Vektory2lekts
.pdf
1.1. Скалярное произведение векторов.
Решение. Для нахождения координат вектора надо из координат точки, являющейся концом вектора, вычесть координаты точки, являющейся началом вектора:
|
|
|
|
|
AB = |
|
x |
B |
|
x |
; y |
B |
|
y |
Ag |
= |
|
f |
1; 4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
! |
|
f |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
g |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
CD = |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
; y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
= |
|
|
|
4; 1 |
|||||||||
|
C Xy |
6 |
|
|
! |
|
f |
D |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
Cg |
|
|
|
|
f |
g |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
` |
XXXXzD |
|
|
|
AB = p12 + 42 = p17 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BQk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
QQQ |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
CD = |
|
|
|
4 + ( |
|
1) = 17 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4+4 ( |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
cos ' = |
p |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
' = |
|
2 |
: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p17p17 |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.1. Скалярное произведение векторов.
Решение. Для нахождения координат вектора надо из координат точки, являющейся концом вектора, вычесть координаты точки, являющейся началом вектора:
|
|
|
|
|
|
|
AB = |
|
|
x |
B |
|
x |
; y |
B |
|
|
y |
Ag |
= |
|
f |
1; 4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
f |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
CD = |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
; y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
= |
|
|
|
4; 1 |
|||||||||||||
|
C Xy |
6 |
|
|
|
! |
|
|
|
f |
D |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
Cg |
|
|
|
|
f |
|
g |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
` |
|
XXXXzD |
|
|
|
AB = p12 + 42 = p17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
BQk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
QQQ |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
CD = |
|
|
4 + ( |
|
1) = 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4+4 ( |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos ' = |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
' = |
|
2 |
: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p17p17 |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f |
|
f |
|
|
|
|
|
AB = CD = p |
|
; ' = : |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
AB = |
1; 4 ; CD = |
4; |
|
|
1 ; |
|
17 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
! |
|
g |
! |
|
|
g |
|
! |
|
|
! |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.2. Векторное произведение векторов. |
|||||||
|
тройка векторов |
a |
|
! |
! |
||
Определение: |
|
|
|
! |
|
|
|
|
c |
|
|
, |
b , c называется правой, ес- |
||
ли поворот от вектора |
|
|
|
! |
|
||
|
|
! |
к вектору |
b , видимый с конца третьего |
|||
|
|
|
|||||
!
вектора c осуществляется против хода часовой стрелки:
1.2. Векторное произведение векторов. |
|||||||
|
тройка векторов |
a |
|
! |
! |
||
Определение: |
|
|
|
! |
|
|
|
|
c |
|
|
, |
b , c называется правой, ес- |
||
ли поворот от вектора |
|
|
|
! |
|
||
|
|
! |
к вектору |
b , видимый с конца третьего |
|||
|
|
|
|||||
!
вектора c осуществляется против хода часовой стрелки:
1.2. Векторное произведение векторов. |
|||||||
|
тройка векторов |
a |
|
! |
! |
||
Определение: |
|
|
|
! |
|
|
|
|
c |
|
|
, |
b , c называется правой, ес- |
||
ли поворот от вектора |
|
|
|
! |
|
||
|
|
! |
к вектору |
b , видимый с конца третьего |
|||
|
|
|
|||||
!
вектора c осуществляется против хода часовой стрелки:
1.2. Векторное произведение векторов. |
|||||||
|
тройка векторов |
a |
|
! |
! |
||
Определение: |
|
|
|
! |
|
|
|
|
c |
|
|
, |
b , c называется правой, ес- |
||
ли поворот от вектора |
|
|
|
! |
|
||
|
|
! |
к вектору |
b , видимый с конца третьего |
|||
|
|
|
|||||
!
вектора c осуществляется против хода часовой стрелки:
Теперь перейд¼м к определению векторного произведения
1.2. Векторное произведение векторов.
Определение: h! !i a b
! ! b , взятых в данном порядке, называется вектор c :
!
векторов a è
1.2. Векторное произведение векторов.
Определение: h! !i a b
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
b , взятых в данном порядке, называется вектор c : |
|||||||||||
1) |
|
! |
|
|
|
! |
! |
|
|||
|
c |
= |
a |
|
|
b |
|
sin ' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!
векторов a è
(длина численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах);
1.2. Векторное произведение векторов.
Определение: h! !i a b
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
b , взятых в данном порядке, называется вектор c : |
|||||||||||
1) |
|
! |
|
|
|
! |
! |
|
|||
|
c |
= |
a |
|
|
b |
|
sin ' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!
векторов a è
(длина численно равна площади параллелограмма, построенного
на данных векторах); |
|||||||
2) |
c |
? |
a c |
? |
! |
||
|
! |
! |
, |
! |
b |
||
|
|
|
|
|
|
||
(вектор ортогонален множителям векторного произведения);
1.2. Векторное произведение векторов.
Определение: h! !i a b
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
b , взятых в данном порядке, называется вектор c : |
|||||||||||
1) |
|
! |
|
|
|
! |
! |
|
|||
|
c |
= |
a |
|
|
b |
|
sin ' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!
векторов a è
(длина численно равна площади параллелограмма, построенного
на данных векторах); |
|
|
|
||||||
2) |
c |
a c |
? |
! |
|
|
|
||
|
! |
? ! |
, |
! |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(вектор ортогонален множителям векторного произведения); |
|||||||||
3) |
c |
|
|
|
|
|
a |
! |
! |
|
! |
направлен так, что тройка |
! |
|
|||||
|
|
|
, b , c образуют правую тройку. |
||||||