	< ε	=1 для любого ε > 0.

lim P
n→∞	n

Для с.в.

X =

1 ∑Xi M (X )= p , D(X )= pq , q =1− p .

n i=1

Применим неравенство Чебышева: P

− p

<ε

>1−

nε

ПП 8.2. Центральная предельная теорема

ЦПТ устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин приближается к нормальному.

Для нормального закона плотность и функция распределения имеют вид:

	1	e−	( x−a)2	x	1	x	( x−a)2
f (x) =			2σ2 ,	F(x) = ∫ f (x)dx =		∫e−	2σ2 dx .

	2πσ			−∞	2πσ −∞

Если для нормального закона σ =1, распределение называют нормированным, если a = 0 – центрированным. Нормированное и центрированное нормальное распределение называют стандартным нормальным.

f (x)=ϕ(x)=

e−

, F (x)= 12 +Ф(x)=

∫e−

dx ,

−∞

где

Ф(x)=

∫e−

dx – функция Лапласа.

2π

Простейший вариант ЦПТ

Пусть случайные величины X1 ,X 2 ,...,X n ,... независимы,

имеют одинаковое

распределение, конечные математическое ожидание

M (X i

)= a и дисперсию

D (Xi )=σ2 . Распределение стандартной (т.е., центрированной и нормированной) суммы этих величин Sn при n→∞ стремится к стандартному нормальному:

		n	n		n
		∑Xi − M	∑Xi		∑Xi −na
Sn	=	i=1	i=1	=	i=1		,
Sn	=	n		=	σ		,
		n			σ	n
		D ∑Xi
		i=1

(x)= P (S

< x)→F

(x,0,1),

(x,0,1)=

e−

dt .

2π −∞∫

n→∞

Теорема Ляпунова (ЦПТ в формулировке Ляпунова)

Пусть X1 ,X 2 ,...,X n ,... – независимые случайные величины с математическими ожиданиями m1 = M (X1 ), m2 ,…, mn ,… и дисперсиями σ12 = D(X1 ),

σ22 …, σn2 ,… .

Y −M

Введем Yn = ∑Xi ,

Mn =

∑mi ,

Sn = ∑σi ,

= ∑Xi , Zn

i=1

Если

∑bk

→0

, где b =ν

)= M

(

− m

)

– третий абсолютный

k =1

n→∞

∑Dk

k =1

центральный момент величины X k , то закон распределения Zn

при n→∞ стре-

мится к стандартному нормальному:

(x)= P(Z

< x)

→F

(x,0,1),

(x,0,1)

e−

dt .

∫

n→∞

2π

−∞

Формула Муавра-Лапласа как частный случай ЦПТ

Рассмотрим схему испытаний Бернулли: n – опытов, в каждом случае с вероятностью р может появиться событие А. Пусть Xi – случайная величина, связанная с появлением события А (индикатор события А):

Xi	0,	A не наступило,	Yn	n
Xi	=	A наступило,	Yn	= ∑Xi – число появлений события А в n испыта-
	1,	A наступило,		i

ниях. Величина Yn распределена по биномиальному закону, соответствующие вероятности Pn (m)=Cnm pmqn−m , m = 0,1,2,...,n . Среднее значение M (Yn )= np ,

дисперсия D (Yn ) = npq . Введем стандартную (центрированную и нормирован-

ную) случайную величину Zn = Yn −np .

npq

→N (0,1)

В соответствии с центральной предельной теоремой

n→∞

т.е., к нормальному распределению с mx

= 0 и σ =1, для которого плотность

распределения равна функции Гаусса f (x)=ϕ(x)=

e−

2 , а функция рас-

2π

пределения выражается через функцию Лапласа

F (x)=

∫ e−

dx = 12 +Ф(x).

−∞

Вероятность того, что в серии из n опытов число успехов m будет лежать

между k1 и k2 :

Pn (k1 ≤ m ≤ k2 )= P (k1 − np ≤ m − np ≤ k2 − np)=

k − np

m − np

− np

k − np

= P

≤

=Ф

−Ф

npq

На практике судят о замене биномиального распределение нормальным по

выполнению критериев:

np −3

npq > 0,

np +3

npq < n .

ПП 8.1. Закон больших чисел

№ п/п

Задание

Ответ

Монета бросается 1000 раз. Оцените сверху вероят-

ность отклонения частоты появления герба от веро-

ятности появления герба меньше, чем на 0,1.

ПП 8.№1.

РЕШЕНИЕ:

≥ 39

D (X )

n =1000,

p = q =

, ε = 0,1;

(

− 1

ε ≥1−

)

39 .

1000

В урне 1000 белых и 2000 черных шаров. Вынули с

возвращением

в урну 3000 шаров. Оцените снизуу

вероятность того, что число m извлеченных при этом

белых шаров удовлетворяет двойному неравенству

80 < m <120 .

РЕШЕНИЕ:

Перепишем двойное неравенство в виде

ПП 8.№2.

80 < m <120 −20 < m −100 <

≥

20,

−

− 3

300

Нужно

оценить

вероятность

неравенства

−

, ε =

300

1 2

3 3

−

≥1−

300

225

Дана случайная величина X с математическим ожи-

данием m и дисперсией σ2 . Оцените вероятность то-

го, что величина X отклонится от своего математиче-

ского ожидания более чем на 3σ .

РЕШЕНИЕ:

Полагая в неравенстве Чебышева

ПП 8.№3.

P (

X −m

≥α)≤

≤

α2

α = 3σ , имеем P (

X −m

≥ 3σ )≤

= 1 ,

то есть вероят-

9σ2

ность того, что отклонение случайной величины от

ее математического ожидания не выйдет за пределы

3σ , не может быть больше

1 .

Дана случайная величина X с математическим ожи-

данием m и дисперсией σ2 . Оцените вероятность то-

ПП 8.№4.

го, что величина X отклонится от своего математиче-

0, 968

ского ожидания менее чем на 31σ .

РЕШЕНИЕ:

P (

X −m

< 31σ )

≥1−

= 0,968 .

Случайная величина

с одинаковой вероятностью

может принимать одно из двух значений:

kα и −kα .

Определите, удовлетворяет ли последовательность

ПП 8.№5.

X1 ,X 2 ,...X k ,...

попарно независимых случайных ве-

личин закону больших чисел:

lim P

∑Xi

−

∑M (Xi

)

=1,ε

> 0 , если

<ε

n→∞

n i=1

α = −1,8 и α = 0, 42 .

РЕШЕНИЕ:

Случайные величины попарно независимы. Проверим, является ли дисперсия Xk ограниченной вели-

чиной. Составим законы распределения случайной величины Xk для различных α .

1) α = −1,8 .

			Xk	k −1,8	- k −1,8
			Xk
			pi	1		1
				2		2
								k −3,6
M (X k )=	1 (k −1,8	− k −1,8 )= 0						k −3,6	k −3,6
						X k2
						pi		1	1
	2					pi		1	1
								2	2
D(Xk )=	1 (k−3,6	+ k−3,6 )= k−3,6			=	1	≤1,
D(Xk )=	1 (k−3,6	+ k−3,6 )= k−3,6			=	3,6	≤1,
	2					k
D (X k )→ 0 при k → ∞.

Дисперсия ограничена. Теорема Чебышева выполняется, Xk удовлетворяет закону больших чисел.

2) Проверьте самостоятельно, что при α = 0, 42 закон больших чисел не выполняется. Почему?

ПП 8.2. Центральная предельная теорема

На отрезке 0,	3	случайным образом выбраны п чи-
	2

сел, точнее рассматриваются п независимых случай-
ных величин	X1 ,X 2 ,...X n , равномерно распределен-
ных на этом отрезке. Определите вероятность того,
что их сумма		заключена между x1 и x2 , то есть

	n
ПП 8.№6. P x1 < ∑Xi < x2 .					0,0288
	i=1
РЕШЕНИЕ:
Для	равномерного				распределения Xi на отрезке
[a, b], a = 0, b =		3 .
		2
M (Xi )= a +b		= b	=	3	,
	2	2		4

D(X	i	)= (b −a)2		= b2		=		3	, σ	x	=	D =	b		=	3	.
	i	12			12		16			x		x	2	3	4
		12			12		16						2	3	4
n		(Xi )= n b	= n		3 . Преобразуем двойное неравен-
∑M		(Xi )= n b	= n		3 . Преобразуем двойное неравен-
i=1		2			4

ство для искомой вероятности к виду ЦПТ:

P x1 <

∑Xi

< x2 =

i=1

−

P x1

< ∑

< x2 −

i=1

−

∑ Xi −

−

= P

i=1

− 2

= Φ

− Φ

x1 − 2

Пусть n =162 ,

x1 =132 ,

=156 , тогда

b n

− bn

x − bn

≈11,

≈ 6,27 ,

≈

1,9 .

По таблице найдем Φ(6,27)≈ 0,5,

Φ(1,9)= 0,4712 .

Р = 0,0288.

Складываются 103 чисел, каждое из которых ок-

руглено с точностью до 10–3. Предполагая, что ошиб-

ки от округления независимы и равномерно распре-

делены в интервале (−0,5 10−3 ;0,5 10−3 ), найти ин-

тервал, симметричный относительно математическо-

го ожидания, в котором с вероятностью 0,998 заклю-

ПП 8.№7.

чена суммарная ошибка.

РЕШЕНИЕ:

Представим наблюдавшиеся числа в виде

+ ∆i , где Xi

Xi = X

– наблюдавшееся значение, X

– округленное значение, ∆i – ошибка округления

i –го числа. Очевидно, сумма равна

1000

∑Xi = ∑(X

i + ∆i )= ∑X

i + ∑∆i =ΣX

+Σ∆.

i=1

Первое слагаемое – сумма округленных значений – неслучайно. Второе – сумма случайных величин ∆i , равномерно распределенных на интервале (−0,5 10−3 ;0,5 10−3 ). Для слагаемых

M (∆i )= 0 , D(∆i )=121 10−6 (см. ПП 8.№6.).

1000
Для Σ∆ = ∑∆i соответствующие характеристики:
i=1	1000
	1000			1000
M (Σ∆)= M ∑		∆i		= ∑M (∆i )= 0,
	i=1			i=1
D(Σ∆)	1000			1000	10−3	,
D(Σ∆)	= D ∑∆i		= ∑D(∆i )=		12	,
	=			=	12
	i 1			i 1

σ = D(Σ∆) ≈9,13 10−3 .

Σ∆

Считая (в соответствии с ЦПТ), что величина σ

распределена по закону N (0;1), по таблицам функции Лапласа Ф(x) находим решение уравнения

Ф(x)= 0, 499 : x = 3,09 ,

что дает Σ∆σ (−3,09;3,09), Σ∆ (−0,0282;0,0282).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.2015220 Кб20ПП _03 _Геом опр вер.pdf
#
23.02.2015311 Кб38ПП _04 _Теоремы сл и умн_Усл вер.pdf
#
23.02.2015264 Кб21ПП _05 _Формула полн вер Байеса.pdf
#
23.02.2015297 Кб14ПП _06 _Схема Бернулли.pdf
#
23.02.2015503 Кб16ПП _07 _Законы распр и числ хар.pdf
#
23.02.2015262 Кб14ПП _08 _Предельные теоремы.pdf
#
23.02.2015515 Кб13ПП _09 _Многомерные СВ.pdf
#
23.02.2015364 Кб15ПП _11 _Оценки пар расп.pdf
#
23.02.2015501 Кб11ПП _12_Проверка_стат_гипотез.pdf
#
09.11.2019113 Кб7ПП Введение в специальность -УрФУ.doc
#
23.09.2019464 Кб6пп ответы.docx