ПП _02 _Алгебра событий_Классическое опр вер
.pdfПП2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Событие ─ исход наблюдения или эксперимента. Когда оно при реализации некоторой совокупности условий может произойти, а может и не произой-
ти, получаем случайное событие.
1. Пространство элементарных событий (исходов опыта)
Рассмотрим какой-нибудь идеализированный опыт. Каждый исход этого опыта представляется одним и только одним элементарным событием.
Совокупность всех элементарных исходов опыта образует пространство Ω элементарных событий. Любое случайное событие A , связанное с этим опытом, можно рассматривать как подпространство благоприятствующих этому событию элементарных событий пространства Ω.
С конкретным опытом можно связать невозможное и достоверное Ω события.
Пространство элементарных событий называется дискретным, если оно состоит лишь из конечного числа точек (исходов) или из бесконечного числа точек, которые могут быть занумерованы в простую последовательность.
Примеры соотношений между событиями в терминах теории множеств:
1)A B или B A : { A влечет за собой B } или { B является следствием A } означает, что если произошло событие A , то тем самым произошло и В;
2)C = A + B : {произошло или A , или B , или и то и другое вместе}.
|
Событие С является объединением ( ) или суммой (+) событий A и B и |
|
состоит в наступлении хотя бы одного их них. |
|
A + B = B + A , |
|
(A + B)+C = A +(B +C ); |
3) |
C = A B : {произошло и A , и B }. |
|
Событие C является пересечением ( ∩) или произведением ( ) событий |
|
A и B , состоит в их одновременном наступлении. |
|
Если одно из событий A или B не произойдет, то не произойдет и C ; |
4) |
Два события A и B , пересечение которых ─ невозможное событие |
|
(A B =), называются несовместными. |
|
Объединением двух несовместных событий A и B называется событие C , |
|
заключающееся в появлении либо события A , либо события B ; |
5) |
Два события A и B называются совместными, когда существует хотя бы |
|
одно элементарное событие, благоприятствующее и событию A , |
|
и событию B . |
6) |
Если объединение событий A и B ─ достоверное событие (A + B =Ω), |
а пересечение (A B =) ─ невозможное событие, то события A и B на-
зываются противоположными: A = B и B = A .
1
A A = A ,
A B = B A ,
A (B C )=(A B) C ,
A B = A B .
Все вышеизложенное крайне важно для вычисления вероятности событий!
ПП 2.1. Алгебра событий
№ п/п |
Задание |
Ответ |
|
Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый резуль- |
|
|
тат – появление герба Г или цифры Ц на верхней сторо- |
|
|
не монеты. Постройте множество элементарных исхо- |
|
|
дов Ω опыта и множества элементарных исходов, соот- |
|
|
ветствующих указанным событиям (подмножествам ис- |
|
|
ходного опыта): |
|
|
А {герб выпал ровно один раз}; |
|
ПП 2.1. |
B {ни разу не выпала цифра}; |
|
C {выпало больше гербов, чем цифр}; |
|
|
№1 |
|
|
D {герб выпал не менее, чем два раза подряд}. |
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
Ω= {ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ГЦЦ, ЦГГ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ}; |
|
|
А {ЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ}; |
|
|
В {ГГГ}; |
|
|
С {ГГЦ, ГГГ, ЦГГ, ГЦГ}; |
|
|
D {ГГЦ, ГГГ, ЦГГ}. |
|
|
|
|
ПП 2.1. |
Какие из событий: |
|
№2 |
А {попадание в мишень первым выстрелом}, |
|
|
B {попадание в мишень по крайней мере одним из че- |
|
|
тыре выстрелов}, |
|
|
C {попадание точно в мишень одним из 2 выстрелов}, |
|
|
D {попадание в мишень не более чем 5 выстрелами} |
|
|
являются частью другого события? |
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
A C B D |
|
ПП 2.1. |
В чем состоит событие ( A + B ), для событий |
|
№3 |
А {появление двух гербов при подбрасывании двух мо- |
|
|
нет} и |
|
|
B {появление герба и цифры при подбрасывании двух |
|
|
монет}? |
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
( A + B ) {появление хотя бы одного герба при подбрасы- |
|
|
вании двух монет}. |
|
2
ПП 2.1. |
В чем состоит событие ( A + B +C ) для событий |
№4 |
А {появление 6 очков при бросании игральной кости}, |
|
B {появление 5 очков при бросании игральной кости}, |
|
С {появление 4 очков при бросании игральной кости}? |
|
РЕШЕНИЕ: |
(A + B +C ) {появилось не меньше 4 очков}.
ПП2.1. Наугад отобранная деталь может оказаться первого сор- №5 та (событие А), или второго (событие В), или третьего
(событие С).
В чем состоят события A + B , A +C , A C , (A B)+C ?
|
Выполняется ли равенство |
A |
|
В |
= |
А В |
? |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A + B {деталь либо первого, либо 2 сорта}, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{деталь 2 сорта}, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A +C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A C =, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(A B)+C = +C =C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Нет, C ≠ Ω. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 2.1. |
Пусть А, В и С ─ случайные события, которые являются |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№6 |
элементарными событиями одного и того же простран- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ства исходов опыта. Запишите такие события: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) произошло только А, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) произошло одно и только одно из данных событий, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) произошли два и только два из данных событий, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) произошли все три события, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) произошло хотя бы одно из данных событий, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
е) ни одно из событий не произошло. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
B |
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) |
(A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)+( |
|
|
|
B |
|
)+( |
|
|
|
|
|
|
C ), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
C |
A |
C |
A |
B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
(A B |
|
|
|
)+(A |
|
|
|
C )+( |
|
|
|
|
B C ), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C |
B |
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) |
|
A B C , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) A + B +C , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
B |
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 2.1. |
Пусть для трех событий A, B, C выполняется событие Е |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№7 |
{произойдет только одно из событий A, B, C}: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Постройте множество всех элементарных исходов и со- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
став всех подмножеств, соответствующих событию Е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ω ={ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E ={ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ABC,ABC,ABC |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
ПП 2.1.
№8
Докажите, что а) A + B = A B и б) AB = A + B . РЕШЕНИЕ:
a) Левая часть равенства:
Правая часть равенства:
4
3
б) Левая часть равенства
4
Правая часть равенства
2. Общие схемы идеализированных опытов
Рассмотрим множество или генеральную совокупность из п элементов. Многие опыты предполагают извлечение из генеральной совокупности некоторого подмножества из k элементов. Для наглядности можно представить, что элементы выбираются один за другим.
В этом случае возможны две процедуры.
Первая – выбор с возвращением, когда каждое извлечение делается из полной генеральной совокупности, так что один и тот же элемент может быть выбран несколько раз.
Вторая процедура – выбор без возвращения, когда элемент, выбранный однажды, исключается из генеральной совокупности.
В зависимости от условий опыта и искомых вероятностей мы приходим к сочетаниям, перестановкам или размещениям с повторениями или без них в качестве выборок из генеральной совокупности.
5
1.Схема выбора k элементов из п элементов без упорядочения и без возвращения приводит к сочетаниям. Число таких выборов N(Ω) = Cnk .
2.Схема выбора k элементов из п элементов без упорядочения c возвращением приводит к сочетаниям с повторениями.
Число таких выборов N(Ω) = Dnk .
3.Схема выбора k элементов из п элементов без возвращения с упорядочением приводит к размещениям.
Число таких выборов N(Ω) = Ank .
В частном случае k=n такие выборки становятся перестановками, их число N(Ω) = Рn.
4.Схема выбора элементов k из п элементов с упорядочением и с возвраще-
нием приводит к размещениям с повторениями. Число таких выборов
N(Ω) = пk.
5.Схема разбиения генеральной совокупности объема п на подмножества из
ki (i=1, 2, …, r) элементов приводит к N(Ω) = (k1, k2, … kr) числу возможных способов размещений.
3. Классическое определение вероятности
Обозначим множество исходов опыта через Ω = {ω 1, ω 2,…, ω n}, где ω i (i = 1, 2,…n) – i-ый исход из п равновозможных.
Число элементарных исходов опыта N(Ω) = n.
Пусть событию А отвечают исходы А = {ω 1, ω 2,…, ω k}, A Ω, N (A) = k. В классическом определении вероятности полагают, что для опыта с равновозможными исходами вероятности элементарных исходов равны между со-
бой и P (ω i) = P(ωj )= 1n , (i, j = 1, 2, … n).
Вероятность Р(А) события А
равна отношению числа элементарных событий, входящих в А, к общему числу элементарных событий в Ω:
Р (А) = NN((ΩA)) = kn ,
где k – число исходов опыта, благоприятствующих наступлению события А, а п – общее число событий опыта.
Для определения вероятности события мы должны уметь подсчитывать число как всех возможных исходов опыта, так и число исходов, при которых наступает интересующее нас событие с помощью комбинаторного анализа.
4. Формулы комбинаторики
Число перестановок из п элементов
Pn = n!
Число размещений из п элементов по k
6
Ak = n (n −1) ... (n − k +1)= |
n! |
|
(n − k )! |
||
n |
||
|
Число сочетаний из п элементов по k
Cnk = |
n! |
= |
n(n -1)...(n - k +1) |
= |
Ak |
||
|
|
|
n |
||||
k !(n - k)! |
k ! |
k ! |
|||||
|
|
|
Число разбиений множества из n элементов на группы из k1, k2, …, kr элементов
|
|
Cn (k1 , k2 ,...kr )= |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
k !k |
2 |
!...k |
r |
! |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Число сочетаний из п элементов по k с повторениями |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Dk |
|
=Cn−1 |
|
|
|
= Ck |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
n+k −1 |
|
|
|
|
|
|
n+k −1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ПП 2.2. Классическое определение вероятности |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ п/п |
|
|
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
||||||||||||
|
Имеются 6 ключей. Какова вероятность выбрать |
|
||||||||||||||||||||||||
ПП 2.2. |
нужный ключ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,16 |
||||
№1 |
|
P (A) |
= |
N (A) |
|
= |
1 |
|
= 0,16 . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
N (Ω) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ПП 2.2. |
В книге 500 страниц. Чему равна вероятность того, |
|
||||||||||||||||||||||||
№2 |
что наугад открытая страница будет иметь порядко- |
|
||||||||||||||||||||||||
|
вый номер, кратный 7? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
N (Ω)=5000. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Номер страницы, кратный 7, имеет вид 7k, где k ─ |
0,142 |
||||||||||||||||||||||||
|
целое число, 0 < 7k <500 , k < |
500 |
= |
71 3 |
|
k = 71. Из них |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||
|
благоприятствуют наступлению интересующего нас |
|
||||||||||||||||||||||||
|
события N (A)= 71. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P (A)= |
|
N (A) |
|
= |
|
|
71 |
|
|
= 0,142 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
N (Ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ПП 2.2. |
На 5 карточках написаны буквы А, К, Л, О, Д. Какова |
|
||||||||||||||||||||||||
№3 |
вероятность того, что при случайном последователь- |
|
||||||||||||||||||||||||
|
ном выборе карточек получится слово «ЛОДКА»? |
|
||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Число возможных расположений пяти букв на пяти |
0,008 |
||||||||||||||||||||||||
|
местах равно N (Ω)= P5 = 5! =120 . Так как нас инте- |
|
||||||||||||||||||||||||
|
ресует одна комбинация из них, то: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
P ( A) = |
|
N (A) |
|
= |
|
1 |
|
= 0,008 . |
|
|
|||||||||||||||
|
N (Ω) |
120 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ПП 2.2. |
Из 5 карточек с буквами А, В, Б, Г, Д, наугад одна за |
0,017 |
||||||||||||||||||||||||
№4 |
другой выбираются три и располагаются в ряд в по- |
|||||||||||||||||||||||||
|
7
|
|
рядке появления. Какова вероятность того, что полу- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
чится слово «ДВА»? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Число возможных расположений пяти букв на трех |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
местах равно N (Ω) = A53 . Так как нас интересует од- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
на комбинация из них, то: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
P ( A) = |
|
N (A) |
|
|
= |
|
|
1 |
|
= |
|
1 |
|
|
= |
|
|
1 |
= 0,017 . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
N (Ω) |
|
|
A53 |
|
5 4 3 |
60 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ПП 2.2. |
|
Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№5 |
|
А, А, М, М. Какова вероятность того, что при слу- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
чайном расположении букв, в ряд получится слово |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
«МАМА»? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Число способов расположить букву «М» на двух |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
местах из четырех равно C42 , а букву «А» на двух ос- |
0,167 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
тавшихся – C22 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Число возможных последовательностей этих пар |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
букв равно N(Ω) = C42 C22 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Нас устраивает одна из этих комбинаций, поэтому: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
P ( A) = |
|
N(A) |
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
1 |
|
= |
1 =0,167. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
N (Ω) |
|
|
C42 |
C22 |
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
4 3 2 |
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2!2! |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ПП 2.2. |
|
Дан набор букв М, М, Т, Т, А, А, А, Е, И, К. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№6 |
Какова вероятность того, что при случайном раскла- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
дывании получится слово «МАТЕМАТИКА»? |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Число упорядоченных комбинаций из данных букв |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(М, А, Т, Е, И, К) равно числу сочетаний из п эле- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ментов с повторениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 0,66 10−4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N(Ω) = C10 |
(2, 3, 2, 1, 1, 1). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Нас интересует одна из таких комбинаций, вероят- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ность ее появления равна |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
P (A)= |
|
N (A) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
2! 3! 2! |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
N (Ω) |
|
C10 |
(2, 3, 2 ) |
10! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
≈ 0,000066 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
151200 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ПП 2.2. |
|
Набирая номер телефона, |
абонент забыл последние |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№7 |
|
три цифры, и, помня лишь, что эти цифры различны, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
набрал их наудачу. Найдите вероятность того, что |
0,0083 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
набраны нужные цифры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
P (A) = |
N (A) |
= |
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
1 |
= 0,0083 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
A103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
N (Ω) |
|
|
|
|
10 |
9 8 |
|
|
720 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
ПП 2.2. |
При наборе телефонного номера абонент забыл две |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
№8 |
последние цифры и набрал их наугад, помня только, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
что эти цифры нечетные и разные. Найдите вероят- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ность того, что номер набран правильно. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
||||||
|
Число возможных расположений пяти нечетных |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
цифр (1, 3, 5, 7, 9) на двух местах равно A52 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Вероятность набора единственно верной комбинации |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
P ( A) = |
N (A) |
|
= |
|
1 |
= |
1 |
|
= |
|
1 |
=0,05 . |
|
|||||||||||||||||
|
N (Ω) |
|
|
|
|
5 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A52 |
|
|
|
20 |
|
|
|
||||||||||||||||
ПП 2.2. |
В лотерее 2000 билетов. Из них выигрышных биле- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
№9 |
тов: 1 ─ 100 руб., 4 ─ 50 руб., 10 ─ 20 руб., 20 ─ 10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
руб., 165 ─ 5 руб., 400 ─ 1 руб., остальные ─ невыиг- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
рышные. Какова вероятность выиграть по билету не |
0,0175 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
менее 10 руб.? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P(A)= |
N (A) |
=1+4 +10 + 20 = |
|
|
|
|
35 |
= 0,0175 . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2000 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
N (Ω) |
|
|
2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ПП 2.2. |
Числа натурального ряда 1,2,3,….n расставлены слу- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
№10 |
чайно. Какова вероятность того, что числа 1 и 2 рас- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
положатся рядом и притом в порядке возраста- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ния? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Число способов N (Ω) расставить n чисел нату- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
рального ряда равно Pn |
= n!. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Число способов, когда числа 1 и 2 стоят на первом |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
и втором местах, равно числу перестановок осталь- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ных (n −2) чисел на остальных местах: Pn−2 = (n −2)! . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Различных положений чисел 1 2, когда они находят- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ся рядом в порядке возрастания: (n −1). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Событие А {числа 1 и 2 расположатся рядом и |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
притом в порядке возрастания}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
N (A)=(n −2)!(n −1)=(n −1)!. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
P (A)= |
|
|
N (A) |
= |
|
(n −1)! |
= 1 . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N (Ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||
ПП 2.2. |
В театре, в одном ряду, содержащем 15 мест, произ- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
№11 |
вольно рассаживаются 8 человек. Какова вероятность |
0,133 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
того, что два определенных лица окажутся рядом? |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Число способов N (Ω) рассадить 8 человек по 15
местам равно N (Ω)= A158 =157!! . Число благоприятст-
вующих исходов: два соседних кресла в ряду из 15 можно расположить 14 способами (1-2, 2-3, и т.д.), эти два места соседи могут занять двумя способами; остальные 6 человек могут рассаживаться на остав-
шихся 13 местах A6 способами, откуда |
|||||||
13 |
|
= 2 14 13! = 2 14! . |
|||||
N (A)=14 2 A6 |
|||||||
|
|
13 |
7! |
7! |
|||
|
N (A) |
|
|||||
P (A)= |
= 2 14! 7! = |
|
2 |
= 0,133. |
|||
N (Ω) |
15 |
||||||
|
|
7! 15! |
|
ПП 2.2. Вокруг круглого стола стоят 12 стульев. 12 человек №12 занимают места за столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что два определенных лица
окажутся рядом? РЕШЕНИЕ:
1 способ. Число способов рассадить12 человек по 12 стульям равно P12 =12!. Число благоприятствующих
исходов: два соседних стула в круге из 12 можно расположить 12 способами (1-2, 2-3,…11-12, 12-1),
эти два места соседи могут занять двумя способами; 0,(18) остальные 10 человек могут рассаживаться на ос-
тавшихся 13 местах P10 способами, откуда
P(A)= NN ((ΩA)) = 2 1212!10! =122 1211 =112 .
2 способ. Первый человек занимает 1 стул, оставшихся стульев – 11, из них соседних – 2. Вероятность второму человеку занять соседний стул –
112 = 0,(18).
ПП 2.2. В группе из 12 студентов, среди которых 8 отлични- №13 ков, по списку наудачу отобрали 9 студентов. Найдите вероятность того, что среди отобранных студентов
5 отличников. 0, 25 РЕШЕНИЕ:
|
P (A)= |
N (A) |
C85 C44 |
8! |
|
4! 9! 3! 14 |
|
|||
|
|
= |
|
= |
|
|
|
12! = 55 ≈ 0, 25. |
|
|
|
N (Ω) |
C129 |
5! 3! |
4! 1! |
|
|||||
ПП 2.2. |
Сколько существует способов раздать 10 вариантов |
1814400; |
||||||||
№14 |
контрольной работы восьми студентам? Какова ве- |
0,0(2) |
||||||||
|
роятность события A{варианты 1 и 2 окажутся неис- |
|
10