11_12_Проверка_стат_гипотез
.pdf
Проверка статистических гипотез |
|
|
|
|
|
|
|
131 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9,0 – 9,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,8 |
0,64 |
0,08 |
|
2 |
|
1,4 |
|||||||||||
|
9,1 – 9,2 |
|
5 |
|
|
6,4 |
|
|
|
|
|
||
|
9,2 – 9,3 |
|
27 |
|
|
23,2 |
|
3,8 |
14,4 |
0,62 |
|
||
|
9,3– 9,4 |
52 |
62,0 |
-10 |
100 |
1,61 |
|
||||||
|
9,4 – 9,5 |
117 |
126 |
-9 |
81 |
0,64 |
|
||||||
|
9,5 – 9,6 |
203 |
189 |
4 |
16 |
0,08 |
|
||||||
|
9,6 – 9,7 |
228 |
214,2 |
13,8 |
190,4 |
0,89 |
|
||||||
|
9,7 – 9,8 |
180 |
181,3 |
1,3 |
1,7 |
0,01 |
|
||||||
|
9,8 – 9,9 |
105 |
115,7 |
10,7 |
174,5 |
0,99 |
|
||||||
|
9,9 – 10,0 |
60 |
54,7 |
5,3 |
28,1 |
0,51 |
|
||||||
|
10,0 – |
14 |
19,5 |
5,5 |
30,3 |
1,55 |
|
||||||
|
10,1 |
|
4 |
|
|
5,2 |
|
|
|
|
|
||
|
10,1 – |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
0,49 |
0,08 |
|
|
2 |
|
|
1,1 |
|
||||||||
|
10,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
10,2 – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,3 – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
Итого: |
1000 |
999,7 |
– |
7,06 |
|
|||||||
По данному интервальному ряду составим вспомогательный ряд (в качестве значений возьмем середины интервалов, в качестве вероятностей – относительные частоты):
X |
9,05 |
9,15 |
9,25 |
9,35 |
9,45 |
9,55 |
9,65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
0,002 |
0,005 |
0,027 |
0,052 |
0,117 |
0,203 |
0,228 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
9,75 |
9,85 |
9,95 |
10,05 |
10,15 |
10,25 |
10,35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
0,180 |
0,105 |
0,060 |
0,014 |
0,004 |
0,002 |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вспомогательного ряда найдем выборочное среднее X B = 9,643 и исправленную выборочную дисперсию sB2 = 0,166 . Принимая их в качестве то-
чечных оценок соответствующих параметров генерального распределения, по таблице значений функции Лапласа найдем теоретические частоты (третий столбец исходной таблицы).
При дальнейших вычислениях объединим интервалы с малыми числами наблюдений (числа в таблице обведены рамками) и найдем наблюдаемое зна-
чение критерия χнабл2 = 7,06 (четвертый – шестой столбцы исходной таблицы). При уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν =11−(1+2)=8 табличное критическое значение χкр2 =15,5 .
Так как χнабл2 = 7,06 < χкр2 =15,5 , гипотеза о нормальном законе распределения Х в генеральной совокупности не противоречит опытным данным (гипотеза не отвергается).
132 |
Лекции 11–12 |
12.2.2. Критерий Колмогорова
Величина χ2 зависит от группировки выборочной совокупности по интервалам, что вносит в оценку дополнительный элемент случайности.
В ряде случаев оказывается удобнее пользоваться критерием Колмогорова, основанном на сравнении эмпирической функции распределения F* (x)
(построенной на основании опытных данных) и предполагаемой теоретической функции распределения F (x). В качестве меры расхождения берется
максимум абсолютной величины разности между опытной F* (x) и теоретической F (x) функциями распределения накопленных относительных частот,
D = max |
|
∆ |
n |
|
= max |
|
F* (x)− F (x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||
n |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, если расхождения слишком велики, то гипотеза о том, что функция распределения генеральной совокупности имеет вид F (x), отвергается.
При достаточно больших объемах выборки (как показывает практика, при n > 20 ) можно пользоваться предельным распределением критерия, предложенным А.Н. Колмогоровым, формально справедливым при n → ∞: если функция распределения генеральной совокупности F (x) непрерывна, то при n → ∞
|
∞ |
при t > 0; |
P(Dn |
∑(−1)k e−2k 2t2 , |
|
n <t ) n→∞→K (t )= k =−∞ |
|
|
|
|
при t ≤ 0. |
|
0, |
При заданном уровне значимости α критерий Колмогорова отклоняет основную гипотезу H0 о виде функции распределения F (x), если Dn > D1−α ,
где D1−α – квантиль уровня 1−α распределения случайной величины D при
условии истинности основной гипотезы |
H0 . Если Dn ≤ D1−α , то статистиче- |
|||||
ские данные не противоречат гипотезе H0 . Квантиль D1−α находится из урав- |
||||||
нения |
|
|
|
t1−α |
|
|
K (t |
)=1−α , |
D |
= |
. |
||
|
||||||
1−α |
|
1−α |
|
n |
||
|
|
|
|
|||
Проверка статистических гипотез |
133 |
Таблицы функции K (t) приведены в литературе (см. приложение).
При применении критерия Колмогорова проделываются следующие действия:
1. По опытным данным выдвигается гипотеза о законе распределения.
2. |
Вычисляется t |
эксп |
= D |
n , где D = max |
|
F* (x)− F (x) |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
n |
n |
x |
|
|
|
|
|
3. |
Задается уровень значимости α. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
4. |
По таблице функции K (t) находится tкрит = t1−α такое, что K (t1−α )=1−α . |
||||||||
5. Если tэксп > tкрит , гипотеза отвергается, если tэксп ≤ tкрит , гипотеза не отвергается.
Применим критерий Колмогорова к задаче, рассмотренной в предыдущем примере.
Составим таблицу:
xn |
wn |
F* (xn ) |
F (xn ) |
с |
|
|
|
|
|
9,05 |
0,002 |
0,002 |
0,000 |
0,002 |
9,15 |
0,005 |
0,007 |
0,001 |
0,006 |
9,25 |
0,027 |
0,034 |
0,009 |
0,025 |
9,35 |
0,052 |
0,086 |
0,039 |
0,047 |
9,45 |
0,117 |
0,203 |
0,123 |
0,080 |
9,55 |
0,203 |
0,406 |
0,288 |
0,118 |
9,65 |
0,228 |
0,634 |
0,518 |
0,116 |
9,75 |
0,180 |
0,814 |
0,741 |
0,073 |
9,85 |
0,105 |
0,919 |
0,894 |
0,025 |
9,95 |
0,060 |
0,979 |
0,968 |
0,011 |
10,05 |
0,014 |
0,993 |
0,993 |
0,000 |
10,15 |
0,004 |
0,997 |
0,999 |
0,002 |
10,25 |
0,002 |
0,999 |
1,000 |
0,001 |
10,35 |
0,001 |
1,000 |
1,000 |
0,000 |
Наибольшее |
значение модуля разности выделено жирным |
шрифтом, |
|
Dэксп = 0,118. |
Для |
вспомогательного статистического ряда |
n =14 , |
tэксп = 0,118 |
14 = 0,442 . При том же уровне значимости α=0,05 tкрит =1,36 . |
||
Так как tэксп <tкрит , |
гипотеза о нормальном распределении совокупности не |
||
отвергается. |
|
|
|