Vektory2lekts
.pdf
1.2. Векторное произведение векторов.
Определение: h! !i a b
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
b , взятых в данном порядке, называется вектор c : |
|||||||||||
1) |
|
! |
|
|
|
! |
! |
|
|||
|
c |
= |
a |
|
|
b |
|
sin ' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!
векторов a è
(длина численно равна площади параллелограмма, построенного
на данных векторах); |
|
|
|
||||||
2) |
c |
a c |
? |
! |
|
|
|
||
|
! |
? ! |
, |
! |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(вектор ортогонален множителям векторного произведения); |
|||||||||
3) |
c |
|
|
|
|
|
a |
! |
! |
|
! |
направлен так, что тройка |
! |
|
|||||
|
|
|
, b , c образуют правую тройку. |
||||||
1.2. Векторное произведение векторов.
Определение: h! !i a b
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
b , взятых в данном порядке, называется вектор c : |
|||||||||||
1) |
|
! |
|
|
|
! |
! |
|
|||
|
c |
= |
a |
|
|
b |
|
sin ' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!
векторов a è
(длина численно равна площади параллелограмма, построенного
на данных векторах); |
|
|
|
||||||
2) |
c |
a c |
? |
! |
|
|
|
||
|
! |
? ! |
, |
! |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(вектор ортогонален множителям векторного произведения); |
|||||||||
3) |
c |
|
|
|
|
|
a |
! |
! |
|
! |
направлен так, что тройка |
! |
|
|||||
|
|
|
, b , c образуют правую тройку. |
||||||
Направление вектора
!
c можно определить
по правилу "правой руки":
1.2. Векторное произведение векторов.
Определение: h! !i a b
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
b , взятых в данном порядке, называется вектор c : |
|||||||||||
1) |
|
! |
|
|
|
! |
! |
|
|||
|
c |
= |
a |
|
|
b |
|
sin ' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!
векторов a è
(длина численно равна площади параллелограмма, построенного
на данных векторах); |
|
|
|
||||||
2) |
c |
a c |
? |
! |
|
|
|
||
|
! |
? ! |
, |
! |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(вектор ортогонален множителям векторного произведения); |
|||||||||
3) |
c |
|
|
|
|
|
a |
! |
! |
|
! |
направлен так, что тройка |
! |
|
|||||
|
|
|
, b , c образуют правую тройку. |
||||||
Направление вектора
!
c можно определить
по правилу "правой руки":
1.2. Векторное произведение векторов.
Свойства векторного произведения векторов
1.2. Векторное произведение векторов.
1) |
Свойства векторного произведения векторов |
. Ïî- |
|||||||||||
|
a |
|
! |
|
|
|
! |
|
! |
- свойство |
|
||
|
h |
! |
|
i |
h |
|
i |
|
|
||||
|
|
|
|
b |
= |
|
|
b |
|
a |
|
антикоммутативности |
|
рядок векторов имеет значение!
1.2. Векторное произведение векторов.
1) |
Свойства векторного произведения векторов |
|
. Ïî- |
|||||||||||||||||
|
a |
|
! |
|
|
|
|
! |
! |
|
- свойство |
|
|
|||||||
|
h |
! |
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
b |
= |
h |
b |
|
|
a |
антикоммутативности |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
рядок векторов имеет значение! |
|
|
|
) çà- |
||||||||||||||||
2) |
|
a |
|
! |
|
|
|
|
! |
|
! |
сочетательный ( |
|
|
||||||
êîíh |
! |
|
|
i |
|
h |
|
|
i |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
b |
|
a |
|
|
b |
|
ассоциативный |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
векторного произведения.
1.2. Векторное произведение векторов.
1) |
Свойства векторного произведения векторов |
|
. Ïî- |
||||||||||||||||||||||||||
h |
a |
|
! |
i |
|
|
|
! |
|
! |
i |
- свойство |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
b |
= |
h |
b |
|
|
a |
|
|
|
|
|
антикоммутативности |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
рядок векторов имеет значение! |
|
|
|
|
|
|
|
|
) çà- |
||||||||||||||||||||
2) |
|
a |
|
! |
|
|
|
|
|
! |
! |
|
сочетательный ( |
|
|
||||||||||||||
êîíh |
! |
|
|
i |
|
h |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
b |
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
ассоциативный |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) |
|
векторного произведения. |
|
|
|
! |
|
|
распределительный |
||||||||||||||||||||
h |
a + |
! |
! |
|
|
= |
|
! |
|
! |
|
h |
! |
i |
|||||||||||||||
( |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i) закон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
a |
|
|
c + b |
c |
|
|
|
|
|||||||
дистрибутивный |
|
|
|
|
|
|
векторного произведения. |
|
|
||||||||||||||||||||
1.2. Векторное произведение векторов.
1) |
Свойства векторного произведения векторов |
|
|
|
. Ïî- |
||||||||||||||||||||||||||
h |
a |
|
! |
i |
|
|
|
|
! |
|
! |
i |
- свойство |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
b = |
|
b |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
антикоммутативности |
|
|
||||||||||||
рядок векторов имеет значение! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) çà- |
||||||||||||||||||||
2) |
|
a |
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
! |
|
сочетательный ( |
|
|
|
|
|||||||||||||
êîíh |
! |
|
|
i |
|
|
h |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
b |
|
= |
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
ассоциативный |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
|
векторного произведения. |
|
|
! |
|
|
распределительный |
|||||||||||||||||||||||
h |
a + |
! |
|
! |
|
|
= |
|
! ! |
|
h |
! |
i |
||||||||||||||||||
( |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i) закон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
c |
|
|
|
|
|
a |
|
c + |
|
b |
c |
|
|
|
|
|
|
|||||
дистрибутивный |
|
|
|
|
|
векторного произведения. |
! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Замечание. |
! k |
! |
, h! |
!i |
! |
|
|
! |
|
|
! |
|||||||||||||||||||
|
|
a |
|
b |
|
|
|
a |
b = 0 , в частности, a |
a |
= 0 . |
||||||||||||||||||||
1.2. Векторное произведение векторов.
1) |
Свойства векторного произведения векторов |
|
. Ïî- |
||||||||||||||||||||||||||
h |
a |
|
! |
i |
|
|
|
! |
|
! |
i |
- свойство |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
b |
= |
h |
b |
|
|
a |
|
|
|
|
|
антикоммутативности |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
рядок векторов имеет значение! |
|
|
|
|
|
|
|
|
) çà- |
||||||||||||||||||||
2) |
|
a |
|
! |
|
|
|
|
|
! |
! |
|
сочетательный ( |
|
|
||||||||||||||
êîíh |
! |
|
|
i |
|
h |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
b |
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
ассоциативный |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) |
|
векторного произведения. |
|
|
|
! |
|
|
распределительный |
||||||||||||||||||||
h |
a + |
! |
! |
|
|
= |
|
! |
|
! |
|
h |
! |
i |
|||||||||||||||
( |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i) закон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
a |
|
|
c + b |
c |
|
|
|
|
|||||||
дистрибутивный |
|
|
|
|
|
|
векторного произведения. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
! k ! , h! !i ! |
|
! |
|
! |
|
|||||||
Замечание. |
Правило "БАЦ минус ЦАБ": |
a |
|
a |
|||||||||||
a b |
|
a |
b |
|
= 0 , в частности, |
|
|
|
|||||||
|
|
для любых векторов a |
|
! |
! |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
, |
|
|
|
|
|
|
|
[ a |
[! |
|
! |
|
! |
|
|
b , c верно равенство: |
|
|
|||||
! |
! |
|
! ! |
! |
|
|
|
|
|
|
|||||
! |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
c ]] = b ( a b ) |
|
c ( a b ): |
|
|
|
|
|
|
||||||
!
= 0 .
1.2. Векторное произведение векторов.
Пример. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, |
|||||||
построенных |
на векторах ! |
! ! |
! |
! |
! |
||
j!j |
|
j!j |
p |
= m + 2 n ; |
q |
= m |
3 n , ãäå |
= 4; |
|
! ! |
|
|
|||
m |
n |
= 5, угол между векторами m и n равен 5 =6. |
|||||