
Vektory2lekts
.pdf1.2. Векторное произведение векторов.
Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, |
||||||||
построенных на векторах ! |
= |
! ! |
! |
! |
! |
|||
j!j |
|
j!j |
p |
m + 2 n ; |
q |
= m |
3 n , ãäå |
|
= 4; |
|
|
! ! |
|
|
|||
m |
n |
= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6. |
||||||
Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем |
||||||||
|
|
|
[! |
|
! |
|
|
|
|
|
|
p |
|
q ] = |
|
|
|
=
1.2. Векторное произведение векторов.
Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, |
|||||||||
построенных |
на векторах ! |
= |
! ! |
! |
! |
! |
|||
j!j |
|
j!j |
|
p |
m + 2 n ; |
q |
= m |
3 n , ãäå |
|
= 4; |
|
|
|
! ! |
|
|
|||
m |
n |
= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6. |
|||||||
Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем |
|||||||||
|
|
|
|
[! |
|
! |
|
|
|
= [ ! ! ! |
p |
|
q ] = |
|
|
|
|||
! |
|
|
|
|
|
||||
|
m + 2 n |
m |
3 n ] = |
|
|
|
|
|
1.2. Векторное произведение векторов.
Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, |
||||||||||||
построенных |
на векторах |
! |
! |
! |
! |
! |
|
! |
||||
j!j |
|
j!j |
|
|
p |
= m + 2 n ; |
q |
= m |
|
3 n , ãäå |
||
= 4; |
|
|
|
|
! ! |
|
|
|
|
|||
m |
n |
= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6. |
||||||||||
Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем |
||||||||||||
|
|
|
|
|
[! |
! |
|
|
|
|
|
|
! ! |
! |
! |
p |
q ] = |
! ] + 2[! ! |
|
! |
|||||
! ! |
||||||||||||
= [ m + 2 n m |
3 n ] = [m m |
3 n |
|
n m |
|
|
3 n ] = |
1.2. Векторное произведение векторов.
Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, |
||||||||||||||||||||||||||||
построенных |
|
|
на векторах |
! |
|
! |
|
! |
! |
! |
|
! |
|
|||||||||||||||
j!j |
|
|
j!j |
|
|
|
|
|
p = |
m + 2 n ; |
q = |
m |
|
3 n , ãäå |
||||||||||||||
= 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
m |
|
n |
= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6. |
|
||||||||||||||||||||||||
Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[! ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
q ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= [ |
! ! |
|
! ! ! |
! ! |
|
|
|
! |
! |
|
! |
|
||||||||||||||||
! ! ! ! |
! |
|
! ! |
! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
m + 2 n m 3 n ] = [m m 3 n ] + 2[ n m 3 n ] = |
|||||||||||||||||||||||||||
= [m |
|
m] |
|
3[m |
|
n ] + 2 [ n |
|
|
|
|
|
|
|
n ] = |
|
|
|
|
|
: |
||||||||
|
|
|
|
m] 6 [ n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
| |
|
{z |
|
} |
|
| |
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
1.2. Векторное произведение векторов.
Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, |
|||||||||||||||||||||||||||
построенных |
|
|
на векторах |
! |
|
|
! |
|
! |
! |
! |
! |
|||||||||||||||
j!j |
|
|
j!j |
|
|
|
|
|
p = |
m + 2 n ; |
q = |
m |
3 n , ãäå |
||||||||||||||
= 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
|
|
|
||||||||||
m |
|
n |
= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6. |
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[! ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
q ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= [ |
! ! |
|
! ! ! |
! ! |
|
|
|
! |
! ! |
||||||||||||||||||
! ! ! ! |
! |
|
! ! |
! |
! ! |
||||||||||||||||||||||
|
m + 2 n m 3 n ] = [m m 3 n ] + 2[ n m 3 n ] = |
||||||||||||||||||||||||||
= [m |
|
m] |
|
3[m |
|
n ] + 2 [ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n ] = |
|
5[m |
|
n ]: |
||||||||
|
|
|
|
|
m] 6 [ n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
| |
|
|
{z |
|
} |
|
| |
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
[m |
n ] |
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
1.2. Векторное произведение векторов.
Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
построенных |
|
|
íà |
|
векторах |
! |
|
|
! |
|
! |
! |
! |
! |
||||||||||||||||||
j!j |
|
|
|
j!j |
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
m + 2 n ; |
q = |
m |
3 n , ãäå |
|||||||||||||||
= 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
|
|
|
|||||||||||
m |
|
|
n |
|
|
= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6. |
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[! ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
q ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= [ |
! ! |
|
|
|
|
! ! ! |
! ! |
|
|
|
! |
! ! |
||||||||||||||||||||
! ! |
|
! ! |
! |
|
! ! |
! |
! ! |
|||||||||||||||||||||||||
|
m + 2 n m 3 n ] = [m m 3 n ] + 2[ n m 3 n ] = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
= [m |
|
m] |
|
3[m |
|
n ] + 2 [ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n ] = |
|
5[m |
|
n ]: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m] 6 [ n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
| |
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
{z |
|
} |
|
| |
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
o |
|
! |
|
|
|
|
|
[m |
n ] |
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда |
[! |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
q ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Векторное произведение векторов.
Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
построенных |
|
|
íà |
|
векторах |
! |
|
|
|
! |
|
|
! |
|
|
! |
= |
|
! |
! |
||||||||||||||||||||
j!j |
|
|
|
j!j |
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
|
m + 2 n ; q |
|
|
|
m |
3 n , ãäå |
||||||||||||||||||||
= 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
m |
|
|
n |
|
|
= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[! ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
q ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= [ |
! ! |
|
|
|
|
! ! |
! |
! ! |
|
|
|
|
! |
! |
! ! |
|||||||||||||||||||||||||
! ! |
|
! ! |
! |
|
|
! ! |
|
|
|
|
|
! ! |
||||||||||||||||||||||||||||
|
m + 2 n m 3 n ] = [m m 3 n ] + 2[ n m 3 n ] = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= [m |
|
m] |
|
3[m |
|
n ] + 2 [ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ] = |
|
5[m |
|
n ]: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m] 6 [ n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
| |
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
{z |
|
}5 |
| |
|
|
{z |
|
|
|
} |
1 |
|
. Тогда |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
o |
|
! |
|
|
|
|
|
[m |
|
n ] |
6 . |
|
|
o |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ:! |
|
, |
j!j j!j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
|
[ p |
|
|
|
q ] |
= 5 |
m |
n |
|
|
sin |
|
|
= 5 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
= 50 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Sпарал. = |
|
S4 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Векторное произведение векторов.
Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
построенных |
|
|
íà |
|
векторах |
! |
|
|
|
! |
|
|
! |
|
|
! |
= |
|
! |
! |
|||||||||||||||||||||
j!j |
|
|
|
j!j |
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
|
m + 2 n ; q |
|
|
|
m |
3 n , ãäå |
|||||||||||||||||||||
= 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
m |
|
|
n |
|
|
= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Используя свойства векторного произведения, найдем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[! ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
q ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= [ |
! ! |
|
|
|
|
! ! |
|
! |
! ! |
|
|
|
|
! |
! |
! ! |
|||||||||||||||||||||||||
! ! |
|
! ! |
|
! |
|
|
! ! |
|
|
|
|
|
! ! |
||||||||||||||||||||||||||||
|
m + 2 n m 3 n ] = [m m 3 n ] + 2[ n m 3 n ] = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= [m |
|
m] |
|
3[m |
|
n ] + 2 [ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ] = |
|
5[m |
|
n ]: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m] 6 [ n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
| |
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
{z |
|
}5 |
| |
|
|
{z |
|
|
|
} |
1 |
|
. Тогда |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
o |
|
! |
|
|
|
j!j |
|
|
[m |
|
n ] |
6 . |
|
|
o |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ:! |
|
, |
1j!j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
|
[ p |
|
|
|
q ] = 5 |
m |
|
n |
|
|
sin |
|
|
= 5 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
= 50 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Sпарал. = |
50 S4 = |
|
Sпарал. = 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

1.2. Векторное произведение векторов.
Выразим векторное произведение через координаты сомножителей
! ! !
(в ортогональной СК ( i ; j ; k )). Предварительно заметим, что
h! |
|
!i |
= ; |
|
h!i |
!j |
i |
; |
h!i |
!i |
= |
; |
||
i |
|
i |
|
h!j |
|
!j |
= |
h!j |
|
k |
||||
h! |
!i |
= |
; |
i |
; |
!i |
= |
; |
||||||
j |
|
i |
|
h! |
|
|
= |
h! |
|
k |
||||
h! |
!i |
|
|
!i |
|
!i |
|
|
||||||
k |
|
i = ; |
|
k |
|
j = ; |
k |
|
k = : |

1.2. Векторное произведение векторов.
Выразим векторное произведение через координаты сомножителей
! ! !
(в ортогональной СК ( i ; j ; k )). Предварительно заметим, что
h! |
|
!i |
! |
h!i |
|
!j |
i |
! |
h!i |
|
!i |
! |
i |
|
i = 0 ; |
|
|
|
= k ; |
h! |
|
k = |
j ; |
||
h! |
!i |
= ! h! |
!i |
! |
!i ! |
|||||||
j |
|
i |
k ; |
j |
|
j |
= 0 ; |
j |
|
k = i ; |
||
h! |
!i ! |
h! |
!i |
! h! |
!i |
! |
||||||
k |
|
i = j ; |
k |
|
j |
= |
i ; |
k |
|
k = 0 : |