Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Vektory2lekts

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
284.99 Кб
Скачать

1.2. Векторное произведение векторов.

Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника,

построенных на векторах !

=

! !

!

!

!

j!j

 

j!j

p

m + 2 n ;

q

= m

3 n , ãäå

= 4;

 

 

! !

 

 

m

n

= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6.

Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем

 

 

 

[!

 

!

 

 

 

 

 

 

p

 

q ] =

 

 

 

=

1.2. Векторное произведение векторов.

Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника,

построенных

на векторах !

=

! !

!

!

!

j!j

 

j!j

 

p

m + 2 n ;

q

= m

3 n , ãäå

= 4;

 

 

 

! !

 

 

m

n

= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6.

Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем

 

 

 

 

[!

 

!

 

 

 

= [ ! ! !

p

 

q ] =

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

m + 2 n

m

3 n ] =

 

 

 

 

 

1.2. Векторное произведение векторов.

Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника,

построенных

на векторах

!

!

!

!

!

 

!

j!j

 

j!j

 

 

p

= m + 2 n ;

q

= m

 

3 n , ãäå

= 4;

 

 

 

 

! !

 

 

 

 

m

n

= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6.

Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем

 

 

 

 

 

[!

!

 

 

 

 

 

 

! !

!

!

p

q ] =

! ] + 2[! !

 

!

! !

= [ m + 2 n m

3 n ] = [m m

3 n

 

n m

 

 

3 n ] =

1.2. Векторное произведение векторов.

Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника,

построенных

 

 

на векторах

!

 

!

 

!

!

!

 

!

 

j!j

 

 

j!j

 

 

 

 

 

p =

m + 2 n ;

q =

m

 

3 n , ãäå

= 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! !

 

 

 

 

 

 

m

 

n

= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6.

 

Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[! !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

q ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= [

! !

 

! ! !

! !

 

 

 

!

!

 

!

 

! ! ! !

!

 

! !

!

 

 

 

 

 

 

m + 2 n m 3 n ] = [m m 3 n ] + 2[ n m 3 n ] =

= [m

 

m]

 

3[m

 

n ] + 2 [ n

 

 

 

 

 

 

 

n ] =

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

m] 6 [ n

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

{z

 

}

 

 

 

 

|

 

{z

 

}

 

|

 

{z

 

 

}

 

 

 

 

 

 

1.2. Векторное произведение векторов.

Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника,

построенных

 

 

на векторах

!

 

 

!

 

!

!

!

!

j!j

 

 

j!j

 

 

 

 

 

p =

m + 2 n ;

q =

m

3 n , ãäå

= 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! !

 

 

 

 

m

 

n

= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6.

 

Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[! !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

q ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= [

! !

 

! ! !

! !

 

 

 

!

! !

! ! ! !

!

 

! !

!

! !

 

m + 2 n m 3 n ] = [m m 3 n ] + 2[ n m 3 n ] =

= [m

 

m]

 

3[m

 

n ] + 2 [ n

 

 

 

 

 

 

 

 

n ] =

 

5[m

 

n ]:

 

 

 

 

 

m] 6 [ n

 

 

 

 

 

|

 

{z

 

}

 

 

 

 

|

 

 

{z

 

}

 

|

 

{z

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! !

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

[m

n ]

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

1.2. Векторное произведение векторов.

Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника,

построенных

 

 

íà

 

векторах

!

 

 

!

 

!

!

!

!

j!j

 

 

 

j!j

 

 

 

 

 

 

 

 

p =

m + 2 n ;

q =

m

3 n , ãäå

= 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! !

 

 

 

 

m

 

 

n

 

 

= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6.

 

Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[! !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

q ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= [

! !

 

 

 

 

! ! !

! !

 

 

 

!

! !

! !

 

! !

!

 

! !

!

! !

 

m + 2 n m 3 n ] = [m m 3 n ] + 2[ n m 3 n ] =

= [m

 

m]

 

3[m

 

n ] + 2 [ n

 

 

 

 

 

 

 

 

n ] =

 

5[m

 

n ]:

 

 

 

 

 

 

m] 6 [ n

 

 

 

 

 

|

 

{z

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

{z

 

}

 

|

 

{z

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! !

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

!

 

 

 

 

 

[m

n ]

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

Отсюда

[!

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

q ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Векторное произведение векторов.

Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника,

построенных

 

 

íà

 

векторах

!

 

 

 

!

 

 

!

 

 

!

=

 

!

!

j!j

 

 

 

j!j

 

 

 

 

 

 

 

 

p =

 

m + 2 n ; q

 

 

 

m

3 n , ãäå

= 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! !

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

n

 

 

= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6.

 

Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[! !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

q ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= [

! !

 

 

 

 

! !

!

! !

 

 

 

 

!

!

! !

! !

 

! !

!

 

 

! !

 

 

 

 

 

! !

 

m + 2 n m 3 n ] = [m m 3 n ] + 2[ n m 3 n ] =

= [m

 

m]

 

3[m

 

n ] + 2 [ n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ] =

 

5[m

 

n ]:

 

 

 

 

 

 

 

m] 6 [ n

 

 

 

 

 

 

 

|

 

{z

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

{z

 

}5

|

 

 

{z

 

 

 

}

1

 

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! !

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

!

 

 

 

 

 

[m

 

n ]

6 .

 

 

o

 

 

 

2

 

 

 

 

Ответ:!

 

,

j!j j!j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

[ p

 

 

 

q ]

= 5

m

n

 

 

sin

 

 

= 5

 

 

4

 

 

5

 

 

 

= 50

 

 

 

 

 

 

Sпарал. =

 

S4 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Векторное произведение векторов.

Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника,

построенных

 

 

íà

 

векторах

!

 

 

 

!

 

 

!

 

 

!

=

 

!

!

j!j

 

 

 

j!j

 

 

 

 

 

 

 

 

p =

 

m + 2 n ; q

 

 

 

m

3 n , ãäå

= 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! !

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

n

 

 

= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6.

 

Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[! !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

q ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= [

! !

 

 

 

 

! !

 

!

! !

 

 

 

 

!

!

! !

! !

 

! !

 

!

 

 

! !

 

 

 

 

 

! !

 

m + 2 n m 3 n ] = [m m 3 n ] + 2[ n m 3 n ] =

= [m

 

m]

 

3[m

 

n ] + 2 [ n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ] =

 

5[m

 

n ]:

 

 

 

 

 

 

 

m] 6 [ n

 

 

 

 

 

 

 

|

 

{z

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

{z

 

}5

|

 

 

{z

 

 

 

}

1

 

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! !

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

!

 

 

 

j!j

 

 

[m

 

n ]

6 .

 

 

o

 

 

 

2

 

 

 

 

Ответ:!

 

,

1j!j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

[ p

 

 

 

q ] = 5

m

 

n

 

 

sin

 

 

= 5

 

 

4

 

 

5

 

 

 

= 50

 

 

 

 

 

 

 

Sпарал. =

50 S4 =

 

Sпарал. = 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Векторное произведение векторов.

Выразим векторное произведение через координаты сомножителей

! ! !

(в ортогональной СК ( i ; j ; k )). Предварительно заметим, что

h!

 

!i

= ;

 

h!i

!j

i

;

h!i

!i

=

;

i

 

i

 

h!j

 

!j

=

h!j

 

k

h!

!i

=

;

i

;

!i

=

;

j

 

i

 

h!

 

 

=

h!

 

k

h!

!i

 

 

!i

 

!i

 

 

k

 

i = ;

 

k

 

j = ;

k

 

k = :

1.2. Векторное произведение векторов.

Выразим векторное произведение через координаты сомножителей

! ! !

(в ортогональной СК ( i ; j ; k )). Предварительно заметим, что

h!

 

!i

!

h!i

 

!j

i

!

h!i

 

!i

!

i

 

i = 0 ;

 

 

 

= k ;

h!

 

k =

j ;

h!

!i

= ! h!

!i

!

!i !

j

 

i

k ;

j

 

j

= 0 ;

j

 

k = i ;

h!

!i !

h!

!i

! h!

!i

!

k

 

i = j ;

k

 

j

=

i ;

k

 

k = 0 :

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]