Приложение 3

СПРАВОЧНИК ФОРМУЛ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ИЗ ЧАСТИ 4

1. Плоскости

Плоскость, проходящая через три точки M0(x0, y0, z0), M1(x1, y1, z1)

и M2(x2, y2, z2), не лежащие на одной прямой. Уравнение плоскости, оп-

ределяющее ее координаты (x, y, z), получается, если приравнять нулю определитель матрицы P (если определитель равен нулю, то это является признаком того, что все три точки лежат на одной прямой. В этом случае существует бесконечное число плоскостей ("пучок плоскостей"), проходящих через одну прямую):

(x − x0) ( y − y0) (z − z0) P = (x1− x0) ( y1− y0) (z1− z0)

(x2 − x0) ( y2 − y0) (z2 − z0)

Обозначим det(P) определитель матрицы P. Уравнение плоскости: det(P) = 0. Раскрывая определитель, выразим одну из координат (обычно z) через две другие: z = f(x, y). Получим вектор Plane (x, y) координат для построения плоскости:

z(x, y)

Плоскость, проходящая через данную точку параллельно другой плоскости. Пусть задано уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 и имеется точка с координатами M1(x1, y1, z1), не лежащая на заданной плоскости. Тогда уравнение плоскости, проходящей через эту точку параллельно заданной плоскости, имеет вид: A (x-x1) + B (y-y1) + C (z-z1) = 0. Из этого уравнения нужно выразить одну из координат (обычно z) через две другие: z = f(x, y) и сформировать вектор Plane (x, y) координат для построения плоскости.

Плоскость, параллельная координатной плоскости и располо-

женная на заданной высоте h. Вектор Plane (x, y) координат для построения плоскости получается так: x и y могут быть любыми, а коорди-

174

ната z должна быть для всей плоскости одной и той же (равной заданной высоте h).

x

Plane(x,y) = y h

Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно к дан-

ной плоскости. Пусть задано уравнение плоскости A x + B y + C z +D = 0 и две точки (возможно, но не обязательно лежащие на ней). Заданы координаты этих точек M0(x0, y0, z0) и M1(x1, y1, z1). Уравнение, определяющее координаты точек (x, y, z) искомой плоскости, получим, приравнивая нулю определитель матрицы Q:

Координаты точек плоскости находятся из уравнения det(Q) = 0.

2. Прямая линия в пространстве

Уравнение отрезка, соединяющего 2 точки с координатами M0(x0, y0, z0) и M1(x1, y1, z1). Координаты отрезка (X, Y) находятся из уравнений:

Вектор координат (X, Y) для построения прямой находится так: а) назначаем одну из координат свободной (обычно X);

Если нужно показать только отрезок между двумя точками, то следует указать пределы изменения аргументов: x0 ≤ X ≤ x1, y0 ≤ Y ≤ y1.

175

Точка пересечения прямой и плоскости находится при решении системы уравнений, описывающей прямую и плоскость. Например, если прямая строится так, чтобы она проходила через две точки с координатами M0(x0, y0, z0) и M1(x1, y1, z1), не лежащие на заданной плоскости A x + B y + C z + D = 0, то координаты (x, y, z) точки пересечения находятся из системы уравнений:

A x + B y + C z = 0

Эта система уравнений может иметь одно решение (точка пересечения единственна), бесконечно много решений (прямая линия лежит на плоскости) и ни одного решения (прямая проходит параллельно плоскости).

3. Цилиндр

При заданном радиусе основания цилиндра R и высоте H положение точки M(ϕ, h) на боковой поверхности цилиндра определяется углом ϕ к оси абсцисс и высотой h над координатной плоскостью XOY.

Вектор Cylinder(ϕ,h) координат для построения цилиндра:

R cos(ϕ)

Cylinder(ϕ, h) = R sin(ϕ) h

176

Диапазон изменения аргументов для построения «целого» цилиндра: 0 ≤ h ≤ H, 0 ≤ ϕ ≤ 2 π. Для построения части цилиндра нужно задать часть угла 2 π, например: 0.5 π ≤ ϕ ≤ π.

4. Конус

При заданном радиусе основания конуса R и высоте H положение точки M(h, ξ) на боковой поверхности цилиндра определяется углом при вершине ϕ (зависящим от соотношения высоты и радиуса основания) и высотой h над координатной плоскостью XOY.

Тангенс угла ϕ при вершине конуса равен: tg(ϕ) = HR

Вектор Cone(h, ξ) координат для построения чертежа конуса:

Диапазон изменения аргументов для построения «целого» конуса: 0 ≤ h ≤ H, 0 ≤ ξ ≤ 2 π. Для построения части конуса нужно задать часть угла 2 π, например: 0.5 π ≤ ξ ≤ π.

Примечание: функция «тангенс» в MathCAD называется не tg( ),

а tan( ).

177

Введение. Сведения о символьных преобразованиях в Mathcad 126 §14. Осваиваем операции символьной математики ……..…..... 126 §15. Учебная задача ……….…………………………………..... 133 §16. Создание анимационных клипов ………………………….. 148

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ …………………………… 152

Приложение 1 ………………………………………………………... 153 Приложение 2 ………………………………………………………... 169 Приложение 3 ………………………………………………………... 174

178

Елена Георгиевна Крушель, Александр Эдуардович Панфилов

ОСВАИВАЕМ MATHCAD

(первокурсникам, заочникам и не только…)

Учебное пособие

Редактор Попова Л. В. Темплан 2006 г., поз. № 23.

Подписано в печать 20. 02. 2007 г. Формат 60×84 1/16. Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 11,19. Усл. авт. л. 11,0.

Тираж 100 экз. Заказ № 108

Волгоградский государственный технический университет 400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.

РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

179