Vektory2lekts
.pdf1.1. Скалярное произведение векторов.
Условие перпендикулярности векторов: |
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
? |
! |
, |
! |
|
! |
, |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
y |
y |
z |
z |
|
||||||||
! |
b |
b = 0 |
= 0 |
|||||||||||
|
|
|
a |
|
|
a b |
|
+ a b |
|
+ a b |
|
|||
Условие параллельности векторов:
1.1. Скалярное произведение векторов.
Условие перпендикулярности векторов:
a |
? |
! |
, |
! |
|
! |
, |
|
|
|
|
x x |
y y |
z z |
|
||||||||
! |
b |
b = 0 |
= 0 |
||||||||
|
|
|
a |
|
|
a b |
+ a b |
+ a b |
Условие параллельности векторов:
|
! |
|
a = ! |
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
! k |
|
, |
! |
|
, |
ax |
|
ay |
|
az |
|
|
|
|
|
bx |
|
by |
|
bz |
|
||||
a |
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1. Скалярное произведение векторов.
Условие перпендикулярности векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
? |
! |
, |
! |
! |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
y |
y |
|
z |
z |
|
|
||||||||||
! |
b |
b = 0 |
|
|
|
= 0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
a b |
|
|
+ a b |
|
+ a b |
|
|
|
||||||
Условие параллельности векторов: |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
! |
|
a = ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
! k |
|
, |
! |
|
, |
ax |
|
ay |
|
az |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
bx |
|
by |
|
bz |
|
|
|
|
||||||||
|
|
a |
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выписать |
координаты |
векторов |
|
! ! |
|||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB и CD, посчи- |
||||||
тать их длину и |
óãîë |
между ними. Векторы заданы точками |
||||||||||||||||||
A( 4; 2); B( 3; 2); C( 1; 4); D(3; 3).
1.1. Скалярное произведение векторов.
Решение. Для нахождения координат вектора надо из координат точки, являющейся концом вектора,
y 6
BkQ Q
Q
Q |
- |
|
x |
1.1. Скалярное произведение векторов.
Решение. Для нахождения координат вектора надо из координат точки, являющейся концом вектора, вычесть координаты точки, являющейся началом вектора:
y 6
BQk
Q
Q
Q 
-
x
A
1.1. Скалярное произведение векторов.
Решение. Для нахождения координат вектора надо из координат точки, являющейся концом вектора, вычесть координаты точки, яв-
ляющейся началом вектора:
!
AB = fxB xA; yB yAg = f1; 4g
|
y |
|
6 |
|
|
|
|
||
BkQ |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
Q |
|
|
- |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
1.1. Скалярное произведение векторов.
Решение. Для нахождения координат вектора надо из координат точки, являющейся концом вектора, вычесть координаты точки, яв-
ляющейся началом вектора:
!
AB = fxB xA; yB yAg = f1; 4g!
CD = fxD xC; yD yCg = f4; 1g
BQkQ
Q
|
Q |
- |
|
x |
|
|
|
|
A |
|
|
1.1. Скалярное произведение векторов.
Решение. Для нахождения координат вектора надо из координат точки, являющейся концом вектора, вычесть координаты точки, являющейся началом вектора:
|
|
|
|
AB = |
x |
B |
x |
; y |
B |
y |
Ag |
= |
f |
1; 4 |
||||||
|
|
|
|
! |
|
f |
A |
|
|
|
|
g |
||||||||
|
|
|
|
CD = |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C Xy |
6 |
|
! |
|
f |
D xC; |
yD |
y |
Cg = f4; 1g |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
` |
XXXXzD |
|
|
AB = p12 + 42 = p17 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BkQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
QQQ |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1. Скалярное произведение векторов.
Решение. Для нахождения координат вектора надо из координат точки, являющейся концом вектора, вычесть координаты точки, являющейся началом вектора:
|
|
|
|
|
AB = |
x |
B |
xA; yB yAg = f1; 4g |
|||||||||||
|
|
|
|
|
! |
|
f |
||||||||||||
|
|
|
|
|
CD = |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C Xy |
6 |
|
|
! |
|
f |
D |
xC; |
yD |
y |
Cg = f4; 1g |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
` |
XXXXzD |
|
|
|
AB = p12 |
+ 4 |
2 = p17 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
BkQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
QQQ |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ ( 1)2 = p17 |
||||||||
|
|
|
|
CD = 42 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1. Скалярное произведение векторов.
Решение. Для нахождения координат вектора надо из координат точки, являющейся концом вектора, вычесть координаты точки, являющейся началом вектора:
|
|
|
|
|
AB = |
|
x |
B |
|
x |
; y |
B |
|
y |
Ag |
= |
f |
1; 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
! |
|
f |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
g |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
CD = |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
; y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
= |
|
|
4; 1 |
||||||||
|
C Xy |
6 |
|
|
! |
|
f |
D |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
Cg |
|
|
f |
g |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
` |
XXXXzD |
|
|
|
AB = p12 + 42 = p17 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BkQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
QQQ |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ( 1)2 = p17 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
CD = 42 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4+4 ( |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
cos ' = |
p |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p17p17 |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||